十屆北京市大學生數(shù)學競賽本科丙組試題與解答

第十八屆北京市大學生數(shù)學比賽本科丙組試題與解答（2007年10月14日下午2：30--5：00）一、填空題（每題3分，共30分）2.設f(x)(x1)(x2)(xn),則f(1)________.(x1)(x2)(xn)解f(1)(1)n1n(n.1)4.設在[0,1]上f(x)0,則f(0),f(1),f(1)f(0)從小到大的次序是_____________解f(0),f(1)f(0),f(1)..8.設函數(shù)zf(x,y)在點(0,1)的某鄰域內(nèi)可微，且f(x,y1)12x，此中3yo()x2y2，則由方程f(x,y)1所確立的函數(shù)在x0處的導數(shù)dy_______.dy2.dx|x0解|x0dx39.設f(x,y)為連續(xù)函數(shù),且f(x,y)y2xf(x,y)dxdy,則f(x,y)_____.x2y2a2解f(x,y)a4πxy2.410.設ye2x(1x)ex是二階常系數(shù)線性微分方程yyyex的一個特解,則222_______.解22214.二、(10分)設二元函數(shù)f(x,y)|xy|(x,y),此中(x,y)在點(0,0)的一個鄰域內(nèi)連續(xù).試證明函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微的充分必需條件是(0,0)0.解(必需性)設f(x,y)在(0,0)點處可微,則fx(0,0),fy(0,0)存在.因為fx(0,0)limf(x,0)xf(0,0)lim|x|(x,0),x0x0x且lim|x|(x,0)(0,0),lim|x|(x,0)(0,0),故有(0,0)0.x0xx0x(充分性)若(0,0)0,則可知fx(0,0)0,fy(0,0)0.因為f(x,y)f(0,0)fx(0,0)xfy(0,0)y|xy|(x,y)x2y2x2,y2又|xy||x||y|y22,x2y2x2y2x2因此lim|xy|(x,y)0.由定義f(x,y)在(0,0)點處可微.x0x2y21/7π1πdy22三、(10分)求積分I0xdxx1(tany2)2.解互換積分次序得πy21dxπ2yI2dy2dy0x122220(tany)01)ππ(tanyπ11(tanu)2uy22du2du2du,01(tanu)201(cotu)201(tanu)21ππ.I2du204四、分)設x2x,x0，求fx的極值.1,x0x解limf(x)limx2x1,limx0x0x0f(x)2(lnx1)x2x,x0,1,x0當0xe1時，f(x)0,當x又當x0時,f(x)0,因此x極小值f(e1)e2e1,極大值

f(x)1,f(x)在x0處連續(xù).駐點xe1.e1時，f(x)0,因此xe1是極小值點.是極大值點.0f(0)1.五、(10分)設f(x)在區(qū)間f()f(1)6證f(1)f(0)f(0)f(1)f(0)f(0)f(1)f(1)2f(0)

