第三章點、直線、平面的投影

第三章點、直線、平面的投影第一頁，共126頁。第三章點、直線、平面的投影

第一節(jié)點的投影第二節(jié)直線的投影第四節(jié)平面的投影第三節(jié)兩直線的相對位置學習要點掌握點、直線、平面的投影特性第一頁第二頁，共126頁?！?—1點的投影點在兩投影面體系中的投影HB2B1Aba構成：立體→面→邊→點講解順序：點→線→面→體點的單面投影：不能唯一確定空間點

第二頁第三頁，共126頁。（一）兩面投影體系OXHVⅠⅡⅣⅢH與V相交→OX投影軸水平投影面H

正立投影面

V垂直相交一、點的兩面投影第三頁第四頁，共126頁。（二）點的兩面投影VVHOAaa

X正面投影水平投影aXaoxaxa

點的投影特性：1.

aa

的連線OX軸

2.

a

aX=AaaaX=Aa

第四頁第五頁，共126頁。點的兩面投影規(guī)律：（1）點的兩投影連線垂直于投影軸，即

aa'⊥ox；（2）點的投影到投影軸的距離，等于該點到相鄰投影面的距離，即：a'ax=Aaaax=Aa'第五頁第六頁，共126頁。用兩面投影是否均能唯一確定空間形體？不能OXHVXO第六頁第七頁，共126頁。VVHOAa,aX正面投影水平投影（一）三面投影體系WYZa

側面投影二、點的三面投影水平投影面H

正立投影面

V側立投影面W垂直相交H與V

相交→OX投影軸H與W相交→OY投影軸V與W相交→OZ投影軸第七頁第八頁，共126頁。aa

a

（二）點的三面投影oxzyHyW45

垂直關系,a

aOXa,,a,OZ

相等關系axazaaxa,,azayay投影特性：第八頁第九頁，共126頁。1.a

az=aay=xa

az=aax=ya

ax=a

ay=z

三投影面體系中點的投影規(guī)律2.a

a

oxa

a

ozHVXZYWOayaxazxyza

aa

Ha

aa

VWXOZYWYHaxayazay第九頁第十頁，共126頁。點在三投影面體系中的投影XYHYWZOa'a"a規(guī)定：空間點A用大寫字母表示，在H面的投影a，在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。aVHWXYHYW

Za'a"O第十頁第十一頁，共126頁。例題1已知點A的正面與側面投影，求點A的水平投影。XZYWYHOa

a

a第十一頁第十二頁，共126頁。已知點A的正面投影和側面投影,求其水平投影。注:這是二求三問題的基礎。axzOyWyHa

a

例題2第十二頁第十三頁，共126頁。VOAaa

XYZa

三、點的投影與直角坐標的關系投影面→坐標面投影軸→坐標軸軸的交點O→坐標原點xzy

Aa

=XaAa

=YaAa=Za距離的關系：投影坐標立體圖第十三頁第十四頁，共126頁。wXOZYwaXHYHYaaaaaZYa例題3已知點A的坐標(20，10，20)，求Ａ的三面投影。沿軸準確量取X，Y，Z單位為mm第十四頁第十五頁，共126頁。yWyHzxoa已知A（35，10，25），作出其三面投影圖。10mm351025a

a

注:一個投影點反映兩個坐標。兩個投影點確定一個空間點。例題4第十五頁第十六頁，共126頁。VXYZa"Cc例題5

已知A、C兩點的投影圖，作出其立體圖，并判別各點的空間位置。aa'c'c"AX軸Y軸a'ac"c'yWyHzxa"A位于C位于第十六頁第十七頁，共126頁。特殊點的投影HVOXb

