【解析】廣東省廣州市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)8月階段訓(xùn)練試題

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一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．已知集合，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：令，解得，可得，

令，解得，可得，

所以.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)一元二次不等式求M，根據(jù)函數(shù)定義域求N，進(jìn)而結(jié)合并集運(yùn)算求解.

2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

【解析】【解答】解：因?yàn)?，所?

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.

3．在中，為的重心，滿足，則（）

A．B．C．0D．-1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的線性運(yùn)算；平面向量的基本定理

【解析】【解答】解：因?yàn)闉榈闹匦?，則

又因?yàn)樵谥?，?/p>

所以，

則，可得.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)可知，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.

4．設(shè)命題：若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，則點(diǎn)必在一次函數(shù)圖象上；命題：若正項(xiàng)數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，則點(diǎn)必在指數(shù)函數(shù)圖象上.下列說(shuō)法正確的是（）

A．p、q均為真命題B．p、q均為假命題

C．真假D．假真

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】四種命題；等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系；等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：對(duì)于命題：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差，

則為一次函數(shù)式，

所以點(diǎn)必在一次函數(shù)圖象上，故p真；

對(duì)于命題：例如數(shù)列是公比為2，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列

則對(duì)恒成立，

所以不恒在指數(shù)函數(shù)圖象上，故q假.

故答案為：C.

【分析】對(duì)于命題：根據(jù)題意等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分析判斷；對(duì)于命題：取特列結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分析判斷.

5．某人從地到地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.3，0.3，0.4，乘火車遲到的概率為0.2，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機(jī)遲到的概率為0.4，則這個(gè)人從地到地遲到的概率是（）

A．0.16B．0.31C．0.4D．0.32

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】全概率公式

【解析】【解答】解：設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機(jī)”，事件D表示“遲到”，

由題意可得：，

且，則，

所以.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解.

6．已知把物體放在空氣中冷卻時(shí)，若物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，則后物體的溫度滿足公式(其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)).某天小明同學(xué)將溫度是的牛奶放在空氣中，冷卻后牛奶的溫度是，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．B．

C．牛奶的溫度降至還需D．牛奶的溫度降至還需

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

【解析】【解答】解：由題意可得，

且當(dāng)時(shí)，，可得，解得，故AB錯(cuò)誤；

所以，

令，解得

故牛奶的溫度從80℃降至35℃需4min，從50℃降至35℃還需min，故C錯(cuò)誤，D正確.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意可得，且當(dāng)時(shí)，，代入解得，再令，運(yùn)算求解即可.

7．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓上兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接，設(shè)

，則，

因?yàn)?，即，則

，

可得，解得，

所以

，

在

中，因?yàn)椋?/p>

可得

，則，

所以橢圓的離心率為.

故答案為：C.

【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓的定義結(jié)合勾股定理解得，進(jìn)而中，利用勾股定理運(yùn)算求解即可.

8．記，則a，b，c的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】解：設(shè)，則

在R上單調(diào)遞增，

所以，即；

因?yàn)椋?/p>

設(shè)，

則當(dāng)時(shí)恒成立，

則在單調(diào)遞減，所以，

即，可得；

綜上所述：.

故答案為：D.

【分析】構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得；再構(gòu)建，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9．已知一組樣本數(shù)據(jù)均為正數(shù)，且，若由生成一組新的數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的（）可能相等.

A．極差B．平均數(shù)C．中位數(shù)D．標(biāo)準(zhǔn)差

【答案】B,C

【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

【解析】【解答】解：因?yàn)?，且?/p>

可得，

對(duì)于A：由題意可得：原數(shù)據(jù)的極差為，

新數(shù)據(jù)的極差為，

因?yàn)椋瑒t，可得，

所以極差不可能相等，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，則，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故B正確；

對(duì)于C：設(shè)原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，則，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，故C正確；

對(duì)于D：設(shè)原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，

因?yàn)?，則數(shù)據(jù)的波動(dòng)性存在，即，

可得，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差不可能相等，故D錯(cuò)誤.

