醫(yī)用高等數學-隨機變量的數字特征

第四節(jié)隨機變量的數字特征醫(yī)用高等數學07-04-01隨機變量的數字特征表示隨機變量分布特征的數量指標，稱為隨機變量的數字特征。醫(yī)用高等數學07-04-02一、數學期望及其性質三、幾個常見分布的數學期望和方差二、方差及其性質醫(yī)用高等數學07-04-04四、協(xié)方差及相關系數例一批鋼筋共有10根，抗拉強度指標為120和130的各2根，125的有3根，110，135，140的各1根，求它們的平均抗拉強度。醫(yī)用高等數學07-04-05離散型隨機變量的數學期望設離散型隨機變量X

的概率函數為若級數絕對收斂，則稱該級數的和為隨機變量X

的數學期望(mathematicalexpectation)或總體均數(populationmean)，記為E(X)或簡記為EX，即EX=。醫(yī)用高等數學07-04-06例甲、乙兩位外科醫(yī)生，各自對10名心臟病患者進行手術治療。假定這兩組病人的年齡、病情等基本相同，用X，Y

分別表示他們的手術成功例數，其概率函數如下表，試比較兩位醫(yī)生技術水平的高低。醫(yī)用高等數學07-04-07X01234P0.0280.1210.2340.2670.20056789100.1030.0370.0090.0010.0000.000Y01234P0.0010.0100.0440.1170.20556789100.2470.2050.1170.0440.0100.000醫(yī)用高等數學07-04-08例

X~B(n,p),求E(X)

.解設離散r.v.X

的概率分布為

若無窮級數絕對收斂，則

r.v.函數Y=g(X)的數學期望設離散r.v.(X,Y)的概率分布為Z=g(X,Y),絕對收斂,則若級數課堂討論題設X

的分布列為：求EX，EX2，E(

2X+1)。醫(yī)用高等數學07-04-09X

1023P1/81/43/81/4例（最佳普查方案）在共有N個人的人群中，普查某種疾病，若逐個驗血就需作N次檢驗，現(xiàn)問能否用概率的思想方法來減少檢驗的工作量？

醫(yī)用高等數學07-04-10連續(xù)型隨機變量的數學期望設連續(xù)型隨機變量X

的概率密度函數為p(x)，如果積分絕對收斂，則稱該積分值為連續(xù)型隨機變量X

的數學期望。記為EX，即醫(yī)用高等數學07-04-11設連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合d.f.為f(x,y)，Z=g(X,Y),絕對收斂,則若廣義積分例設隨機變量X

服從參數為

的指數分布，其概率密度函數為醫(yī)用高等數學07-04-12試求EX。例

X~N(,2),求E(X)

.解數學期望的性質：（1）常數C

的數學期望等于常數C，即E(C)=C。（2）若a

是常數，X

是任一隨機變量，則E(aX)=aE(X)。醫(yī)用高等數學07-04-13（3）設X

為一隨機變量，a和b為常數，則

E(aX+b)=aE(X)+b醫(yī)用高等數學07-04-14（4）兩個隨機變量的和的數學期望，等于它們各自數學期望之和，即

E(X+Y)=EX+EY推廣：(a)E(X

Y)=EX

EY

(b)有限多個醫(yī)用高等數學07-04-15（5）若隨機變量X

與Y

獨立，則

E(XY)=EX

EY醫(yī)用高等數學07-04-16推廣：有限多個例設X

的分布列為：求EX，EX2，E(

2X+1)。醫(yī)用高等數學07-04-17X

1023P1/81/43/81/4例將4個不同色的球隨機放入4個盒子中,每盒容納球數無限,求空盒子數的數學期望.解1

設X為空盒子數,則

X的概率分布為XP0123例6解2

再引入Xi,i=1,2,3,4Xi

P10課堂討論題民航用的大客車從機場載了20名旅客，沿途停靠10站，每名旅客到哪個站下車的機會都是均等的；且每名旅客到哪站下車都是獨立的（即單身）。若某站無人下車，則大客車就不停，現(xiàn)以X

表示大客車停車的次數，求EX。醫(yī)用高等數學07-04-18例為考察兩個售貨員的服務水平，讓每人每次從盒中抓取某種中藥10g，各取5次進行稱重，結果如下表，試比較他們技術水平的高低。醫(yī)用高等數學07-04-19甲(X)9.610.510.09.510.4乙(Y)9.910.19.910.29.9方差(variance)

設X

為一隨機變量，若E(X

EX)2

存在，則稱它為隨機變量X

的方差，記作V(X)，即V(X)=E(X

EX)2醫(yī)用高等數學07-04-20醫(yī)用高等數學07-04-21標準差(standarddeviation)

設隨機變量X

的方差為V(X)，則稱為隨機變量X

的標準差，記為SD。即對離散型隨機變量X對連續(xù)型隨機變量X醫(yī)用高等數學07-04-22計算方差的常用計算公式V(X)=E(X2)

(EX)2醫(yī)用高等數學07-04-23例.一實習生用一設備獨立地制造3個同種零件，設第i個零件為不合格的概率為求3個零件中合格品數X的期望與方差解：Ai表示第i個零件為合格品X表示合格品數：0，1，2，3X0123p醫(yī)用高等數學07-04-26試求V(X)。例設隨機變量X

服從參數為

的指數分布，其概率密度函數為醫(yī)用高等數學07-04-27變異系數(coefficientofvariation)

設隨機變量X

的數學期望為EX，標準差為，則稱為是隨機變量X

的變異系數，記作CV(X)。方差的性質：（1）常數的方差等于零，即

V(C)=0（2）設X

為一隨機變量，a

為常數，則V(aX)=a2V(X)醫(yī)用高等數學07-04-28（3）設X

為一隨機變量，a和b為常數，則

V(aX+b)=a2V(X)醫(yī)用高等數學07-04-29（4）設X，Y

是任意兩個相互獨立的隨機變量，則V(X+Y)=V(X)+V(Y)推廣：(a)

有限多個；醫(yī)用高等數學07-04-30

(b)

V(X

Y)=V(X)+V(Y)課堂討論題（一個重要的結論）若X1,X2,…,Xn獨立同分布，且EXi=a，V(Xi)=b，(i=1,2,…n)，又醫(yī)用高等數學07-04-31求和。

協(xié)方差和相關系數問題

對于二維隨機變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布

對二維隨機變量,除每個隨機變量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個怎樣的數去反映這種聯(lián)系.

反映了隨機變量X,Y之間的某種關系稱為X,Y的協(xié)方差.記為協(xié)方差和相關系數的定義定義若D(X)>0,D(Y)>0,稱為X,Y的相關系數，記為事實上，若稱X,Y

不相關.

設X

服從參數為p的兩點分布，求EX和V(X)，其中q=1

p。醫(yī)用高等數學07-04-32X01P1

pp

設X~B(n,p)，求EX和V(X)，其中q=1

p。醫(yī)用高等數學07-04-33

設X~P(

)，求EX和V(X)。醫(yī)用高等數學07-04-34

設X~U[a,b]，求EX和V(X)。醫(yī)用高等數學07-04-35

設X~E(

)，求EX和V(X)。醫(yī)用高等數學07-04-36

設X~N(

,

2)，求EX和V(X)。醫(yī)用高等數學07-04-37小結：隨機變量的數字特征數學期望（均數）數學期望的性質方差，標準差，變異系數方差的性質幾個常見分布的數學期望和方差醫(yī)用高等數學07-04-39作業(yè)：P233習題七4647

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