隨機(jī)過(guò)程論（第3版）課件 ch06馬氏過(guò)程

“馬氏過(guò)程隨機(jī)過(guò)程論新工科建設(shè)之路第六章馬氏過(guò)程在第三至五章中，我們分別研究了可數(shù)狀態(tài)的馬氏過(guò)程和一種特殊的以Rd為狀態(tài)空間的馬氏過(guò)程-Brown運(yùn)動(dòng)，我們對(duì)馬氏過(guò)程已經(jīng)有一些具體的了解。本章我們將對(duì)馬氏過(guò)程進(jìn)行一般的研究:討論它的半群與無(wú)窮小生成元、強(qiáng)馬氏性，以及軌道性質(zhì)等問(wèn)題。在第七章，我們?cè)俸?jiǎn)單介紹一下近年來(lái)發(fā)展很快且受到普遍重視的幾個(gè)有關(guān)問(wèn)題:無(wú)窮粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型、點(diǎn)過(guò)程和隨機(jī)測(cè)度。01馬氏過(guò)程與半群及鞅問(wèn)題馬氏過(guò)程與半群及鞅問(wèn)題在5.2節(jié)中，我們知道半群及其無(wú)窮小生成元可將離散狀態(tài)空間(如馬氏鏈)與連續(xù)狀態(tài)空間(如BMd)的馬氏過(guò)程做統(tǒng)一的刻畫(huà)，使我們更能把握住馬氏過(guò)程的特征。本節(jié)中我們給出一般的馬氏過(guò)程半群理論。1.馬氏過(guò)程對(duì)應(yīng)的半群命題6.11.馬氏過(guò)程對(duì)應(yīng)的半群命題6.11.馬氏過(guò)程對(duì)應(yīng)的半群命題6.21.馬氏過(guò)程對(duì)應(yīng)的半群命題6.22.無(wú)窮小生成元考查2.無(wú)窮小生成元命題6.32.無(wú)窮小生成元命題6.32.無(wú)窮小生成元命題6.32.無(wú)窮小生成元命題6.42.無(wú)窮小生成元命題6.42.無(wú)窮小生成元命題6.42.無(wú)窮小生成元命題6.42.無(wú)窮小生成元定理6.12.無(wú)窮小生成元定理6.12.無(wú)窮小生成元定理6.12.無(wú)窮小生成元定理6.12.無(wú)窮小生成元定理6.12.無(wú)窮小生成元定理6.12.無(wú)窮小生成元定理6.12.無(wú)窮小生成元定理6.12.無(wú)窮小生成元定理6.13.鞅問(wèn)題與弱生成元上面講到，無(wú)窮小生成元是按B(?)中的強(qiáng)收斂定義的，因而它的定義域比較小，而且較難確定。特別是在很多情況下，問(wèn)題往往是要求對(duì)已知的形式無(wú)窮小生成元去找出其相應(yīng)馬氏過(guò)程。這時(shí)，能夠給出一個(gè)要求較弱的類(lèi)似無(wú)窮小生成元的刻畫(huà)就很方便。Stroock-Varadhan提出了馬氏過(guò)程的鞅問(wèn)題的模型，這為在馬氏過(guò)程中使用鞅方法提供了指導(dǎo)。下面我們來(lái)介紹鞅問(wèn)題的模型。首先，注意到式(6.2)還可以寫(xiě)成積分形式，即3.鞅問(wèn)題與弱生成元也就有由馬氏性與時(shí)齊性就得到3.鞅問(wèn)題與弱生成元3.鞅問(wèn)題與弱生成元命題6.53.鞅問(wèn)題與弱生成元命題6.53.鞅問(wèn)題與弱生成元命題6.53.鞅問(wèn)題與弱生成元命題6.602強(qiáng)馬氏性、過(guò)程的截止與Feymann-Kac公式1.推移算子與強(qiáng)馬氏性在討論馬氏過(guò)程沿軌道的性質(zhì)時(shí)，利用第一章1.3節(jié)中引入的推移算子是很方便的，而且它對(duì)于其他過(guò)程的研究也有益。假定T對(duì)加法封閉。2.具有強(qiáng)馬氏性的條件我們?cè)诘谒恼轮幸呀?jīng)知道，對(duì)于只有可列個(gè)取值的停時(shí)7，馬氏過(guò)程必有強(qiáng)馬氏性。但是一般情況下，并非所有馬氏過(guò)程都有強(qiáng)馬氏性。本節(jié)主要討論對(duì)一個(gè)軌道右連續(xù)的馬氏過(guò)程，在其轉(zhuǎn)移函數(shù)(半群)上附加什么條件就能保證有強(qiáng)馬氏性。定義6.12.具有強(qiáng)馬氏性的條件定理6.22.具有強(qiáng)馬氏性的條件定理6.22.具有強(qiáng)馬氏性的條件定理6.2成立。再利用在有界收斂意義下，連續(xù)函數(shù)可逼近有界可測(cè)函數(shù)，于是式(6.12)就對(duì)一切有界可測(cè)函數(shù)成立。3.過(guò)程的截止命題6.73.過(guò)程的截止命題6.73.過(guò)程的截止命題6.73.過(guò)程的截止命題6.73.過(guò)程的截止命題6.73.過(guò)程的截止命題6.73.