故答案為：BC.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合極差、平均數(shù)、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的定義與性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

10．已知為拋物線的頂點(diǎn)，直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M，N分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．若直線l過(guò)焦點(diǎn)，則N，O，P三點(diǎn)不共線

B．若直線過(guò)焦點(diǎn)，則

C．若直線過(guò)焦點(diǎn)，則拋物線在M，N處的兩條切線的交點(diǎn)在某定直線上

D．若，則直線恒過(guò)點(diǎn)

【答案】B,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

【解析】【解答】解：設(shè)直線，，

聯(lián)立方程，消去x得，

則，

對(duì)于A：若直線l過(guò)焦點(diǎn)，即，可得，

又因?yàn)?，則，

則，

所以，即N，O，P三點(diǎn)共線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：如圖，若直線l過(guò)焦點(diǎn)，由拋物線的定義和平行線的性質(zhì)知：

，

可得，即，故B正確；

對(duì)于C：設(shè)與拋物線C相切的切線方程為，

聯(lián)立方程，消去x得，

因?yàn)橄嗲?，則，可得，

所以與拋物線C相切的切線方程為，

將點(diǎn)M坐標(biāo)代入方程可得，解得，

所以過(guò)點(diǎn)M的切線方程為，

同理可得：過(guò)點(diǎn)N的切線方程為，

聯(lián)立方程，解得：

所以拋物線在點(diǎn)M，N處的切線的交點(diǎn)在定直線上，故C正確；

對(duì)于D：若，則，解得，

則，所以直線l恒過(guò)點(diǎn)(2p，0)，故D正確.

故答案為：BCD.

【分析】設(shè)直線，，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理可得.對(duì)A：根據(jù)三點(diǎn)共線的向量關(guān)系運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對(duì)C：根據(jù)切線利用判別式分析可得點(diǎn)M、N的切線方程分別為為，，聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)即可；對(duì)D：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系分析可得，即可得結(jié)果.

11．已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，下列說(shuō)法正確的是（）

A．正四面體的外接球表面積為

B．正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值

C．正四面體的相鄰兩個(gè)面所成二面角的正弦值為

D．正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的體積最大值為

【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征；球的體積和表面積；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；球內(nèi)接多面體

【解析】【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為2，如圖將正四面體轉(zhuǎn)化為正方體，

可知正四面體的棱長(zhǎng)即為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，所以正方體的棱長(zhǎng)為，

則正四面體的外接球即為正方體的外接球，設(shè)半徑為R，可得，

所以外接球的表面積，故A正確.

對(duì)于B：設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為，正四面體的高為，每個(gè)面的面積為，

由等體積法可得：，解得為定值，故B正確；

對(duì)于C：設(shè)BC中點(diǎn)為D，連接PD，AD，

因?yàn)?，則，

可知為所求二面角的平面角，且，

可得，

所以所成二面角的正弦值為，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D：要使正四面體在四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，

則正四面體的外接球在四面體內(nèi)切球內(nèi)部或相同，

顯然當(dāng)正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時(shí)，正四面體的體積最大值，

則正四面體的外接球半徑，

設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，由選項(xiàng)A的思路可得，解得，

所以正四面體的最大體積，故D正確.

故答案為：ABD.

【分析】對(duì)A：將正四面體轉(zhuǎn)化為正方體，結(jié)合正方體的外接球運(yùn)算求解；對(duì)B：利用等體積法分析運(yùn)算；對(duì)C：設(shè)BC中點(diǎn)為D，連接PD，AD，分析可知為所求二面角的平面角，利用余弦定理運(yùn)算求解；對(duì)D：分析可知正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時(shí)，正四面體的體積最大值，結(jié)合選項(xiàng)A的思路運(yùn)算求解.

