高數(shù)課件第一章第三節(jié)函數(shù)極限

1第三節(jié)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質(zhì)四、小結(jié)思考題2【數(shù)列極限】——

整標(biāo)函數(shù)【函數(shù)的極限】有兩大類情形3單擊任意點(diǎn)開始觀察一、自變量x→∞時(shí),的極限1.【引例】單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察

觀察完畢4通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:【問題2】如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.是在x

∞

的過程中實(shí)現(xiàn)的即x→∞時(shí),f(x)→0.2.【直觀定義】在x→∞時(shí)，函數(shù)值f(x)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,稱A為f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限.53.【精確定義】①如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在著正數(shù)X

，使得當(dāng)|x|>X

時(shí)，恒有|f(x)-A|<ε

成立，則稱x

趨于無窮大時(shí)函數(shù)f(x)

以A為極限。記為：②【“ε-

X

”

定義】—分析定義③

x→+∞及x→-∞情形【定理】64.【幾何意義】7【例1】【證】5.【水平漸近線】8二、自變量有限值時(shí),函數(shù)的極限1.【引例】①

函數(shù)在處的極限為②函數(shù)在處的極限為③函數(shù)在處的極限為２２２yAx１２３x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限是否存在,與f(x)在x0處是否有定義并無關(guān)系.結(jié)論9它是在的過程中實(shí)現(xiàn)的【問題】如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.2.【直觀定義】103.【精確定義】②

“ε-δ”定義①設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意給定的e>0,

總存在

d

>0,使得當(dāng)0<|x-x0

|<d,恒有|f(x)-A|<e成立，則稱x→x0時(shí)函數(shù)f(x)以常數(shù)

A為極限，記為【注意】意味著（但不是函數(shù)關(guān)系，因δ不唯一）114.【幾何意義】極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2)這表明:12【例2】【證】【例3】【證】13【例4】【證】函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.但不影響考察該點(diǎn)極限的存在性14【例5】【證】155.【單側(cè)極限】【例如】16①【左極限】②【右極限】【注意】17左右極限存在但不相等,【例6】【證】［課后習(xí)題第8題（自證）］③【極限存在定理】18三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.【唯一性】【注】以下僅以形式為代表給出函數(shù)極限的一些定理，其它形式類推之?！咀C明】（略）（自證）19【定理2】【證】有則定理2得證2.【局部有界性】203.【局部保號(hào)性】【證】有【證完】容易推得下面更強(qiáng)的結(jié)論：【定理3】21③【定理3*】【補(bǔ)證】有（1）由（1）式得22【推論】【證明】利用定理3反證之（略）.由（1）式得【證完】234.【子列收斂性】(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)①【定義】②【定理4】24【分析】【證】25【例如】【證完】綜合上述畫線部分即得26函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系（海因定理）函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.【說明】常用海因定理來判斷函數(shù)在某變化過程中的極限不存在③【推廣】［方法一］：找兩子列，求得對(duì)應(yīng)的兩函數(shù)值子列極限值不相等.或找一個(gè)子列，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值子列的極限值不存在.［方法二］：27【例7】（補(bǔ)）【證】28二者不相等,【補(bǔ)充練習(xí)】【解】驗(yàn)證不存在取和但由海因定理故原極限不存在令29四、小結(jié)【數(shù)列、函