bc

cHVOXCc

ca

bBb

Aaa

a第十七頁第十八頁，共126頁。YVZOX四、兩點的投影VWHA左右上下前后（一）兩點的相對位置關系第十八頁第十九頁，共126頁。XOZY

兩點的相對位置兩點中X值大的點——在左兩點中Y值大的點——在前兩點中Z值大的點——在上a

a

ab

b

bXZYWYHOa

a

ab

bb

BA第十九頁第二十頁，共126頁。（二）重影點的概念A與B對H面重影由V投影判斷高低不可見投影點的標記加括號HVAB

a(b)b

a

XO

a(b)XOa

b

第二十頁第二十一頁，共126頁。a'b'a(b)c'(d')dca''c''b''d''重影點的可見性判斷左遮右3、若兩點的側面投影重合，可從正投影或水平投影判別，x坐標值大的點為可見（同學自己分析）。將不可見點的投影加上括號來表示，如（b）（d'）。前遮后2、若兩點的正面投影重合，可從水平投影判別其可見性，y坐標值大的點為可見（點C在前）。上遮下1、若兩點的水平投影重合，可從正面投影判別其可見性，z坐標值大的點為可見（點A在上）。第二十一頁第二十二頁，共126頁。例題6

已知點的坐標值為：A（20，10，15）和

B（0，15，20）求它們的三面投影圖。解：（1）量取坐標值；XOYHYWZaa'a"bb'b"（2）作點的投影。第二十二頁第二十三頁，共126頁。bb"c'c"xyHywoa'a"z例題7已知各點的兩面投影，求作其第三投影，并判斷點對投影面的相對位置。點A的三個坐標值均不為0，A為一般位置。點B的Z坐標為0，故點B為H面上的點。點C的x、y坐標為0，故點C為z軸上的點。ab'c第二十三頁第二十四頁，共126頁。例題8已知點D的三面投影，點C在點D的正前方15mm，

求作點C的三面投影，并判別其投影的可見性。解：由已知條件知：XC=XDZC=ZD

YC-YD=15mm因為點C、D在V面上的投影重影。cc'c"又因為YC>YD所以C的V面投影為可見點，則D的V面投影為不可見點。d'YWYHOXZdd"()第二十四頁第二十五頁，共126頁。例題9已知A點在B點之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985第二十五頁第二十六頁，共126頁。ZYXObcaBAC已知A、B、C三點的投影圖，作出其立體圖，并判別各點的空間位置?？臻gH面V面c

a

b

abcyWyHzxA位于B位于C位于a

c

b

a

c

b

b

a

a

c

例題10第二十六頁第二十七頁，共126頁?！?—2直線的投影一、直線的投影二、直線上的點三、各種位置直線的投影特性四、求一般位置直線的實長及其對投影面的傾角第二十七頁第二十八頁，共126頁。

一、直線的投影直線的投影特性顯實積聚類似1.直線平行于投影面，其投影反映實長。2.直線垂直于投影面，其投影積聚成點。3.直線傾斜于投影面，其投影長度縮短。

第二十八頁第二十九頁，共126頁。直線的投影圖b,,a,,abb,a,xzOyWyH作圖：1.作出直線上兩點的投影2.用直線分別連接其各同面投影。第二十九頁第三十頁，共126頁。直線上的點具有兩個特性：1從屬性若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。2定比性屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。利用這一特性，在不作側面投影的情況下，可以在側平線上找點或判斷已知點是否在側平線上。

二、直線上的點ABbb

aa

XOcc

Cc第三十頁第三十一頁，共126頁。b,aefbf,e,a,例1E點在AB直線上F點不在AB直線上判斷E、F點是不是在直線AB上。第三十一頁第三十二頁，共126頁。試判斷K點是否在直線EF上。f

e

efk

kXOYZVf

e

f

e

efEFKk

kk

XO直接判斷例2第三十二頁9/26/2023第三十三頁，共126頁。K點不在直線上1,k,2,1,1k22,k,k判斷K點是否在直線上。OX例3第三十三頁第三十四頁，共126頁。b

Xa

abcc

例題4已知線段AB的投影圖，試將AB分成2：1兩段，求分點C的投影。第三十四頁第三十五頁，共126頁。例題5已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。b

Xa

bacc

accbXOABbb

aa

c

CcHV第三十五頁第三十六頁，共126頁。已知K點在直線AB上，試求作K點的H面投影。a

b

abXOk'k例6第三十六頁9/26/2023第三十七頁，共126頁。41.特殊位置直線投影面的平行線：平行于一個投影面的直線投影面的垂直線：垂直于一個投影面的直線2.一般位置直線一般位置直線與各個投影面均傾斜：其投影均小于實長?！琀：水平線‖V