12．若是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)任意，都有，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．一定為正數(shù)

B．2是的一個(gè)周期

C．若，則

D．若在上單調(diào)遞增，則

【答案】B,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)的周期性

【解析】【解答】解：對(duì)于A：取常函數(shù)，符合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，則，

又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，

所以2是的一個(gè)周期，故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)閷?duì)任意，都有，

令，可得；

又因?yàn)椋睿傻?，則，

令，可得，則，

且2是的一個(gè)周期，所以，故C正確；

對(duì)于D：假設(shè)，由選項(xiàng)C可知：

令，可得，則，

令，可得，則，

因?yàn)?，即?/p>

這與在上單調(diào)遞增，假設(shè)不成立，所以，故D正確.

故答案為：BCD.

【分析】對(duì)于A：取常函數(shù)分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)對(duì)稱性以及偶函數(shù)的定義可得；對(duì)于C：令，可得，賦值可得，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解；對(duì)于D：反證，假設(shè)，結(jié)合選項(xiàng)C的結(jié)論運(yùn)算求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．已知，則.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】積化和差公式；正弦函數(shù)的零點(diǎn)與最值

【解析】【解答】解：因?yàn)椋?/p>

則，

即，整理得

則，解得，

所以.

故答案為：.

【分析】根據(jù)題意利用積化和差整理可得，進(jìn)而可得，代入運(yùn)算即可.

14．已知Rt的兩條直角邊分別為3，4，以斜邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體體積是.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征；簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得：以斜邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個(gè)同底面的圓錐，

因?yàn)榈膬蓷l直角邊分別為3，4，則斜邊為5，且斜邊上的高為，

所以兩個(gè)圓錐的底面半徑為，兩個(gè)圓錐的高之和為5，

所以該幾何體體積為.

故答案為：.

【分析】根據(jù)題意可知：幾何體為兩個(gè)同底面的圓錐，結(jié)合直角三角形求底面半徑，進(jìn)而可得結(jié)果.

15．已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，且，則.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性；正弦函數(shù)的零點(diǎn)與最值；輔助角公式

【解析】【解答】解：由題意可得：，

因?yàn)?，則，

若函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，

又因?yàn)?，則的對(duì)稱中心為，

可得，則，解得，

所以，則，

所以.

故答案為：.

【分析】整理可得，根據(jù)零點(diǎn)結(jié)合正弦函數(shù)可得，由分析可得的對(duì)稱中心為，結(jié)合正弦函數(shù)可得，即可得，代入運(yùn)算求解即可.

16．已知，過(guò)軸上一點(diǎn)分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】直線的斜截式方程；平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程

【解析】【解答】解：由題意可知：的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，

設(shè)，則，表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，

，表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

又因?yàn)橹本€AB的方程為：，

令，解得，所以.

故答案為：.

【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)的求法可得，，利用兩點(diǎn)間距離公式轉(zhuǎn)為可知：其分別表示點(diǎn)與點(diǎn)，之間的距離，進(jìn)而可得，分析求解即可.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17．在中，為BC中點(diǎn).

（1）若AD=2，求BC；

（2）若，求的值.

【答案】（1）在中，為BC中點(diǎn)，設(shè)

中，

中，

相加得到，而，

得.

是BC中點(diǎn)，

即，得

又

，即

由于，取DC中點(diǎn)，連結(jié)AE，則

設(shè)，則

即

解得

所以

（2）在中，

面積

面積，

而為BC中點(diǎn)，則

，

則

是BC中點(diǎn)，

在中，

在中，

因?yàn)?，所?/p>

兩式相除得

所以

解得

由于是BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至，使得，連CF，BF則四邊形ABFC為平行四邊形，所以.

在中，

即

所以

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；正弦定理的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用；三角形中的幾何計(jì)算

【解析】【分析】(1)方法一：分別在，中利用余弦定理可得，方法二：根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再利用運(yùn)算求解；方法三：取DC中點(diǎn)，連結(jié)AE，則，根據(jù)運(yùn)算求解即可；

(2)方法一：分別在，中利用正弦定理結(jié)合角的關(guān)系可得，進(jìn)而可得結(jié)果；方法二：延長(zhǎng)AD至，使得，連CF，BF，在中，利用正弦定理運(yùn)算求解.

