高等代數(shù)論文-線性代數(shù)在實際問題中的應用

《高等代數(shù)》論文學院：理學院班級：數(shù)學1202姓名：童立夏學號：20122507指導教師：趙芬霞線性代數(shù)在實際問題中的應用數(shù)學類1202班童立夏學號20122507內(nèi)容摘要：線性代數(shù)作為數(shù)學的一個重要的分支，具有較強的邏輯性、抽象性和較強的實用性。線性代數(shù)是以矩陣、線性空間結(jié)構(gòu)及線性變換為基本研究對象，其核心是研究線性代數(shù)方程組解的情況以及如何更快地求解線性方程組、線性空間結(jié)構(gòu)及線性變換。線性代數(shù)被廣泛地應用于抽象代數(shù)和泛函分析中：通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。本文通過一些實例討論線性代數(shù)在實際問題中的應用，說明線性代數(shù)理論的應用意義及方法從而使抽象的線性代數(shù)理論更直接、更形象。關(guān)鍵詞：線性代數(shù)、應用、矩陣、行列式導言：線性代數(shù)主要研究有限維線性空間中的線性關(guān)系和線性映射，具有代數(shù)學的實用性和抽象性特點。線性代數(shù)在數(shù)學、力學、物理學和技術(shù)學科中各有重要地位，本文將給出幾個典型的應用實例，包括矩陣、行列式、線性組合等幾個部分的應用以及線性組合在經(jīng)濟領(lǐng)域、數(shù)學建模中的應用，在解決問題的過程中引出概念和方法。線性代數(shù)在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應用行列式是線性代數(shù)的重要組成部分，它是解決線性方程組的常用工具，而線性方程組在經(jīng)濟領(lǐng)域的應用比較廣泛。實例：成本問題。某些產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中能獲得另外幾種產(chǎn)品或副產(chǎn)品，但是對每種產(chǎn)品的單位成本難以確定，這類問題可以通過幾次測試，列出方程組求解。例如：在一次投料生產(chǎn)中能獲得四種產(chǎn)品，每次測試的總產(chǎn)品如表一所示，試求每種產(chǎn)品的單位成本。解：設A、B、C、D四種產(chǎn)品的單位成本分別為x1、x2、x3、x4，可列出方程組 將方程化簡如下：運行行列式解得：x1=10,x2=5,x3=3,x4=2,所以A、B、C、D四種產(chǎn)品的單位成本分別為10元/公斤，5元/公斤，3元/公斤，2元/公斤。表一A=，δT=（a14a24a34）,αT=(xyz),二次曲面的方程可以表示為（αT,1）=0.由線性代數(shù)的知識，對因此可以通過正交變換將二次曲面方程的左邊化為==從而二次曲面的方程化簡為由于正交變換保持向量的內(nèi)積，故保持向量的長度和向量間的夾角?？梢宰C明，當時，就是繞空間某一條過原點的直線的旋轉(zhuǎn)。根據(jù)二次型的秩為3，方程可化為又如果的正慣性指數(shù)為3或0，則經(jīng)移軸變換，二次曲面的方程可化為此時，當d分別大于0、等于0、小于0時，二次曲面分別是橢球面、一個點、虛橢球面。四、線性組合的應用實例n+1個人看n種不同的書，若每個人至少看過其中的一種，則必可從這n+1個人中找出兩組人，這兩組人看過的書集中在一起，其種類是完全你相同的。證明以n維列向量，記第個人的閱讀記錄。若他看了第種書，則=1，若他不曾看過第種書，則=0.于是每個向量均為非零向量。且各分向量不是0就是1.由于該向量組由n+1個n維向量組成，向量組中向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)則向量組相關(guān)，因此至少由一個向量可以表示為其余向量線性組合，不妨設有不全為零。因為，且分量，則線性組合系數(shù)中至少有一個為正，否則的各分量現(xiàn)把系數(shù)為正的項留在組合式子的右邊，系數(shù)為負的2項移至左邊，略去系數(shù)為零的項后有式中與皆為證書，故左右兩邊的線性組合給出的向量均非負其正分量正是左右兩組人看書的記錄，根據(jù)向量相等的定義，它們是完全相等的。五、利用行列式解決行星軌道方程的問題一天文學家要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立一個以太陽為原點的直角坐標系，在兩坐標軸上取天文測量單位（1天文單位為地球到太陽的平均距離：9300萬里）。他在五個不同時間對小行星作五次觀測，得到軌道上五個點的坐標分別為（5.764,0.648），（6.286，1.202），（6.759,1.823），（7.168,2.562）與（7.408,3.360）。由開普勒第一定律知小行星軌道為一橢圓，試建立它的方程。解平面上圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的一般方程為：，該方程含六個待定系數(shù)，用與上面類似的方法，通過五個不同點與的一般圓錐曲線方程為：將五個點的坐標代入上述方程后展開并化簡得：這里，根據(jù)橢圓上給定五個點的數(shù)據(jù)信息，通過插值構(gòu)造代數(shù)多項式曲線來逼近橢圓方程曲線，將問題巧妙轉(zhuǎn)化為行列式并得到所求的近似曲線。結(jié)論：線性代數(shù)問題廣泛存在于自然科學和社會科學的各個領(lǐng)域，總之，隨著社會的進步，科技的飛躍發(fā)展，線性代數(shù)都在不斷吸收其他領(lǐng)域的新成果。著名數(shù)學家M.Kline曾經(jīng)說過：“這門學科是在直觀的和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上起始的。嚴密性在希臘時代就變成了一個目標……但是，過分追求嚴密性，將引入絕境而失去它的真正意義。數(shù)學仍然是活躍而富有生命力的，但是它只能建立在實用的基礎(chǔ)上。”希望此次線性代數(shù)在實際問題中的應用討論能在自己和其他同學在今后數(shù)學的學習上有所幫助。參考文獻：[1]張瑩華.線性代數(shù)及其在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應用與作用.科教文化[2]李秀蘭，張紅玉.線性代數(shù)在數(shù)學建模中的應用.山西大同學報.2010:26[3]周金明，項立