：正平線‖W：側平線H:鉛垂線V:正垂線W:側垂線三、各種位置直線的投影特性第三十七頁第三十八頁，共126頁。投影面的平行線

正平線//Ｖ面水平線//Ｈ面?zhèn)绕骄€//Ｗ面

平行于一個投影面傾斜于另外兩個投影面。平行線分三種：第三十八頁第三十九頁，共126頁。

水平線（//Ｈ面、傾斜Ｖ和Ｗ面）XZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOzYHYW

AB投影特性：1、正面和側面投影比實長短，a

b

OX;a

b

OYW2、ab=AB反映實長，傾斜于OX軸，反映

、

角。第三十九頁第四十頁，共126頁。XZYO正平線（//Ｖ面、傾斜Ｈ和Ｗ面）aa

b

a

b

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1、水平和側面投影比實長短，ab

OX;a

b

OZ2、a

b

=AB反映實長,傾斜于OX軸，反映

、

角第四十頁第四十一頁，共126頁。XZYOＨ面?zhèn)绕骄€（//Ｗ面、傾斜Ｖ和）XZa

b

b

baOYHYWa

aa

b

a

b

b

AB投影特性：1、正面和水平投影比實長短，a

b

OZ;ab

OYH2、a

b

=AB反映實長,傾斜于OZ軸，反映

、

角第四十一頁第四十二頁，共126頁。投影面的垂直線側垂線⊥Ｗ面正垂線⊥Ｖ面鉛垂線⊥Ｈ面垂直于一個投影面平行于另外兩個投影面。垂直線分三種：第四十二頁第四十三頁，共126頁。OXZYb

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、水平投影ab積聚成一點2、a

b//OZ;a

b

//

OZ；

a

b

OX;a

b

OY

3、a

b

=a

b

=AB反映實長鉛垂線（Ｈ面、//Ｖ面、//Ｗ面）AB第四十三頁第四十四頁，共126頁。側垂線（Ｗ面、//Ｖ面、//Ｈ面）OXZYAB投影特性：1、側面投影a

b

積聚成一點2、ab//

OX

;a

b//

OX；ab

OYH;a

b

OZ

3、ab=a

b

=AB反映實長。ba

a（b）ab

ZXa（b）aOYHYWa

bb

第四十四頁第四十五頁，共126頁。正垂線（

Ｖ面、//Ｈ面、//Ｗ面）OXZYba（b）a

b

a投影特性：1、正面投影a

b

積聚成一點。2、ab//OY;a

b

//OY；

ab

OX;a

b

OZ

3、ab=a

b

=AB反映實長。ABazXOYHYWa（b

）b

a

b第四十五頁第四十六頁，共126頁。

一般位置直線傾斜于三個投影面的直線。直線與它的水平投影、正面投影、側面投影的夾角，分別稱為該直線對投影面Ｈ、Ｖ、Ｗ的傾角，用、、表示。第四十六頁第四十七頁，共126頁。OXZY一般位置直線的投影特性ABbb