18．西梅以“梅”為名，實(shí)際上不是梅子，而是李子，中文正規(guī)名叫“歐洲李”，素有“奇跡水果”的美譽(yù).因此，每批西梅進(jìn)人市場(chǎng)之前，會(huì)對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10箱西梅，其中有4箱測(cè)定為一等品.

（1）現(xiàn)從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；

（2）以這10箱的檢測(cè)結(jié)果來(lái)估計(jì)這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機(jī)抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.

【答案】（1）設(shè)抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品為事件，

則

因此從這10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率為.

（2）由題意可知，從這10箱中隨機(jī)抽取1箱恰好是一等品的概率，

由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，則

所以的分布列為

0123

.

【知識(shí)點(diǎn)】超幾何分布；超幾何分布的應(yīng)用；二項(xiàng)分布

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意分析可知，利用二項(xiàng)分布求分布列和期望.

19．如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側(cè)面均為矩形，，.

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明：四邊形ABCD和四邊形均為矩形

又

（2）設(shè)

過(guò)點(diǎn)作CM垂直交于點(diǎn)，由(1)可知平面平面

平面設(shè)與平面所成的角為，

又

平面

到平面的距離等于3

在平行四邊形中，

，

與平面所成的角的正弦值.

由(1)證：，易知

為等腰三角形.

由（1）知：平面平面平面

過(guò)點(diǎn)作于，則為BC的中點(diǎn)，且平面

又平面平面ABCD，所以到平面ABCD的距離等于到平面ABCD的距離

在四面體中利用等積法，求點(diǎn)到平面的距離

由于四邊形ABCD是矩形，

以點(diǎn)為原點(diǎn)，方向，方向分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)垂直于平面ABCD的方向?yàn)檩S，如圖所示

由(1)證：，易知

為等腰三角形，取BC中點(diǎn)為，連

由(1)知：平面平面平面平面ABCD

所以

又

平面的法向量(過(guò)程略)

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；平面與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面所成的角

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可證，進(jìn)而可得，進(jìn)而結(jié)合平行分析證明；

(2)方法一：過(guò)點(diǎn)作CM垂直交于點(diǎn)，可證平面，結(jié)合平行的性質(zhì)可得到平面的距離等于3，進(jìn)而可得結(jié)果；方法二：過(guò)點(diǎn)作于，可得平面，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而可得結(jié)果；方法三：以點(diǎn)為原點(diǎn)，方向，方向分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)垂直于平面ABCD的方向?yàn)檩S，利用空間向量求線面夾角.

20．已知數(shù)列滿足

（1）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若數(shù)列的前10項(xiàng)和為361，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

【答案】（1）數(shù)列成等比數(shù)列.

根據(jù)得

，即數(shù)列成等比數(shù)列.

（2）由(1)得，，

由，得.

顯然單調(diào)遞增，且，

故.

當(dāng)時(shí)，

綜上，知.

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列概念與表示；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的定義運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意可得，構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可得，進(jìn)而可得，利用放縮法結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析證明.

21．已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn).

（1）若點(diǎn)在直線上，求直線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線分別交軸于軸于兩點(diǎn).是否存在定點(diǎn)G，H，使得在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)使得為定值.

【答案】（1）聯(lián)立，則

又點(diǎn)在直線上，所以，

時(shí)，，則：

所以：，即，則

當(dāng)時(shí)，；

所以：直線的方程：

（2）聯(lián)立，則，因?yàn)槭请p曲線與直線的唯一公共點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為.即為

于是，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為可得

，

即，于是

即的軌跡方程為：

所以存在定點(diǎn)，使得當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，||為定值13

因?yàn)榍芯€斜率存在，所以設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為

切線可以寫(xiě)為，即，其中

由（1）得，即

又，所以

代入整理得

所以過(guò)點(diǎn)，分垂直于切線的直線方程為

令得；令得

，

代入得

【知識(shí)點(diǎn)】用斜率判定兩直線垂直；直線的點(diǎn)斜式方程；雙曲線的定義；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

【解析】【分析】(1)聯(lián)立方程，根據(jù)可得，結(jié)合點(diǎn)在直線上運(yùn)算求解；

(2)方法一：根據(jù)題意結(jié)合可得，進(jìn)而可得，可得，運(yùn)算求解即可；方法二：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意解得，代入雙曲線方程即可.

