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第二節(jié)傳遞函數(shù)主要內(nèi)容:1.傳遞函數(shù)的定義;2.求法:i)利用微分方程描述,由拉氏變換得到;
ii)復(fù)數(shù)阻抗法;3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。9/27/20231傳遞函數(shù)的基本概念一、傳遞函數(shù)的基本概念復(fù)習(xí)拉氏變換一個函數(shù)可以進行拉普拉斯變換的充分條件是:1.t<0時,f(t)=0(因果系統(tǒng));2.t>=0時,f(t)分段連續(xù);3.9/27/20232控制系統(tǒng)的微分方程輸入輸出LRCi[例2-1]:RLC串聯(lián)電路列出微分方程為:兩邊取拉普拉斯變換:9/27/20233傳遞函數(shù)的定義:系統(tǒng)初始條件為零時,輸出變量的拉普拉斯變換與輸入變量的拉普拉斯變換之比,稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。記做:U(s)Y(s)G(s)9/27/20234
傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù),可以:不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響--分析可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求---綜合傳遞函數(shù)的基本概念9/27/20235為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為:將上式求拉氏變化,得(令初始值為零)稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一般的:9/27/20236傳遞函數(shù)的基本概念例1[解]已知電樞控制式直流電動機的微分方程為:方程兩邊求拉氏變換為:令,得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù):令,得轉(zhuǎn)速對負(fù)載力矩的傳遞函數(shù):最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為:[例1]求電樞控制式直流電動機的傳遞函數(shù)。9/27/20237傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數(shù):9/27/20238⑴線性性質(zhì):⑵微分定理:⑶積分定理:(設(shè)初值為零)⑷時滯定理:⑸初值定理:復(fù)習(xí)拉氏變換②性質(zhì):9/27/20239⑹終值定理:⑺卷積定理:③常用函數(shù)的拉氏變換:單位階躍函數(shù):單位脈沖函數(shù):單位斜坡函數(shù):單位拋物線函數(shù):正弦函數(shù):其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。復(fù)習(xí)拉氏變換9/27/202310用復(fù)數(shù)阻抗法求電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)阻抗:電氣元件兩端的電壓相量與流過元件的電流相量之比,稱為該元件的復(fù)數(shù)阻抗。(1)電阻的復(fù)數(shù)阻抗推導(dǎo):假設(shè)電流為:相量形式:則電壓是;則相應(yīng)的復(fù)數(shù)阻抗為9/27/202311(2)電感負(fù)載的復(fù)數(shù)阻抗電流:,電壓:
復(fù)數(shù)阻抗為:9/27/202312補充:復(fù)數(shù)的幾種表示形式1.代數(shù)形式:2.三角形式:歐拉公式:從而有3.指數(shù)形式:4.極坐標(biāo)形式:9/27/202313傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數(shù)(復(fù)數(shù)阻抗法):9/27/202314三、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng).傳遞函數(shù)中各項系數(shù)的值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù),并且與微分方程中各導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)一一對應(yīng),是一種動態(tài)數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系,不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)是s的有理分式.對實際系統(tǒng)而言,分母的階次n大于或等于分子的階次m,此時稱為n階系統(tǒng)。9/27/202315傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號,在求傳遞函數(shù)時,除了一個有關(guān)的輸入外,其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。9/27/202316傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式表示為有理分式形式:式中:—為實常數(shù),一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù),相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點、極點形式:式中:稱為傳遞函數(shù)的零點,稱為傳遞函數(shù)的極點?!獋鬟f系數(shù)或根軌跡增益[傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式]:9/27/202317傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式寫成時間常數(shù)形式:分別稱為時間常數(shù),K稱為放大系數(shù)顯然:,若零點或極點為共軛復(fù)數(shù),則一般用2階項來表示。若
為共軛復(fù)極點,則:或其系數(shù)由或求得;9/27/202318若有零值極點,則傳遞函數(shù)的通式可以寫成:傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式從上式可以看出:傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù),是一些最簡單、最基本的一些形式。式中:或:9/27/202319比例環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復(fù)域(s域)特征。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點分布。比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實例:分壓器,放大器,無間隙無變形齒輪傳動等。(一)比例環(huán)節(jié):時域方程:傳遞函數(shù):四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)
9/27/202320積分環(huán)節(jié)有一個0值極點。在圖中極點用“”表示,零點用“”表示。K表示比例系數(shù),T稱為時間常數(shù)。時域方程:傳遞函數(shù):0S平面j0(二)積分環(huán)節(jié):
9/27/202321積分環(huán)節(jié)實例積分環(huán)節(jié)實例:①RC圖中,為轉(zhuǎn)角,為角速度??梢?,為比例環(huán)節(jié), 為積分環(huán)節(jié)。②電動機(忽略慣性和摩擦)齒輪組9/27/202322時域方程:傳遞函數(shù):當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時,有,可解得: ,式中:k為放大系數(shù),T為時間常數(shù)。當(dāng)k=1時,輸入為單位階躍函數(shù)時,時域響應(yīng)曲線和零極點分布圖如下:通過原點的斜率為1/T,且只有一個極點(-1/T)。1yt00.632T通過原點切線斜率為1/TjRe0S平面慣性環(huán)節(jié)(三)慣性環(huán)節(jié)9/27/202323求單位階躍輸入的輸出響應(yīng):可見,y(t)是非周期單調(diào)升的,所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)9/27/202324①R2C-+R1而R②C兩個實例:慣性環(huán)節(jié)實例9/27/202325振蕩環(huán)節(jié)時域方程:傳遞函數(shù):上述傳遞函數(shù)有兩種情況:當(dāng)時,可分為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘。即:傳遞函數(shù)有兩個實數(shù)極點:(四)振蕩環(huán)節(jié)9/27/202326振蕩環(huán)節(jié)分析y(t)t0單位階躍響應(yīng)曲線極點分布圖[分析]:y(t)的上升過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運動。與有關(guān)。反映系統(tǒng)的阻尼程度,稱為阻尼系數(shù),稱為無阻尼振蕩圓頻率。當(dāng)時,曲線單調(diào)升,無振蕩。當(dāng)時,曲線衰減振蕩。越小,振蕩越厲害。若,傳遞函數(shù)有一對共軛復(fù)數(shù)。還可以寫成:設(shè)輸入為:則9/27/202327解:當(dāng)時,有一對共軛復(fù)數(shù)極點。所以:解得:[例]:求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的和。(見例2-2,p20)振蕩環(huán)節(jié)例子9/27/202328微分環(huán)節(jié)(五)微分環(huán)節(jié):微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式:①②③相應(yīng)的傳遞函數(shù)為:①②③分別稱為:純微分,一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點,只有零點。分別是零、實數(shù)和一對共軛零點(若)。在實際系統(tǒng)中,由于存在慣性,單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的,一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。9/27/202329式中:y(t)x(t)R1R2C[實例]微分環(huán)節(jié)實例9/27/202330延遲環(huán)節(jié)(六)延遲環(huán)節(jié):又稱時滯,時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個延遲時間后,完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為:延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數(shù),所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡單起見,化簡如下:或x(t)ty(t)t9/27/202331(七)其他環(huán)節(jié):還有一些環(huán)節(jié)如
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