a

b

aa

投影特性：1、ab、a

b

、a

b

均小于實長2、ab、a

b

、a

b

均傾斜于投影軸

3、不反映

、

、

實角與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。ZXa

b

aOYHYWa

bb

第四十七頁第四十八頁，共126頁。b

a

ba c

d

dc分析直線e

f

e(f)第四十八頁第四十九頁，共126頁。

|zB-zA

|ABABbb

aa

boXO1.求直線的實長及對水平投影面的夾角

角

Xa

ab

b

ABab|zB-zA|

AB|zB-zA|ab|Z第四十九頁第五十頁，共126頁。直角三角形法：距離差實長投影:H投影,Z，實長:V投影,Y，實長:W投影,X，實長基本作圖：傾角XOa

b

abAB

b0第五十頁第五十一頁，共126頁。ABbb

aa

CXO2.求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|YA-YB|a

Xab

ba

b

AB

AB

a

b

|YA-YB||YA-YB|AB

|YA-YB|

第五十一頁第五十二頁，共126頁。XZYO3.求直線的實長及對側面投影面的夾角

角ABbb

a

b

aa

ZXa

baOYHYWa

bb

|XA-XB||XA-XB|

第五十二頁第五十三頁，共126頁。試用直角三角形法確定直線AB的實長及對投影面V的傾角

。例題7a

b

abXO

AB第五十三頁第五十四頁，共126頁。投影長度a'b'Y實長投影長度a'b'實長例題8

已知線段AB＝30毫米及其投影ab和a

，試求出a

b

。b

aa

b第五十四頁第五十五頁，共126頁。例題9已知線段的實長AB，求它的水平投影。a|zB-zA|

ab

a

b

|yA-yB|ABABab|zB-zA|b

Xa

bABa第五十五頁第五十六頁，共126頁?！?—3兩直線的相對位置一、平行兩直線二、相交兩直線三、交叉兩直線四、垂直相交兩直線的投影第五十六頁第五十七頁，共126頁。兩直線的相對位置Va'b'd'c'a'a'b'b'd'c'c'e'(f')AAABBBDCCCDEF平行兩直線相交兩直線交叉兩直線第五十七頁第五十八頁，共126頁。XOV一、兩直線平行規(guī)則：若空間兩直線平行，則它們的各同名投影平行。abcdb

a

c

d

ABDCb

a

d

c

bacda

b

c

d

同向、同比例第五十八頁第五十九頁，共126頁。不平行判斷空間兩直線是否平行。b

a

d

c

bacdXO平行c

d

cdg

h

hg第五十九頁第六十頁，共126頁。XOYZVf

e

f

e

efCDd

c

cdd

c

EF第六十頁第六十一頁，共126頁。

基本作圖過已知點A作直線AB平行于已知直線CD。b

a

c

d

cdab第六十一頁第六十二頁，共126頁。b

Xa

abk

c

d

dckXBDACKbb

aa

c

cdd

k

k二、相交兩直線

交點K的三面投影符合點的投影規(guī)律。第六十二頁第六十三頁，共126頁。dcaba'b'c'd'c''d''b''a''k'kk''投影圖利用投影判兩斷直線是否相交？e'f'efg'h'ghe'f'第六十三頁第六十四頁，共126頁。

基本作圖過已知點作直線與已知直線相交。答案有多少個？關鍵問題是什么？交點。無數(shù)個。第六十四頁第六十五頁，共126頁。c'd'cd20mmb'k'a'答案有多少個？無數(shù)個。abk例題10

如圖所示，作一條與V面相距20mm并與已知直線CD相交的直線AB。x第六十五頁第六十六頁，共126頁。dd'kk'aa'bb'cc'??例題11過C點作水平線CD與AB相交。先作CD的正面投影第六十六頁第六十七頁，共126頁。三、交叉兩直線空間既不平行又不相交的二直線為交叉直線。b

Xa

abc

d

dc11

(2

)2XOBDACbb

aa

c

cdd

211

(2

)21交叉兩直線的同面投影可能相交，但不符合空間點的投影規(guī)律。第六十七頁第六十八頁，共126頁。aa'bb'cc'dd'c

d

cdg

h

hg第六十八頁第六十九頁，共126頁。XOYZVf

e

f

e

efCDd

c

cdd

c

EF第六十九頁第七十頁，共126頁。判斷交叉兩直線重影點的可見性

XOBDACbb

aa

c

cdd

(3

)4

1(2)43341

2

12判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。

前遮后、上遮下、左遮右上遮下前遮后第七十頁第七十一頁，共126頁。aa'bb'cc'dd'

交叉兩直線投影的交點并不是空間兩直線真正的交點，而是兩直線上相應點投影的重影點。

11'22'33'44'()()第七十一頁第七十二頁，共126頁。基本作圖過已知點作直線與已知直線交叉。cdc'd'a'abb'能否過A點隨意作線呢？答案有多少個？無數(shù)個。第七十二頁第七十三頁，共126頁。例題12判斷兩直線的相對位置d

a

c

b

oYWYHzXa

ac

d

dcbb

第七十三頁第七十四頁，共126頁。例題13判斷兩直線的相對位置ba

ac

d

dcb

X1

1

d

1

c

1第七十四頁第七十五頁，共126頁。例題13判斷兩直線的相對位置。交點的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面投影可判斷為相交兩線?！遖b與cd在一直線上，而a'b'∥c'd'，∴兩直線平行。∵CD為側平線，利用點分割線段成比例進行判斷。為交叉兩直線。OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'Emk第七十五頁第七十六頁，共126頁。例題14