22．已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a，b滿足，求證：；

（3）若，求證：.

【答案】（1）函數(shù)的定義域是.

由，得在上單調(diào)遞減；

由，得在上單調(diào)遞增，

綜上知，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）由(1)得在的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?注意到.不妨設(shè)，則欲證，即證.

由于，由得在上單調(diào)遞增，故只需證，由已知，即證：，也即.

【方法一】令.

【方法二】(重新同構(gòu))

【方法三】(比值代換)由對(duì)稱性，不妨設(shè)，

【方法四】(切、割線放縮、由于，故，即；

2、由方法二知，故，即，故；由1、2知.故成立，原命題成立.

【方法一】令

由，在單調(diào)遞增，得單調(diào)遞增且.

由于，故滿足.

由單調(diào)遞增知；

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，值域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?/p>

設(shè).則單調(diào)遞減，故，

（3）由(2)知.

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故

②當(dāng)時(shí)，由，取，得

時(shí)，有，即.

由在上單調(diào)遞增，故，

綜上，得，當(dāng)時(shí)，成立.

考慮借助第（2）問(wèn)的結(jié)論證明

第（1）情形時(shí)，直接用在遞增來(lái)證明

第（2）情形時(shí)，利用（2）的結(jié)論找到，使得

且，

又

所以，進(jìn)而證明

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（?。┲?；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性；

(2)根據(jù)（1）中的單調(diào)性分析可得等價(jià)于，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；

(3)分和兩種情況，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論分析證明.

1/1廣東省廣州市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)8月階段訓(xùn)練試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．已知集合，則（）

A．B．C．D．

2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）

A．B．C．D．

3．在中，為的重心，滿足，則（）

A．B．C．0D．-1

4．設(shè)命題：若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，則點(diǎn)必在一次函數(shù)圖象上；命題：若正項(xiàng)數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，則點(diǎn)必在指數(shù)函數(shù)圖象上.下列說(shuō)法正確的是（）

A．p、q均為真命題B．p、q均為假命題

C．真假D．假真

5．某人從地到地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.3，0.3，0.4，乘火車遲到的概率為0.2，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機(jī)遲到的概率為0.4，則這個(gè)人從地到地遲到的概率是（）

A．0.16B．0.31C．0.4D．0.32

6．已知把物體放在空氣中冷卻時(shí)，若物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，則后物體的溫度滿足公式(其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)).某天小明同學(xué)將溫度是的牛奶放在空氣中，冷卻后牛奶的溫度是，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．B．

C．牛奶的溫度降至還需D．牛奶的溫度降至還需

7．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓上兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

8．記，則a，b，c的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9．已知一組樣本數(shù)據(jù)均為正數(shù)，且，若由生成一組新的數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的（）可能相等.

A．極差B．平均數(shù)C．中位數(shù)D．標(biāo)準(zhǔn)差

10．已知為拋物線的頂點(diǎn)，直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M，N分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．若直線l過(guò)焦點(diǎn)，則N，O，P三點(diǎn)不共線

B．若直線過(guò)焦點(diǎn)，則

C．若直線過(guò)焦點(diǎn)，則拋物線在M，N處的兩條切線的交點(diǎn)在某定直線上

D．若，則直線恒過(guò)點(diǎn)

11．已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，下列說(shuō)法正確的是（）

A．正四面體的外接球表面積為

B．正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值

C．正四面體的相鄰兩個(gè)面所成二面角的正弦值為

D．正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的體積最大值為

12．若是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)任意，都有，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．一定為正數(shù)

B．2是的一個(gè)周期

C．若，則

D．若在上單調(diào)遞增，則

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．已知，則.