[1,1]上三次可微,證明存在實數(shù)(1,1),使得f(1)f(0).2f(0)f(1)2!3!,f(0)f(2)2!3!,1[f(1)f(2)].6由導數(shù)的介值性知存在實數(shù)(1,2),使得f()1[f(1)f(2)].于是f()f(1)f(1)262f(0).六、(10分)設正項級數(shù)an收斂,且和為S.試求：n1(1)lima12a2nnan;(2)a12a2nan.nn1n(n1)2/7解(1)a12a2nanSnSnS1SnS2SnSn1nnSnS1S2nSn1SnS1S21Sn1n1,a12a2nannnSS0;limnn(2)a12a2nana12a2nnana12a21nann(n1)na12a2nana12a2nan(n1)an1an1.nn1記bna12a2nan,則a12a21)nanbnbn1an1nn(na12a2nanb1an1anS.n(n1)n1n1n1七、(10分)證明：當0xπ時,(sinx)2x2142.2π證設f(x)(sinx)2x2,f(x)2sin3xcosx2x32sin3xx3cosx.1x3sin3x令(x)sinxcos3xx,11sinxcos4則(x)cosxcos3x3x13243442cos3x1cosx13x10.3cos3xcos33(x)單一增添且(0)0,故當0xπ時,(x)0.2π4于是f(x)0,進而f(x)單一增添且f(1,)2π時,(sinx)42.2π當0x2x212π八、(10分)證明sin1是無理數(shù).3/7證設sin1是有理數(shù)，則sin1pp,q是互素的正整數(shù).,q(1)n1(1)n依據(jù)sinx的睜開式有p1111cos(2n1q).q3!5!7!(2n1)!(2n1)!由(2n1)!p(2n1)ncos知，1)nq3!5!7!(2n1)!2n(2n1)(cos是整數(shù)(兩個整數(shù)之差還是整數(shù)).2n(2n1)1)ncos但是|cos|1,2n1,故(不行能是整數(shù),矛盾.2n(2n1)因此sin1是無理數(shù).第十八屆北京市大學生數(shù)學比賽本科甲、乙組試題解答（2007年10月14日下午2：30--5：00）注意：本考卷共九題.甲組九題全做,乙組只做前七題一、填空題（每題2分，共20分）2.設f(x)(x1)(x2)(xn),則f(1)________.(x1)(x2)(xn)解f(1)(1)n1.n(n1)3.已知曲線yf(x)在點(1,0)處的切線在y軸上的截距為1,則lim[1f(11)]n_____.1nn解lim[1f(1)]ne.nnπxsin2x5.2dx_________.πcosx)22(1解原式4π.6.設函數(shù)zf(,)在點(0,1)的某鄰域內(nèi)可微,且f(,1)12x3yo(),此中xyxyx2y2，則曲面zf(x,y)在點(0,1)處的切平面方程為_____________.解切平面方程為2x3yz20.7.直線x01y1z1繞z軸旋轉的旋轉曲面方程為_____________.11解旋轉轉曲面方程x2y2z21.8.設L為關閉曲線|x||x的正向一周，則22dxcos(xy)dy____.y|1Lxy解原式0.4/79.設向量場A2x3yzix2y2zjx2yz2k,則其散度divA在點M(1,1,2)處沿方向l{2,2,1}的方導游數(shù)(divA)|M______.l解原式22.310.設ye2x(1x)ex是二階常系數(shù)線性微分方程yyyex的一個特解,則222_______.解22214.二、分)設二元函數(shù)f(x,y)|xy|(x,y),此中(x,y)在點(0,0)的一個鄰域內(nèi)連續(xù).(10試證明函數(shù)f(x,y)在(0,0)點處可微的充分必需條件是(0,0)0.證(必需性)設f(x,y)在(0,0)點處可微,則fx(0,0),fy(0,0)存在.因為fx(0,0)limf(x,0)f(0,0)|x|(x,0)xlimx,x0x0且lim|x|(x,0)(0,0),lim|x|(x,0)(0,0),故有(0,0)0.xxx0x0(充分性)若(0,0)0,則可知fx(0,0)0,fy(0,0)0.因為f(x,y)f(0,0)fx(0,0)xfy(0,0)y|xy|(x,y)|xy||x||y|2,x2y2x2y2,又x2y2x2y2x2y2因此lim|xy|(x,y)0.由定義f(x,y)在(0,0)點處可微.x022y0xy四、分)設函數(shù)u(x,y),v(x,y)在閉地區(qū)D:x2y2上有一階連續(xù)偏導數(shù),又(101f(x,y)v(x,y)iu(x,y)j,g(x,y)uui+vvj,且在D的界限上有xyxyu(x,y)1,v(x,y)y,求fgd.D解fgvuuvvuvvuv(uv)(uv)xyuyvuyux,xxxyyfgd(uv)(uv)duvdxuvdyydxydyxyDDLL2πsin2π,L:x2y20(sincos)d1,正向.五、(10分)計算x2dydzy2dzdxz2dxdy,此中:(x1)2(y1)2z21(y1),取外側.45/7解設0:y1,左邊,D:(x1)2z2.1,則原式400dzdx2π,D2(xyz)dv2(xy)dvππ1rsinsin2)r2sindr2dd2(rcossinVV00004ππ121sinsin22)d19π,d(cossin4sin30043原式19π2π25π.33另解設0:y1,左邊,D:(x1)2z21,則原式.400dzdx2π,2(xyz)dv,故原式2(xyz)dv2π.0D0VV22x2)dx4π,Dx1)2z2x2,yxdvxdxdydzπx(2x:(y2x1,V0Dx034222(2yy2)dy11π,Dy1)2z2y2,ydvydxdzdxπy:(x2yV1Dy064原式8π11π2π25π.333七、(10分)飛機在機場開始滑行著陸.在著陸時刻已失掉垂直速度,水平速度為v0米/秒.飛機與地面的摩擦系數(shù)為,且飛機運動時所受空氣的阻力與速度的平方成正比,在水平方向的比率系數(shù)為kx千克秒2/米2,在垂直方向的比率系數(shù)為ky千克秒2/米2.設飛機的質(zhì)量為m千克,求飛機從著陸到停止所需的時間.解水平方向的阻力Rxkxv2,垂直方向的阻力Rykyv2,摩擦力W(mgRy).2kxkyds由牛頓第二定律，有ds(2g0.dt2m)dtkxkyg,依據(jù)題意知A0.于是有d2sds2B0,即dvAv2B0.記A,Bdt2A()dtmdt分別變量得dvBdt,積分得1arctan(Av)tC.Av2ABB代入初始條件t0,vv0,得C1Av0).ABarctan(B1A1AtABarctan(Bv0)ABarctan(Bv).當v0時，t1arctan(Av0)marctankxky(秒).ABB(kxky)gmgv0以下兩題乙組考生不做6/7π內(nèi),試比較函數(shù)tan(sinx)與sin(tanx)的大小，并證明你的結論.九、(10分)在區(qū)間(0,)2解設f(x)tan(sinx)sin(tanx),則cos3xcos(tanx)cos2(sinx).f(x)sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2xcos2(sinx)cos2x當0xarctanπ時，0tanxπ,0sinxπ.222π由余弦函數(shù)在（，）上的凸性有021costanx2sinx.3cos(tanx)cos2(sinx)[cos(tanx)2cos(sinx)]33設(x)tanx2sinx3x，(x)sec2x2cosx3tan2x4sin2x3x,因此costanx2sinx2于是tanx2sinxcosx,即cos(tanx)cos2(s