小學(xué)數(shù)學(xué)國際教育評(píng)價(jià)研究的現(xiàn)狀與展望

小學(xué)數(shù)學(xué)國際教育評(píng)價(jià)研究的現(xiàn)狀與展望

一、數(shù)學(xué)成績遠(yuǎn)高于美國2013年12月3日，2012年的全球65個(gè)國家和地區(qū)的pisa被全面披露。上海的第二次學(xué)生再次被選為“世界第一”。接著2014年上半年,英國教育大臣、芬蘭教育代表團(tuán)相繼來上?！叭〗?jīng)”。這激起了筆者對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)成就的研究興趣,于是翻閱TIMSS的研究成果,并結(jié)合自己數(shù)次親歷的美國小學(xué)數(shù)學(xué)課堂,發(fā)現(xiàn)中國,乃至受中國文化影響的新加坡、日本、韓國等國家和中國臺(tái)灣地區(qū)的小學(xué)生,數(shù)學(xué)成績一直遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過美國。IEA研究者們認(rèn)為產(chǎn)生這種差距的原因主要有以下幾種:文化背景的差異,比如家長的期望,“數(shù)·詞”體系;小學(xué)體制,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間;數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容及其安排?？墒?通過觀察美國的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂,以及與美國同行的交流,發(fā)現(xiàn)“學(xué)習(xí)差距”不僅僅局限于學(xué)生。換句話說,也就是教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí),直接影響著數(shù)學(xué)的教與學(xué)。訪談以退位減法為例,請(qǐng)看這幾個(gè)題目:你會(huì)怎樣教學(xué)生做這樣的題目?你覺得學(xué)生在學(xué)習(xí)退位減法之前,需要具備怎樣的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能?二、美國中小學(xué)教師的數(shù)學(xué)理解1.從四東南角中,拿出一個(gè)數(shù)的2.A教師:42-7,學(xué)生要知道不能從2中直接減去7,那么就要從十位上借一個(gè)10來,所借的1,它等于10,如果把4劃掉,把它變成30,現(xiàn)在就是12-7=5,那么左邊就剩下3,把它挪下來。B教師:不能從較小的數(shù)中減去較大的數(shù),學(xué)生必須從鄰位中借,因?yàn)猷徫恢杏懈?。打個(gè)比方就是,如果你沒有足夠的個(gè)位數(shù),你可以到朋友那里去借,朋友那兒有許多。32位美國教師的問卷,有26位(81.25%)關(guān)注計(jì)算程序。這些小學(xué)數(shù)學(xué)教師希望他們的學(xué)生學(xué)會(huì)如何執(zhí)行兩個(gè)特別的步驟:從十位上拿1個(gè)10來,然后把它換成10個(gè)1;并把“拿”這個(gè)步驟稱之為“借數(shù)”。根據(jù)“所借的1等于10”的現(xiàn)實(shí),他們解釋第二個(gè)步驟為“變”。從這里可以看出他們對(duì)教學(xué)法的理解:一旦學(xué)生能夠正確執(zhí)行這兩個(gè)關(guān)鍵步驟,就能正確地完成整個(gè)計(jì)算。有5位(15.63%)教師如C、D老師所述,則期望他們的學(xué)生不僅僅學(xué)會(huì)計(jì)算過程,也要學(xué)會(huì)運(yùn)算法則蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本原理。這些方法強(qiáng)調(diào):在“拿”的背后是重組,在“變”的背后是轉(zhuǎn)換。C教師:學(xué)生必須理解42的意思……我會(huì)出示數(shù)字42,以及3個(gè)十和12個(gè)一,等于42。我會(huì)在兩者之間進(jìn)行比較,因?yàn)樵谀阒亟M時(shí)知道的不是那么多,必須理解的是重組部分。一開始就是這個(gè)重組。D教師:學(xué)生必須理解如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換?？衫?0進(jìn)制的積木玩具,得到一個(gè)具體的數(shù):10,例如按十進(jìn)制,在個(gè)位上,10個(gè)1和1個(gè)10是相等的。學(xué)生要習(xí)慣于在位值內(nèi)部進(jìn)行轉(zhuǎn)換,即實(shí)際的值不發(fā)生變化,但是進(jìn)行了轉(zhuǎn)換。教師期望學(xué)生所知道的,其實(shí)與教師自己的知識(shí)理解相關(guān)。一如前文的26位教師,僅僅希望學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算過程,這樣學(xué)生收獲的往往也就只是過程性的理解。