圓周運(yùn)動(dòng)軌道脫離點(diǎn)問題

圓周運(yùn)動(dòng)軌道脫離點(diǎn)問題

【例題】

如圖，半徑為R的光滑圓環(huán)軌道豎直放置。一質(zhì)量為m的小球靜止在軌道最低點(diǎn)?，F(xiàn)給小球一水平初速度v0，使其沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。為了使小球不脫離圓軌道，求v0的范圍（小球可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g）。

【解析】

（1）臨界情況一：小球恰好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)

在C點(diǎn)，重力提供向心力：從A到C，由動(dòng)能定理可得：

聯(lián)立可得

速度越大越好，所以

（2）臨界情況二：小球恰好到達(dá)與圓心等高的B點(diǎn)

如果小球在圓心以下的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，不論在哪點(diǎn)速度減為零，小球都不會(huì)脫離軌道。臨界狀態(tài)是小球恰好到達(dá)與圓心等高的B點(diǎn)。從A到B，由動(dòng)能定理可知：

解得速度越小越好，所以

綜上，要使小球不脫離圓軌道，v0的范圍是

（3）如果，求小球在何處脫離軌道？

由上面的分析可知：小球逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果脫離軌道，它只能在BC段某處脫離。如圖，設(shè)小球在D點(diǎn)脫離軌道，OD、OB夾角為θ。在D點(diǎn)，小球只受重力，所以重力沿半徑的分力提供向心力：

小球從A到D，由動(dòng)能定理可得：

聯(lián)立解得

圓周運(yùn)動(dòng)脫軌問題如圖所示，小球以某一速度從豎直放置的半徑為R的光滑圓形軌道底端A點(diǎn)沖入。（1）若小球恰能從B點(diǎn)脫離軌道（OB與水平方向成37°），則V0為多少？（2）若小球始終不離開軌道，球V0的取值范圍？（3）若V0=√4gR，求小球第一次相對(duì)A點(diǎn)能上升的最大高度？答案解析平時(shí)見到的題目大多是考查圓周運(yùn)動(dòng)臨界條件，此題考查的是小球能上升的最大高度，什么時(shí)候落下來的問題。第一問是已知脫落點(diǎn)球最低點(diǎn)速度大小的問題。有題意得系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：mV02/2=mVB2/2mgR(1sin37°)由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可得：mVB2/R=mgsin37°聯(lián)立解得：V0=√95gR/5對(duì)于第二問，小球不離開軌道有兩中情況，第一是不過1/4圓，第二是做圓周運(yùn)動(dòng)。對(duì)于第一種情況由機(jī)械能守恒得V0的最大值滿足：mV02/2=mgR即：V0=√2gR對(duì)與第二種情況，V0的最小值滿足：mV02/2=2mgRmV2/2mV2/R=mg聯(lián)立解得：V0=√5gR即小球不脫離軌道V0取值范圍為[0，√2gR]U[√5gR，∞）對(duì)于第三問為已知初速度V0，求上升的最大高度。由第二問的計(jì)算可知當(dāng)V0=√4gR時(shí)，小球通過了圓的中點(diǎn)，沒有到達(dá)最高點(diǎn)，設(shè)其脫離軌道時(shí)距離A點(diǎn)高度為h，則有mV02/2=mV12/2mgh1mV12/R=mgsinθh1-R=Rsinθ聯(lián)立上式解得：h1=5R/3脫離軌道后小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，其上升的最大高度為h2，則有：V12cos2θ=2gh2解得：h2=5R/