江西省萬安中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)一、單選題（每題5分，共40分）1．等于（

）A． B． C． D．2．下列說法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角3．已知，，則（

）A． B． C． D．4．（）A． B． C． D．5．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實部與虛部的和為（

）A． B．1 C．0 D．26．“今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤兩百丈．”這是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五“商功”中的問題．意思為“現(xiàn)有城（如圖，等腰梯形的直棱柱體），下底長4丈，上底長2丈，高5丈，縱長200丈（1丈＝10尺）”，則該問題中“城”的體積等于（

）

A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺7．如圖，在正三棱柱中，若，，點D是棱的中點，點E在棱上，則三棱錐的體積為（

）

A．1 B．2 C． D．8．在斜三角形中，角的對邊分別為，點滿足，且，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（每題5分，共20分）9．已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（

）A．① B．② C．③ D．④10．已知函數(shù)，則說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)11．在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為BC，，的中點，則（

）

A．直線與直線AF異面B．直線與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面是等腰梯形D．三棱錐A-CEF的體積是正方體體積的12．如圖，在菱形中，，延長邊至點，使得.動點從點出發(fā)，沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到點，若，則（

）

A．滿足的點有且只有一個B．滿足的點有兩個C．存在最小值D．不存在最大值三、填空題（共20分）13．已知向量滿足，則．14．當(dāng)函數(shù)取得最大值時的的集合為．15．如圖是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個邊長為1的大正方形，若直角三角形中較小的內(nèi)角為，小正方形的邊長為，則．16．如圖，在直角梯形中，，將沿翻折成，使二面角為，則三棱錐外接球的表面積為.

四、解答題（共70分）17．已知函數(shù)

(1)請用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；00(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的值.18．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位.(1)求；(2)若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，若四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，求點對應(yīng)的復(fù)數(shù).19．已知向量，向量．(1)當(dāng)時，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，且，求的最大值以及對應(yīng)的x的值．20．①，②，③三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答．已知△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，若，______，(1)求B；(2)求的面積．21．重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊O為吸引游客，準備在門前兩條小路OA和OB之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長，記弓形花園的頂點為，設(shè).

(1)將用含有的關(guān)系式表示出來；(2)該山莊準備在點處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計的長度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大？22．如圖，已知矩形，，M是AD的中點，現(xiàn)將沿著BM翻折至．

(1)若，求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值的最大值．

1．D因為，故選：D.2．A銳角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正確；選項B．終邊相等的角必相等，兩角可以相差整數(shù)倍，故錯誤；選項C．小于的角不一定在第一象限，也可以為負角，故錯誤；選項D．根據(jù)任意角的定義，第二象限角可以為負角，第一象限角可以為正角，此時第二象限角小于第一象限角，故錯誤.故選：A3．A因為，，所以，故選：A4．A.故選：A5．D，則其實部為，虛部為，故實部與虛部之和為2，故選：D.6．D依題意，該柱體的體積為立方尺.故選：D7．C在正三棱柱中，若，，點是棱的中點，點在棱上，，點到平面的距離，三棱錐的體積為：．故選：C．8．A因為，由余弦定理得，又因為是斜三角形，所以，所以，由正弦定理得，因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，化簡得，解得或（舍去），所以，設(shè)邊的中點為，則，因為，所以，即為的中點，所以：.故選：A.9．CD對于①，，而是第三象限角，①不是；對于②，角的終邊為x軸非正半軸，②不是；對于③，，是第二象限角，③是；對于④，，是第二象限角，④是.故選：CD10．AC對于A選項，因為，所以，的圖象關(guān)于點對稱，所以A選項正確.對于B選項，由，知的圖象不關(guān)于直線對稱，所以B選項錯誤.對于C選項，由，知為奇函數(shù)，所以C選項正確.對于D選項，因為，，，所以不為偶函數(shù)，所以D選項錯誤.故選:AC.11．ABC對于選項A，易知AF與異面，選項A正確；對于選項B，取的中點為M，連接、GM，則，，易證，從而，選項B正確；對于選項C，連接，，易知平面AEF截正方體所得的截面為等腰梯形，選項C正確；對于選項D．設(shè)正方體棱長為a，三棱錐A-CEF的體積，選項D錯誤．故選：ABC．12．BC建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)菱形的邊長為1，，則，所以，，由，得，所以，所以，①當(dāng)點在上時，，且，所以；②當(dāng)點在（不含點B）上時，則，所以，化簡，所以，因為，所以，即；③當(dāng)點在（不含點C）上時，，且，所以，即，所以；④當(dāng)點在（不含點A、D）上時，則，所以，化簡，所以，因為，所以，所以；對于A，由①知，當(dāng)時，，此時點與點重合；由④可知當(dāng)時，，，此時點在的中點處；其它均不可能，所以這樣的點有兩個，所以A錯誤，對于B，由②知，當(dāng)時，，，此時點在的中點；由③知，當(dāng)時，，，此時點在點處；其它均不可能，所以這樣的點有兩個，所以B正確，對于CD，由①②③④可得：當(dāng)，即點為點時，取到最小值0；當(dāng)，即點為點時，取到最大值3，所以C正確，D錯誤，故選：BC.

13．/由題意，，所以，故答案為：14．依題意令，，解得，，所以函數(shù)取得最大值時的的集合為.故答案為：15．如圖所示，在直角三角形中，，，，則，，所以，，所以，解得，，所以.故答案為：16．解：如圖，設(shè)外接球的球心為，半徑為為中點，為中點，因為，所以，∥，又因為，，所以，所以,,所以，，所以為二面角的平面角，所以，作于，因為，，，所以平面，又因為平面，所以，又因為，,則平面，所以∥，則有，即，

由題意可求得：，設(shè)，由題上式可得：，求得：，從而求得：，故三棱錐外接球的表面積為.故答案為：17．(1)答案見解析；(2)時，取最小值0；時，取最大值1.（1）分別令，可得：x00100畫出函數(shù)在一個周期的圖像如圖所示：

（2）因為，所以，所以當(dāng)，即時，取最小值0；當(dāng)，即時，取最大值1.18．(1)(2)（1）設(shè)，則，故，所以解得：，∴；（2）由（1）得：，因為四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形所以故點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.19．(1)(2)，（1）因為，所以，解得.（2）,又因為，所以，所以當(dāng)，即時取得最大值為3.20．(1)條件選擇見解析，；(2)或.（1）若選①，，可得，可得：，因為，可得，可得，可得；若選②，，由正弦定理可得，因為，則，可得，即，因為，可得；若選③，因為，可得，可得，因為，可得；（2）結(jié)合（1）因為，利用正弦定理可得，所以，因為，所以或，當(dāng)時，，因為，所以，，可得：，當(dāng)時，則，又因為，所以，．所以的面積為或.21．(1)，(2)答案見解析（1）因為，，所以，.（2）因為，所以，在中，由余弦定理易得，因為，所以，當(dāng)，即時，取最大值取最大值，此時，，故當(dāng)時，取最大值.22．(1)證明見解析(2)（1）由題意矩形中，，M是AD的中點，可知,，設(shè)O為中點，連接，則，

又，，故，又

，O為中點，故，而，故，故，而平面，故平面，平面，故平面平面；（2）由（1）可知，將沿著BM翻折至平面平面時，二面角逐漸增大，當(dāng)平面平面時，作，垂足為E，連接，

因為O為中點，則E為中點，此時;由于平面，平面，故，平面，故平面，則為二面角的平面角，而,故；下面考慮翻折到越過平面平面時的位置后的情況：設(shè)Q為中點，連接，則四邊形為正方形