泰勒公式及其應(yīng)用

精品.數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)楊立摘要:泰勒公式以一種逼近的思想成為數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要知識(shí)，在分析和研究數(shù)學(xué)可以將有理分式函數(shù)﹑無(wú)理函數(shù)和初等超越函數(shù)等復(fù)雜函數(shù)用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函精品.精品.若f(x)在x=x點(diǎn)有直到n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么就有：0f(x)=f(x)+f'(x)(xx)+f"(x)0(xx)2+0002!0其中R(x)=oxx)(n)是余項(xiàng)，這就是f(x)在x=x點(diǎn)的帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公n000性函數(shù)代替改為用多項(xiàng)式代替，當(dāng)x=x時(shí)用多項(xiàng)式代替這個(gè)函數(shù)所產(chǎn)生的誤差000f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(0)x2+...+f(n)(0)xn+R(x)2!n!n這種佩亞諾項(xiàng)的泰勒公式也被稱為麥克勞林公式。.fxxabn續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且f(n+1)(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)fx=f(x)+f'(x)(x一x)+f"(x)0(x一x)2+0002!0f(x)在x=x點(diǎn)的帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式[2]。0ab③運(yùn)用這種泰勒公式逼近f(x)時(shí)，可以確定其大致的誤差范圍，但其誤差就會(huì)越小，這種泰勒公式適合處理f(x)在區(qū)間上的問(wèn)題，特別是在不等式的證a000000編x)0其中誤差a是在(編x)0)即(x)x)的前提下才趨向于0，所以在近似計(jì)算中往001020n0精品 精品f(f(x)f(n)(x)來(lái)近似地表示函數(shù)f(x)且要寫出其誤差f(x)P(x)的具體表達(dá)式。P(x)=f(x),P(x)=f(x),P(x)=f(x),,P(n)(x)=f(n)(x).00000000 012n 0000 P(x)=A,A=P(x)0110P(x)=2!A,A=P(x)00222!P(n)(x)=n!A,A=P(n)(x)0.0nnn!至此，多項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)都已求出，得：P(x)=f(x)+f(x)(xx)+0(xx2)++0(xx)n.0002!0n!0接下來(lái)就要求誤差的具體表達(dá)式了。 設(shè)R(x)=f(x)P(x)，于是有：nR(x)=f(x)P(x)=0.n000n0n0n0 00R()R().2100nn+1n+1n綜上可得，余項(xiàng)R(x)=f(n+1)(飛)。n(n+1)!(x-x)n+10nn差的范圍，關(guān)鍵就在于對(duì)f(n+1)(c)值的估計(jì)。如果存在M>0，有f(n+1)(c)共M，x=[x-n,x+n]，那么我們就可以估計(jì)00nnR(x)共Mx-xn+1x=[xnn1求j1e-x2dx的近似值，精確到10-5。0精品.2!n!將兩邊逐項(xiàng)積分，有 00002!0n!00002!0n!32!5 042216132993602!3!9!精品.f(b)f(a)fab(ba)1f(c)(ba)3224fbfafab(ba)1k(ba)30224設(shè)g(x)f(x)f(a)fax(xa)1k(xa)30224f()fafa(a)k(a)2022282f()fafa(a)1f(c)a20,ca,b22222k(a)21fca21f()(a)28228.證明由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[_1,1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，因此可以寫出f(x)的二階泰勒公式：126f2112例5求limex2+cosx_2的極限.x)0x4分析：當(dāng)x分析：當(dāng)x)0時(shí)為求w0精品精品xx.xx2!故2!4!44x)044x)07=0 (x) (x)1=2精品.則 xn f,(0)f(n)(0)2!n!f,(0)f(n)(0)2!n!03