過(guò)程的截止命題6.74.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.303度量空間中測(cè)度的弱收斂及馬氏過(guò)程在C空間與D空間的實(shí)現(xiàn)1.度量空間上的測(cè)度空間1.度量空間上的測(cè)度空間定義6.21.度量空間上的測(cè)度空間定義6.2定義6.31.度量空間上的測(cè)度空間定義6.41.度量空間上的測(cè)度空間定義6.41.度量空間上的測(cè)度空間定義6.41.度量空間上的測(cè)度空間定義6.41.度量空間上的測(cè)度空間命題6.81.度量空間上的測(cè)度空間命題6.82.胎緊與(X)的緊性定理6.52.胎緊與(X)的緊性定理6.52.胎緊與(X)的緊性定義6.4定理6.62.胎緊與(X)的緊性定理6.6定理6.72.胎緊與(X)的緊性定理6.72.胎緊與(X)的緊性定理6.73.連續(xù)函數(shù)空間上的測(cè)度3.連續(xù)函數(shù)空間上的測(cè)度3.連續(xù)函數(shù)空間上的測(cè)度3.連續(xù)函數(shù)空間上的測(cè)度命題6.94.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)設(shè)已知轉(zhuǎn)移函數(shù)族定理6.84.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)定理6.84.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)引理6.24.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)引理6.24.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)引理6.24.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)引理6.24.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)引理6.24.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)引理6.24.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)引理6.24.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)引理6.24.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)定理6.9對(duì)一般的隨機(jī)過(guò)程，我們還有一個(gè)關(guān)于它在連續(xù)函數(shù)空間上實(shí)現(xiàn)的推廣的Kolmogorov定理，它對(duì)于獨(dú)立增量過(guò)程，使用起來(lái)特別方便。下面我們給出這些定理，而略去其證明。4.馬氏過(guò)程在連續(xù)函數(shù)空間上的實(shí)現(xiàn)定理6.105.D[0,1]上的測(cè)度般來(lái)說(shuō)，給定了取值于度量空間的轉(zhuǎn)移函數(shù)族{P(t;x,A}，對(duì)應(yīng)的馬氏過(guò)程并不一定能在連續(xù)軌道上實(shí)現(xiàn)，我們?cè)诘谒恼屡c第五章中已經(jīng)看到了反例。因此，我們退一步再考慮給定了轉(zhuǎn)移函數(shù)，在什么條件下它決定的馬氏過(guò)程可以是幾乎全部軌道右連續(xù)而且具有左極限的，也即它可以在右連續(xù)、具有左極限的軌道空間(記為D[0,1])上實(shí)現(xiàn)。令5.D[0,1]上的測(cè)度定義6.55.D[0,1]上的測(cè)度定義6.55.D[0,1]上的測(cè)度定義6.5Varadhan利用D[0,1]空間上概率分布的弱緊條件重新證明了Kolmogorov關(guān)于隨機(jī)過(guò)程能在D[0,1]空間上實(shí)現(xiàn)的矩條件的定理及Dynkin關(guān)于馬氏過(guò)程能在D[0,1]空間上實(shí)現(xiàn)的致o(1)條件的定理。這不僅在方法上更統(tǒng)一、更現(xiàn)代化，而且更加直觀。由于Varadhar的證明很難在一般書(shū)上找到，而且它太長(zhǎng)，我們?cè)谶@里介紹Varadhan的證明綱要。為此我們先列出D[0,1]空間上連續(xù)模的一系列事實(shí)，它們是不難證明的。5.D[0,1]上的測(cè)度定義6.55.D[0,1]上的測(cè)度定理6.115.D[0,1]上的測(cè)度定理6.115.