已知：兩直線AB、CD的投影及點M的水平投影m，試作一直線MN∥CD并與直線AB相交于N點。nn'm'作圖：過m作mn∥cd，并與ab交于n；由n求出n'；過n'作n'm'∥c'd'，求得m'。aa'bb'cc'dd'mOX第七十六頁第七十七頁，共126頁。例題15判斷兩直線重影點的可見性b

bc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)第七十七頁第七十八頁，共126頁。

直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影定理一：垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。二、交叉垂直的兩直線的投影定理三：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四：兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。第七十八頁第七十九頁，共126頁。一、垂直相交的兩直線的投影AHBCacbcXb

a

c

ba已知AB⊥ACAB//H面因此AB

Aa故AB

ACca平面AB//ab所以ab

ACca平面ab

ac第七十九頁第八十頁，共126頁。二、交叉垂直的兩直線的投影BHACcbaMNnmXb

a

bamnn

m

AB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab

ac第八十頁第八十一頁，共126頁。兩垂直直線的判斷

關鍵是：兩垂直直線中必須有一條直線是投影面的平行直線。acbc'b'a'd'e'def'g'fg第八十一頁第八十二頁，共126頁?；咀鲌D

過已知點，作直線垂直于已知直線。a'b'abk'kl'l答案有多少個？ox第八十二頁第八十三頁，共126頁。例題15過點A作EF線段的垂線AB。bb

a

aOfe

ef

Xff

cXc

d

de

e垂直相交第八十三頁第八十四頁，共126頁。f例題16過點E作線段AB、CD的公垂線EF。f

Ocb

a

abXc

d

de

e第八十四頁第八十五頁，共126頁。ZZ距離注意：距離直線只有平行于投求作點到直線的距離。例題17第八十五頁第八十六頁，共126頁。兩平行直線的距離投影面垂直線b

a

d

c

a(b)c(d)e

f

距離efabcda

(b

)c

(d

)ef第八十六頁第八十七頁，共126頁。eg'f'e'hgfh'ijk'l'lkj'i'距離投影面平行線兩平行直線的距離實距第八十七頁第八十八頁，共126頁。例題18

已知：直線EF平行CD并與直線AB相交，F(xiàn)點在H面上。求所缺的投影aa'bb'cc'dd'OXeeffKK第八十八頁第八十九頁，共126頁。ABa

b

|yA-yB|b

c

=BCb

例題19作三角形ABC，

ABC為直角，使BC在MN上，且BC

AB=2

3。bcnm

a

aXmn

c

第八十九頁第九十頁，共126頁。

掌握點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。點與直線及兩直線相對位置的判斷方法及投影特性。

點分割直線成定比——定比定理。

掌握直角投影定理。

小結：第九十頁第九十一頁，共126頁?！?—4平面的投影一、平面的表示法二、各種位置平面的投影三、平面上的點和直線四、綜合舉例第九十一頁第九十二頁，共126頁。

平面的投影一、平面的表示法用幾何元素表示平面不在同一直線上的三點。aa'bb'cc'a'ab'bc'c一直線和線外一點。c'ca'ab'b相交兩直線。b'ba'ac'cdd'平行兩直線。b'ba'ac'c任意平面形。第九十二頁第九十三頁，共126頁。平面的跡線表示法VHPPVPHPVPHVHQHQVQQW第九十三頁第九十四頁，共126頁。二平面的投影特性顯實積聚類似1.平面平行于投影面，其投影反映實形。2.平面垂直于投影面，其投影積聚成直線。3.平面傾斜于投影面，其投影為其類似形。

第九十四頁第九十五頁，共126頁。51.特殊位置平面投影面的平行面：平行于一個投影面的平面投影面的垂平面：垂直于一個投影面的平面2.一般位置平面一般位置平面與各個投影面均傾斜：其投影均小于實形，為平面的類似形。‖H：水平面‖V