何況“不能從較小的數(shù)中減去較大的數(shù)”是一個(gè)錯(cuò)誤的斷論。盡管低年級(jí)的學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)如何從較小的數(shù)中減去較大的數(shù),但這并不意味著數(shù)學(xué)上沒有這個(gè)事實(shí)。這個(gè)高級(jí)的技能不要求在低年級(jí)教學(xué),可也不能因?yàn)閺?qiáng)調(diào)了錯(cuò)誤觀念而引起學(xué)生將來學(xué)習(xí)的混亂。把被減數(shù)中的兩個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字比作鄰居或朋友,是另一種數(shù)學(xué)上的誤導(dǎo),這暗示了被減數(shù)中的兩個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字是獨(dú)立的兩個(gè)數(shù),而不是一個(gè)數(shù)的兩個(gè)部分。再者,“借數(shù)”的解釋暗含著又一個(gè)錯(cuò)誤:在計(jì)算中數(shù)的值不一定要保持不變,而是可以任意改變——如果一個(gè)數(shù)太小了,由于某種原因需要增大一些,就可以從另一個(gè)數(shù)那里“借”一定的值來。E教師:你們認(rèn)為,從42中,能否拿出一個(gè)數(shù)字27?如果可以,那么用2減去7,我們做得到嗎?這兒是2,我直觀地表示出1,拿走7,1,2。不夠。那么我們能做什么呢?我們可以到這個(gè)數(shù)的另一個(gè)部分,拿我們能用的東西,即從另一邊取來,拿到我們需要幫助的個(gè)位,讓2變成12。而E教師則排除了上面說的那些錯(cuò)誤理解,在E教師的闡釋中,42-27不是獨(dú)立的兩個(gè)過程:2-7,40-20。計(jì)算是一個(gè)有機(jī)的整體:“從四十幾中,拿走二十幾?！辈皇恰安荒軓妮^小的數(shù)中減去較大的數(shù)”,而是低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)理解:“可以到這個(gè)數(shù)的另一個(gè)部分,拿我們能用的東西。”注意:“這個(gè)數(shù)的另一個(gè)部分”和“另一個(gè)數(shù)”,所表達(dá)的數(shù)學(xué)意義有著質(zhì)的區(qū)別。但是,這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)理解,只占了問卷總數(shù)的3.12%。2.加回形針的操作教學(xué)42-27=?學(xué)生操作1:(1)擺4鏈(每鏈10個(gè)回形針)和2個(gè)回形針在桌上,把其中一鏈拆開,成3鏈與12個(gè)。(2)取走2鏈與7個(gè)回形針。(3)數(shù)一數(shù),剩下多少個(gè),并且決定剩下的要排成一鏈加5個(gè)或是15個(gè)。學(xué)生操作2:(1)擺4鏈和2個(gè)回形針在桌上。(2)再擺2鏈與7個(gè)回形針在桌上。(3)為了使42個(gè)與27能互相配合計(jì)算,42里面要有一鏈被拆散。(4)拆散42中的一鏈,回形針成為3鏈與12個(gè)。(5)兩組對(duì)齊后,各取走7個(gè)單獨(dú)的回形針。(6)兩組對(duì)齊后,各取走2鏈回形針。(7)數(shù)一數(shù),羅拉比金吉多了一鏈加5個(gè)即15個(gè)回形針。學(xué)生操作3:(1)擺4鏈和2個(gè)回形針在桌上。(2)擺2鏈和7個(gè)回形針在桌上。(3)為了使42能與27個(gè)配合,42里面的一鏈必須拆散。(4)拆散42中的一鏈,成3鏈12個(gè)。(5)將兩組中的鏈和單個(gè)的回形針配對(duì)。(6)數(shù)一數(shù),克拉蒂還需要一鏈加5個(gè)或單獨(dú)15個(gè)回形針。很明顯,美國教學(xué)案例中學(xué)生通過具體的學(xué)具操作,既獲得了運(yùn)算的意義,輔以大量的時(shí)間,又保證兒童尋找到自己的解,并在學(xué)具操作中完成計(jì)算。如同美國同行們的解讀:“通過參與性的經(jīng)驗(yàn)活動(dòng),操作性工具會(huì)比僅僅講述能更好地促進(jìn)學(xué)習(xí)。”然而,好的交通工具不一定能保證到達(dá)正確的目的地。因?yàn)閷W(xué)者們已經(jīng)注意到,為了促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解,教師有必要幫助學(xué)生把操作性工具和數(shù)學(xué)思想之間的聯(lián)系清晰地表達(dá)出來。所以教師要適當(dāng)組織教學(xué):“如果把1個(gè)鏈子打開,將會(huì)發(fā)生什么?我們會(huì)有多少個(gè)1?用哪種方式可以進(jìn)行減法?”乃至追問:“你們現(xiàn)在告訴我,你有沒有在42上填什么或者去掉什么?4個(gè)10和2個(gè)1,與3個(gè)10、12個(gè)1是相同的,那么當(dāng)你從中取走27個(gè)時(shí)會(huì)發(fā)生什么?”