基本不等式市賽一等獎

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式22基本不等式趙爽弦圖你能從左邊的圖中找出哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系呢？

4個直角三角形的面積和為２ab，正方形的面積為a2＋b2．由于正方形ABCD的面積大于４個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式a2＋b2＞２ab思考：當(dāng)a=b時會出現(xiàn)什么情況？思考：當(dāng)a=b時會出現(xiàn)什么情況？正方形EFGH縮為一個點(diǎn)，這時有a2＋b2＝２ab一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥２ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．思考能否利用作差比較a2＋b2與２ab的大小解:a2＋b2－２ab＝a－b2因?yàn)閍，b∈R，a－b2≥０，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，所以a2＋b2≥２ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立ab一類重要不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）如果用、分別代替結(jié)論中的、，替換之后我們又會得到了什么結(jié)論呢？

通常把上式寫作探究:討論：a,b取值范圍（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）“基本不等式”定理定理：如果是正數(shù)，那么算數(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)兩個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”探究“基本不等式”的證明執(zhí)果索因分析法定理小結(jié)（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）例１.已知函數(shù)f(x)=x+

(x>0)，求函數(shù)的最小值和此時x的取值．例題講解解：因?yàn)椋荆?，所以?dāng)且僅當(dāng)＝，即2＝１，＝１時，等號成立，因此所求的最小值為２．基本不等式使用注意：一正二定三相等思考:例1條件改為<0,還能按照剛才方法求解嗎？分析：需要考慮<0解：因?yàn)?lt;０，所以當(dāng)且僅當(dāng)-＝-，即2＝１，＝-１時，等號成立，因此所求的最大值為-２．注意：此時只有最大值沒有最小值=(x

+1)+

-11x+1

f(x)=x

+

1x+1=1，≥2(x+1)?-11x+1當(dāng)且僅當(dāng)取“=”號.∴當(dāng)

x=0

時，

函數(shù)

f(x)

的最小值是

1.x+1=

，即

x=0

時，1x+1解:

∵

x＞-1，∴x+1>0.∴例2.求函數(shù)

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+1例題講解湊配法配湊系數(shù)分析:1-2不是常數(shù)2=1為解:∵0<x<，∴1-2x>0.32∴y=41-2=2?2?1-2≤

2

?[]22x+(1-2x)2當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”號2x=(1-2x)，即

x=

14∴當(dāng)

x=時，

函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值是.141若0<<，求函數(shù)y=41-2的最大值32針對練習(xí)

一正，二定，三相等>0，y>0，y=24，求46y的最小值，并說明此時，y的值．3已知x>0，y>0，且x+2y=1求的最小值.當(dāng)=6，y=4時，最小值為48針對練習(xí)例1（1）用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？（2）段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?例題講解例2、某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？解：設(shè)水池底面一邊的長度為，則另一邊的長度為，又設(shè)水池總造價為元，根據(jù)題意，得例題講解因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元。歸納：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：（1）先理解題意