：正平面‖W：側平面H:鉛垂面V:正垂面W:側垂面第九十五頁第九十六頁，共126頁。投影面的平行面平行于一個投影面，與另兩個投影面垂直的平面。投影面平行面可分為三種：平行于Ｖ面的平面叫正平面

平行于Ｈ面的平面叫水平面平行于Ｗ面的平面叫側平面第九十六頁第九十七頁，共126頁。VWHCABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

水平面（//Ｈ面⊥VW面）（1）水平投影反映實形（2）正面投影積聚為直線，且//ＯＸ軸；側面投影積聚為直線，且//OYw軸。投影特性XOZYXZYHYWO第九十七頁第九十八頁，共126頁。正平面（//Ｖ面⊥HW面）VWH.c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA投影特性（1）正面投影反映真形。（2）水平投影//OX，側面投影//OZ，分別積聚成直線。XYZXYHYWZo第九十八頁第九十九頁，共126頁。側平面（//Ｗ面⊥VH面）VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

（1）側平面投影反映真形。（2）正面投影//OZ，水平投影//OYH，分別積聚成直線。投影特性YXZXZYHOYW第九十九頁第一百頁，共126頁。投影面平形面的投影特性：

平面在所平行的投影面上的投影反映

實形；

其余兩投影積聚為直線，并分別平行于相應的投影軸。第一百頁第一百零一頁，共126頁。垂直于一個投影面，與另兩個投影面傾斜的平面。投影面垂直面可分為三種：垂直于Ｖ面的平面叫正垂面垂直于Ｈ面的平面叫鉛垂面垂直于Ｗ面的平面叫側垂面投影面垂直面第一百零一頁第一百零二頁，共126頁。VWHPPHABCacb

a

b

a

b

bacc

c

投影特性（1）水平投影積聚成直線，并反映傾角β和γ（2）正面投影和側面投影不反映實形,縮小的類似形.鉛垂面（⊥Ｈ面，傾斜Ｖ、Ｗ面）XYZXZYHOYW第一百零二頁第一百零三頁，共126頁。VWHQQV

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B正垂面（⊥Ｖ面，傾斜Ｈ、Ｗ面）投影特性（1）正面投影積聚成直線，并反映傾角α和γ。（2）水平和側面投影不反映實形，是縮小了的類似形。XYZXZOYWYH第一百零三頁第一百零四頁，共126頁。VWHSWS側垂面（⊥Ｗ面，傾斜Ｈ、Ｖ面）Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

投影特性（1）側面透影積聚成直線，并反映傾角α和β。（2）水平和正面投影不反映實形，是縮小了的類似形。YXZYWXZOYH第一百零四頁第一百零五頁，共126頁。投影面垂直面的投影特性：

平面在所垂直的投影面上的投影積聚為直線；

其余兩投影面的投影為原形的類似形，但比實形小；

平面具有積聚性的投影與投影軸的夾角，分別反映平面與相應投影面的傾角。第一百零五頁第一百零六頁，共126頁。一般位置平面的投影特性：平面在三個投影面上的投影均不反映實形，但為類似形。面積均比實形小。HXVabcYbacABCOWacbZ直觀圖aaXcHYbbcOabZYwc投影圖一般位置平面第一百零六頁第一百零七頁，共126頁。XOb

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baαβc一框兩線平行面兩框一線垂直面，斜線積聚成三框無線一般面，位置最分明特點記憶b

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abc第一百零七頁第一百零八頁，共126頁。三、平面上的點和直線幾何條件1：若直線過平面上的兩點，則此直線必在

該平面內(nèi)。幾何條件2：若一直線過平面內(nèi)的一點，且平行于該平面上另一直線，則此直線在該平內(nèi)。幾何條件3：若點在平面內(nèi)，它必在平面內(nèi)的一條直線上。第一百零八頁第一百零九頁，共126頁。平面上的點和直線若點在平面的一直線上，則此點必在該平面上。若直線通過平面上兩個已知點，則此直線必在該平面上；或者直線通過平面上一個已知點，且平行于平面上的一直線，則此直線也必在該平面上。第一百零九頁第一百一十頁，共126頁。取屬于平面的點取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線ABCDEa

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