14．已知Rt的兩條直角邊分別為3，4，以斜邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體體積是.

15．已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，且，則.

16．已知，過(guò)軸上一點(diǎn)分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17．在中，為BC中點(diǎn).

（1）若AD=2，求BC；

（2）若，求的值.

18．西梅以“梅”為名，實(shí)際上不是梅子，而是李子，中文正規(guī)名叫“歐洲李”，素有“奇跡水果”的美譽(yù).因此，每批西梅進(jìn)人市場(chǎng)之前，會(huì)對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10箱西梅，其中有4箱測(cè)定為一等品.

（1）現(xiàn)從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；

（2）以這10箱的檢測(cè)結(jié)果來(lái)估計(jì)這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機(jī)抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.

19．如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側(cè)面均為矩形，，.

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值.

20．已知數(shù)列滿足

（1）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若數(shù)列的前10項(xiàng)和為361，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

21．已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn).

（1）若點(diǎn)在直線上，求直線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線分別交軸于軸于兩點(diǎn).是否存在定點(diǎn)G，H，使得在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)使得為定值.

22．已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a，b滿足，求證：；

（3）若，求證：.

答案解析部分

1．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：令，解得，可得，

令，解得，可得，

所以.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)一元二次不等式求M，根據(jù)函數(shù)定義域求N，進(jìn)而結(jié)合并集運(yùn)算求解.

2．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

【解析】【解答】解：因?yàn)?，所?

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.

3．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的線性運(yùn)算；平面向量的基本定理

【解析】【解答】解：因?yàn)闉榈闹匦?，則

又因?yàn)樵谥?，?/p>

所以，

則，可得.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)可知，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】四種命題；等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系；等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：對(duì)于命題：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差，

則為一次函數(shù)式，

所以點(diǎn)必在一次函數(shù)圖象上，故p真；

對(duì)于命題：例如數(shù)列是公比為2，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列

則對(duì)恒成立，

所以不恒在指數(shù)函數(shù)圖象上，故q假.

故答案為：C.

【分析】對(duì)于命題：根據(jù)題意等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分析判斷；對(duì)于命題：取特列結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分析判斷.

5．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】全概率公式

【解析】【解答】解：設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機(jī)”，事件D表示“遲到”，

由題意可得：，

且，則，

所以.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解.

6．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

【解析】【解答】解：由題意可得，

且當(dāng)時(shí)，，可得，解得，故AB錯(cuò)誤；

所以，

令，解得

故牛奶的溫度從80℃降至35℃需4min，從50℃降至35℃還需min，故C錯(cuò)誤，D正確.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意可得，且當(dāng)時(shí)，，代入解得，再令，運(yùn)算求解即可.

7．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接，設(shè)

，則，

因?yàn)?，即，則

，

可得，解得，

所以

，

在

中，因?yàn)椋?/p>

可得

，則，

所以橢圓的離心率為.

故答案為：C.

【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓的定義結(jié)合勾股定理解得，進(jìn)而中，利用勾股定理運(yùn)算求解即可.

8．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】解：設(shè)，則

在R上單調(diào)遞增，

所以，即；

因?yàn)椋?/p>

設(shè)，

則當(dāng)時(shí)恒成立，

則在單調(diào)遞減，所以，

即，可得；

綜上所述：.

故答案為：D.

【分析】構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得；再構(gòu)建，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得.

9．【答案】B,C

【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

【解析】【解答】解：因?yàn)?，且?/p>

可得，

對(duì)于A：由題意可得：原數(shù)據(jù)的極差為，

新數(shù)據(jù)的極差為，

因?yàn)椋瑒t，可得，

所以極差不可能相等，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，則，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故B正確；

對(duì)于C：設(shè)原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，則，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，故C正確；

對(duì)于D：設(shè)原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，

因?yàn)?，則數(shù)據(jù)的波動(dòng)性存在，即，

可得，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差不可能相等，故D錯(cuò)誤.