三、中國小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)理解1.在催化作用上,強(qiáng)調(diào)“退一”,導(dǎo)致“進(jìn)”趙老師:我會(huì)告訴學(xué)生,當(dāng)你在計(jì)算42-27這樣的問題時(shí),首先要把數(shù)字排列起來,從個(gè)位開始減起。因?yàn)橐獜?中減去7不夠減,應(yīng)該從十位退1個(gè)10來把它變成10個(gè)1。再把這1個(gè)10加到個(gè)位就得12;用12-7=5;然后轉(zhuǎn)到十位,由于十位上的4已經(jīng)借走1個(gè)10給個(gè)位,所以只剩下3個(gè)10,用3-2=1,把它放在十位上。趙老師的解釋和美國的A、B教師相似,注重的是運(yùn)算法則的具體步驟,沒有顯示出對(duì)原理的關(guān)注。但中國教師持有這種計(jì)算程序性取向的比率,比美國要小得多,如圖1所示。不過,中國教師都會(huì)運(yùn)用一個(gè)做減法重組的特定詞語:“退一”。錢老師:我會(huì)從一個(gè)直截了當(dāng)?shù)臏p法開始,如42-21=?在學(xué)生解決這個(gè)問題后,我把問題變成42-27=?這個(gè)問題與第一個(gè)問題的不同點(diǎn)在哪里?在計(jì)算新問題時(shí)會(huì)發(fā)生什么?學(xué)生很快會(huì)發(fā)現(xiàn)7比2大,沒有足夠的個(gè)位數(shù)去減。見機(jī)我會(huì)說好,但有時(shí)我們個(gè)位數(shù)太多了,你們應(yīng)該記得上周我們利用進(jìn)位做加法,那時(shí)我們做了什么?學(xué)生會(huì)說“滿十進(jìn)一”。我接著說,那么當(dāng)我們沒有足夠的個(gè)位數(shù)去減時(shí)怎么辦?可以從十位退一。如果把40中的一個(gè)十退位了,會(huì)發(fā)生什么?用這種方式我就會(huì)引入“退1成為低位上的10”。孫老師:要在42中減去7,沒有足夠的個(gè)位數(shù)怎么辦?42顯然大于7。42中的個(gè)位數(shù)在哪里?學(xué)生會(huì)說42中的其他個(gè)位數(shù)被組合成十位數(shù)了。然后我會(huì)問我們可以做些什么,得到足夠的個(gè)位數(shù)字來減去7。通過回憶,學(xué)生會(huì)有分解一個(gè)10的想法。把“拿”的步驟描述為“退一”,比“重組”的解釋更全面。因?yàn)樵谑褂谩巴艘弧钡母拍顣r(shí),減法過程是以一種表明了它與加法運(yùn)算的關(guān)聯(lián)方式來闡述的,這不僅為減法學(xué)習(xí)提供更多的表征支持,而且強(qiáng)化了學(xué)生之前的學(xué)習(xí)。而且,中國教師除了像美國教師注重“重組”那樣強(qiáng)調(diào)1個(gè)10由10個(gè)1組成,近一半的中國教師還提到了一個(gè)重組數(shù)字前的一個(gè)概念:進(jìn)率。這些教師主張:學(xué)生應(yīng)該清楚“1個(gè)10里有多少個(gè)1”和“百位與十位、十位與個(gè)位的進(jìn)率是多少”的答案一致。形如把42拆成30和12,是所有美國教師的標(biāo)準(zhǔn)方式,無人超越這個(gè)方式。但是,不乏有中國教師指出,這不是進(jìn)行減法計(jì)算的唯一正確途徑,圍繞著“退一”原理,教師們討論了各種各樣的重組方式。李老師:42-27=30+10+2-20-7=(10-7+2)+(30-20)=15。這種方式的好處在于從10中減去7比從12中減去7容易些,而且這個(gè)程序中所包含的加法不涉及進(jìn)位,所以非常簡單。周老師:42-27=42-2-5-20=40-5-20=35-20=15。這樣把27拆成20、2、5三個(gè)數(shù)值,那么42-2不用退位,40-5和35-10與學(xué)生思維都是很簡單。2.從單位學(xué)習(xí)到專業(yè)學(xué)習(xí),從個(gè)位上加10.教學(xué)42-27=?[教師出示4捆小棒(每捆10根)和2根小棒]師:這些小棒表示幾?生:42。師:要從42里去掉27,就是42減27(板書:42-27=?),個(gè)位上夠減嗎?生:不夠減。師:個(gè)位上不夠減,怎么辦?請(qǐng)小朋友拿出小棒,動(dòng)動(dòng)腦筋,想想辦法,個(gè)位上怎么減去7呢?(學(xué)生操作,教師巡視。)師:現(xiàn)在老師請(qǐng)小朋友來匯報(bào)一下,你想出了什么好辦法?(在學(xué)生回答的同時(shí)教師示范操作。)師:個(gè)位不夠減7,從4捆小棒中取出1捆,也就是從十位退1。十位上的1退到個(gè)位上是幾?為什么?生:是10,因?yàn)?個(gè)10是10個(gè)1。師:個(gè)位上的2不夠減7,從十位退1,在個(gè)位上加10再減。個(gè)位上10加2等于12,12減7等于5,個(gè)位上寫5,十位上4退1還有3,3-2=1。