1.5-極限運(yùn)算法則

二、極限的四那么運(yùn)算法那么三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法那么一、無窮小運(yùn)算法那么第五節(jié)極限運(yùn)算法那么時(shí),有一、無窮小運(yùn)算法那么定理1.

有限個(gè)無窮小的和還是無窮小.證:

考慮兩個(gè)無窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取那么當(dāng)因此這說明當(dāng)時(shí),為無窮小量.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小!例如，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可證:有限個(gè)無窮小之和仍為無窮小.定理2.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí),有取那么當(dāng)時(shí),就有故即是時(shí)的無窮小.推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求解:

由定理2可知說明:

y=0是的漸近線.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、極限的四那么運(yùn)算法那么那么有證:因那么有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3.假設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推論:假設(shè)且那么利用保號性定理證明.說明:

定理3可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:

令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4.假設(shè)那么有提示:

利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說明:

定理4可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為無窮小(詳見P44)定理5.假設(shè)且B≠0,那么有證:

因有其中設(shè)因此由極限與無窮小關(guān)系定理,得為無窮小,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理6.假設(shè)那么有提示:

因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說明:假設(shè)不能直接用商的運(yùn)算法那么.例4.假設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

求解:

x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6

.

求解:時(shí),分子分子分母同除以那么分母原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法那么定理7.

設(shè)且

x滿足時(shí),又那么有證:

當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對上述取那么當(dāng)時(shí)故①因此①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理7.

設(shè)且x

滿足時(shí),又那么有說明:假設(shè)定理中那么類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.求解:

令∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法那么(1)無窮小運(yùn)算法那么(2)極限四那么運(yùn)算法那么(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法那么注意使用條件！2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間