故答案為：BC.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合極差、平均數(shù)、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的定義與性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

10．【答案】B,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

【解析】【解答】解：設(shè)直線，，

聯(lián)立方程，消去x得，

則，

對(duì)于A：若直線l過(guò)焦點(diǎn)，即，可得，

又因?yàn)?，則，

則，

所以，即N，O，P三點(diǎn)共線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：如圖，若直線l過(guò)焦點(diǎn)，由拋物線的定義和平行線的性質(zhì)知：

，

可得，即，故B正確；

對(duì)于C：設(shè)與拋物線C相切的切線方程為，

聯(lián)立方程，消去x得，

因?yàn)橄嗲校瑒t，可得，

所以與拋物線C相切的切線方程為，

將點(diǎn)M坐標(biāo)代入方程可得，解得，

所以過(guò)點(diǎn)M的切線方程為，

同理可得：過(guò)點(diǎn)N的切線方程為，

聯(lián)立方程，解得：

所以拋物線在點(diǎn)M，N處的切線的交點(diǎn)在定直線上，故C正確；

對(duì)于D：若，則，解得，

則，所以直線l恒過(guò)點(diǎn)(2p，0)，故D正確.

故答案為：BCD.

【分析】設(shè)直線，，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理可得.對(duì)A：根據(jù)三點(diǎn)共線的向量關(guān)系運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對(duì)C：根據(jù)切線利用判別式分析可得點(diǎn)M、N的切線方程分別為為，，聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)即可；對(duì)D：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系分析可得，即可得結(jié)果.

11．【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征；球的體積和表面積；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；球內(nèi)接多面體

【解析】【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為2，如圖將正四面體轉(zhuǎn)化為正方體，

可知正四面體的棱長(zhǎng)即為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，所以正方體的棱長(zhǎng)為，

則正四面體的外接球即為正方體的外接球，設(shè)半徑為R，可得，

所以外接球的表面積，故A正確.

對(duì)于B：設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為，正四面體的高為，每個(gè)面的面積為，

由等體積法可得：，解得為定值，故B正確；

對(duì)于C：設(shè)BC中點(diǎn)為D，連接PD，AD，

因?yàn)?，則，

可知為所求二面角的平面角，且，

可得，

所以所成二面角的正弦值為，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D：要使正四面體在四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，

則正四面體的外接球在四面體內(nèi)切球內(nèi)部或相同，

顯然當(dāng)正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時(shí)，正四面體的體積最大值，

則正四面體的外接球半徑，

設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，由選項(xiàng)A的思路可得，解得，

所以正四面體的最大體積，故D正確.

故答案為：ABD.

【分析】對(duì)A：將正四面體轉(zhuǎn)化為正方體，結(jié)合正方體的外接球運(yùn)算求解；對(duì)B：利用等體積法分析運(yùn)算；對(duì)C：設(shè)BC中點(diǎn)為D，連接PD，AD，分析可知為所求二面角的平面角，利用余弦定理運(yùn)算求解；對(duì)D：分析可知正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時(shí)，正四面體的體積最大值，結(jié)合選項(xiàng)A的思路運(yùn)算求解.

12．【答案】B,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)的周期性

【解析】【解答】解：對(duì)于A：取常函數(shù)，符合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，則，

又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，

所以2是的一個(gè)周期，故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)閷?duì)任意，都有，

令，可得；

又因?yàn)?，令，可得，則，

令，可得，則，

且2是的一個(gè)周期，所以，故C正確；

對(duì)于D：假設(shè)，由選項(xiàng)C可知：

令，可得，則，

令，可得，則，

因?yàn)?，即?/p>

這與在上單調(diào)遞增，假設(shè)不成立，所以，故D正確.

故答案為：BCD.

【分析】對(duì)于A：取常函數(shù)分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)對(duì)稱性以及偶函數(shù)的定義可得；對(duì)于C：令，可得，賦值可得，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解；對(duì)于D：反證，假設(shè)，結(jié)合選項(xiàng)C的結(jié)論運(yùn)算求解.