所以42減27等于15。(教師小結(jié)并板書:個(gè)位不夠減,從十位退1,在個(gè)位上加10再減。)其實(shí),中國小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)“42-27”之前,已經(jīng)把“20以內(nèi)的減法”的教學(xué),當(dāng)作“退一”需要的減法重組概念過程基礎(chǔ)。所以教學(xué)中,教師提出:“個(gè)位上不夠減,怎么辦?請(qǐng)小朋友拿出小棒,動(dòng)動(dòng)腦筋,想想辦法,個(gè)位上怎么減去7呢?”學(xué)生的思維能快速聚焦“個(gè)位上的2不夠減7,從十位退1,在個(gè)位上加10再減?！币簿褪钦f,減法中的重組思想,把高位退一到低一位當(dāng)十,是通過一系列的水平動(dòng)作完成的。此案例教學(xué)之后就是被減數(shù)是三位數(shù)和更多位數(shù),且新的水平動(dòng)作又是連續(xù)的分解,比如208-15,203-18,1000-18。在美國,諸如“9+3”“16-7”這樣的問題,被認(rèn)為是“基本的算術(shù)事實(shí)”,僅僅需要記憶即可。而在中國,概念的“種子”,早在第一個(gè)水平——“20以內(nèi)的減法”就出現(xiàn)了。同時(shí)觀察課堂,盡管發(fā)現(xiàn)中國教師用到教具、學(xué)具的頻率比美國教師少,但他們認(rèn)為操作了,就要像課例中就活動(dòng)操作要進(jìn)行必要的討論、報(bào)告、展示、辯論,如上文中所述,“現(xiàn)在老師請(qǐng)小朋友來匯報(bào)一下,你想出了什么好辦法?”再例如吳老師談了他在開學(xué)之初的一次教學(xué)討論,又在學(xué)期結(jié)束進(jìn)行了思辨。吳老師:計(jì)算42-27,利用教學(xué)具的時(shí)候,學(xué)生是從高位開始的,先從42中拿去20,再拿去7。這如同日常生活,付10元錢買了3元6角的東西,我們先減3元,再減6角。從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)來看,學(xué)校里的正式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)似乎更加復(fù)雜,而且意義更少。當(dāng)我們?cè)诒咀由涎菟憔蜁?huì)發(fā)現(xiàn),從十位開始的話,我們?cè)谑簧舷鹊玫揭粋€(gè)差2,然后轉(zhuǎn)到個(gè)位上,我們就又要改變剛剛所得到的差。如果我們一開始從個(gè)位開始計(jì)算,這個(gè)麻煩就可以避免了。然而這種解釋只能解決一半的問題——用豎式計(jì)算為什么從個(gè)位算起。由于學(xué)生還沒有看出這種標(biāo)準(zhǔn)算法的明顯好處,我建議他們保留疑惑。期末,再次討論時(shí),學(xué)生們很快發(fā)現(xiàn),在遇到更大的數(shù)的時(shí)候,標(biāo)準(zhǔn)方式對(duì)絕大多數(shù)問題而言,優(yōu)勢(shì)更加突出。如果吳老師的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)與教學(xué)策略,僅是停留在為操作而操作階段,那么很難想象他會(huì)引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到這樣的數(shù)學(xué)理解。四、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)理論的結(jié)構(gòu)觀問卷、訪談與課堂觀察的結(jié)果,揭示了教師們對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容所擁有的知識(shí)不夠充足,美國教師為甚。以退位減法為例,81.25%的美國小學(xué)數(shù)學(xué)教師和17.50%的中國小學(xué)教師,只擁有計(jì)算程序性知識(shí),他們的理解僅僅局限于運(yùn)算法則的表面——拿和換的步驟。正是這種數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的局限性,限制了他們?cè)谡n堂中促進(jìn)學(xué)生概念性學(xué)習(xí)的能力。雖然操作教學(xué)具,是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種重要手段,但決定學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量,還是要依賴于教師認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)的概念。與美國教師形成鮮明對(duì)照的是,絕大多數(shù)中國教師在活動(dòng)操作之后,會(huì)進(jìn)行班級(jí)討論,這個(gè)教學(xué)策略使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能得以同