13．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】積化和差公式；正弦函數(shù)的零點(diǎn)與最值

【解析】【解答】解：因?yàn)椋?/p>

則，

即，整理得

則，解得，

所以.

故答案為：.

【分析】根據(jù)題意利用積化和差整理可得，進(jìn)而可得，代入運(yùn)算即可.

14．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征；簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得：以斜邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個(gè)同底面的圓錐，

因?yàn)榈膬蓷l直角邊分別為3，4，則斜邊為5，且斜邊上的高為，

所以兩個(gè)圓錐的底面半徑為，兩個(gè)圓錐的高之和為5，

所以該幾何體體積為.

故答案為：.

【分析】根據(jù)題意可知：幾何體為兩個(gè)同底面的圓錐，結(jié)合直角三角形求底面半徑，進(jìn)而可得結(jié)果.

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性；正弦函數(shù)的零點(diǎn)與最值；輔助角公式

【解析】【解答】解：由題意可得：，

因?yàn)?，則，

若函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，

又因?yàn)?，則的對(duì)稱中心為，

可得，則，解得，

所以，則，

所以.

故答案為：.

【分析】整理可得，根據(jù)零點(diǎn)結(jié)合正弦函數(shù)可得，由分析可得的對(duì)稱中心為，結(jié)合正弦函數(shù)可得，即可得，代入運(yùn)算求解即可.

16．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】直線的斜截式方程；平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程

【解析】【解答】解：由題意可知：的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，

設(shè)，則，表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，

，表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

又因?yàn)橹本€AB的方程為：，

令，解得，所以.

故答案為：.

【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)的求法可得，，利用兩點(diǎn)間距離公式轉(zhuǎn)為可知：其分別表示點(diǎn)與點(diǎn)，之間的距離，進(jìn)而可得，分析求解即可.

17．【答案】（1）在中，為BC中點(diǎn)，設(shè)

中，

中，

相加得到，而，

得.

是BC中點(diǎn)，

即，得

又

，即

由于，取DC中點(diǎn)，連結(jié)AE，則

設(shè)，則

即

解得

所以

（2）在中，

面積

面積，

而為BC中點(diǎn)，則

，

則

是BC中點(diǎn)，

在中，

在中，

因?yàn)?，所?/p>

兩式相除得

所以

解得

由于是BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至，使得，連CF，BF則四邊形ABFC為平行四邊形，所以.

在中，

即

所以

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；正弦定理的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用；三角形中的幾何計(jì)算

【解析】【分析】(1)方法一：分別在，中利用余弦定理可得，方法二：根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再利用運(yùn)算求解；方法三：取DC中點(diǎn)，連結(jié)AE，則，根據(jù)運(yùn)算求解即可；

(2)方法一：分別在，中利用正弦定理結(jié)合角的關(guān)系可得，進(jìn)而可得結(jié)果；方法二：延長(zhǎng)AD至，使得，連CF，BF，在中，利用正弦定理運(yùn)算求解.

18．【答案】（1）設(shè)抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品為事件，

則

因此從這10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率為.

（2）由題意可知，從這10箱中隨機(jī)抽取1箱恰好是一等品的概率，

由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，則

所以的分布列為

0123

.

【知識(shí)點(diǎn)】超幾何分布；超幾何分布的應(yīng)用；二項(xiàng)分布

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意分析可知，利用二項(xiàng)分布求分布列和期望.

19．【答案】（1）證明：四邊形ABCD和四邊形均為矩形

又

（2）設(shè)

過(guò)點(diǎn)作CM垂直交于點(diǎn)，由(1)可知平面平面

平面設(shè)與平面所成的角為，

又

平面

到平面的距離等于3

在平行四邊形中，

，

與平面所成的角的正弦值.

由(1)證：，易知

為等腰三角形.

由（1）知：平面平面平面

過(guò)點(diǎn)作于，則為BC的中點(diǎn)，且平面

又平面平面ABCD，所以到平面ABCD的距離等于到平面ABCD的距離

在四面體中利用等積法，求點(diǎn)到平面的距離

由于四邊形