第2章-投影理論2(直角投影定律、平面、平面的傾角)

第2章--投影理論2(直角投影定律、平面、平面的傾角)第一頁(yè)，共35頁(yè)。1、正投影的特性

P29表2-1

第一頁(yè)第二頁(yè)，共35頁(yè)。2、點(diǎn)的三面投影的形成過(guò)程:

P33圖2-5

1）點(diǎn)的各投影連線分別垂直于相應(yīng)的投影軸；2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離=空間點(diǎn)到相應(yīng)投影面的距離。高平齊長(zhǎng)對(duì)正寬相等投影規(guī)律第二頁(yè)第三頁(yè)，共35頁(yè)。

V面上點(diǎn)（X、0、Z）

H面上點(diǎn)（X、Y、0）

W面上點(diǎn)（0、Y、Z）3.原點(diǎn)上的點(diǎn):（0、0、0）

X軸上點(diǎn)（X、0、0）

Y軸上點(diǎn)（0、Y、0）

Z軸上點(diǎn)（0、0、Z）1.投影面上的點(diǎn)：空間點(diǎn)的坐標(biāo)值有一個(gè)為零。2.投影軸上點(diǎn):空間點(diǎn)的坐標(biāo)值有兩個(gè)為零。特殊位置點(diǎn):第三頁(yè)第四頁(yè)，共35頁(yè)。3、投影面垂直線名稱立體圖投影圖投影特性鉛垂線（

H）正垂線（

V）側(cè)垂線（

W）(1)H投影為一點(diǎn)，有積聚性；

(2)a

bOX,

a

b

OYW；

(3)a

b=a

b

=AB(1)V投影為一點(diǎn)，有積聚性；

(2)abOX,

a

b

OZ

；

(3)ab=a

b

=AB(1)W投影為一點(diǎn)，有積聚性；

(2)abOYH,

a

b

OZ

；

(3)ab=a

b

=AB第四頁(yè)第五頁(yè)，共35頁(yè)。投影面平行線名稱立體圖投影圖投影特性水平線（∥H）正平線（∥V）側(cè)平線（∥W）(1)a

b

∥OX,

a

b

∥OYW；

(2)ab=AB；

(3)反映夾角、大小(1)ab∥OX,

a

b

∥OZ；

(2)a

b

=AB；

(3)反映夾角、大小(1)ab∥OYH,

a

b

∥OZ；

(2)a

b

=AB(3)反映夾角、大小第五頁(yè)第六頁(yè)，共35頁(yè)。一般位置直線直線與H、V和W三投影面的夾角分別用α、β、γ表示。第六頁(yè)第七頁(yè)，共35頁(yè)。4．求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角

角

ABCXOVHb

a

abΔZ

ABabΔZ分析：過(guò)A點(diǎn)作AC∥ab，則得到直角三角形ABC。在該三角形中AC＝ab，BC＝Bb－Aa＝ΔZ

ΔZ(A、B兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差)，而∠BAC即α角，斜邊即AB實(shí)長(zhǎng)。

第七頁(yè)第八頁(yè)，共35頁(yè)。

AB

ABΔZabbΔZXaABCXOVHb

a

b

a

abΔZΔZ

ABabΔZ作圖步驟：第八頁(yè)第九頁(yè)，共35頁(yè)。求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角

角。a

ab

XbABa

b

AB

a

b

ΔYAB

ΔYΔY方法一方法二第九頁(yè)第十頁(yè)，共35頁(yè)。已知直線AB的β=30o，試求其另一投影。

α（水平投影+Δz）β（正面投影+Δy）

γ（側(cè)面投影+Δx）

只要能從實(shí)長(zhǎng)、傾角、投影長(zhǎng)度和坐標(biāo)差四個(gè)元素中著手找出已知的兩個(gè)元素，就可作出直角三角形，其它的未知元素也就迎刃而解了。注意：傾角、投影長(zhǎng)度和坐標(biāo)差的搭配關(guān)系?。?！第十頁(yè)第十一頁(yè)，共35頁(yè)?？臻g兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉。平行兩直線

空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。5、兩直線的相對(duì)位置第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共35頁(yè)。相交兩直線

若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。

反之亦然。

第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共35頁(yè)。交叉兩直線

同面投影可能相交，但交點(diǎn)不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。若兩直線既不平行又不相交，則它們是交叉直線。

第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共35頁(yè)。兩種特殊情況：1）當(dāng)兩直線有兩個(gè)投影均互相平行，且又同時(shí)平行于第三個(gè)投影面時(shí)，一般應(yīng)觀察該兩直線所平行的那個(gè)投影面上的投影來(lái)判斷兩直線是否平行。第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共35頁(yè)。2）當(dāng)直線的兩個(gè)投影都相交，且其中一直線平行于第三個(gè)投影面時(shí)，一般應(yīng)觀察投影面平行線所平行的那個(gè)投影面上的投影，或按線上點(diǎn)的等比關(guān)系，來(lái)判斷兩直線是否相交。第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共35頁(yè)。5、直角投影定理

P48圖2-27

空間垂直相交的兩直線，若其中的一條直線平行于某投影面時(shí)，則這兩條直線在該投影面上的投影為直角。反之，若相交兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中有一直線平行于該投影面時(shí)，則該兩直線在空間必互相垂直。直角投影定理也適用于交叉垂直兩直線的投影。第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共35頁(yè)。第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共35頁(yè)。［例］試求A點(diǎn)至水平線BC的距離(投影和實(shí)長(zhǎng))。

1）作ak⊥bc，ak∩bc＝k；

2）由k求得k′∈b′c′，則ak、a′k′為距離的兩投影；

3）求距離的實(shí)長(zhǎng)。第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共35頁(yè)。不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)兩平行直線兩相交直線平面圖形用幾何元素表示平面P50圖2-302.3.3平面的投影P50第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共35頁(yè)。1、各種位置平面的投影特性P51平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：1)投影面平行面；2)一般位置平面；3)投影面垂直面。第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共35頁(yè)。1）投影面平行面P52表2-8平行于投影面(垂直于其余兩個(gè)投影面)。

根據(jù)其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分為三種：1)水平面——平行于H面；2)正平面——平行于V面；3)側(cè)平面——平行于W面。投影面平行面的投影特性是：1)如平面用平面形表示，則其在所平行的投影面上的投影，反映平面形的實(shí)形；2)在另外兩個(gè)投影面上的投影均為直線段，有積聚性，且平行于相應(yīng)的投影軸。第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共35頁(yè)。名稱立體圖投影圖投影特性水平面（∥H）正平面（∥V）側(cè)平面（∥W）1)H投影反映實(shí)形；

2)V、W投影分別為平行OX、OYW軸的直線段，有積聚性1)V投影反映實(shí)形；

2)H、W投影分別為平行OX、OZ軸的直線段，有積聚性1)W投影反映實(shí)形；

2)V、H投影分別為平行OZ、OYH軸的直線段，有積聚性一面兩線第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共35頁(yè)。2）一般位置平面P54圖2-88一般位置平面和三個(gè)投影面既不垂直也不平行，所以，如用平面形表示一般位置平面，則它的三個(gè)投影均不是實(shí)形，但具有類似性。

第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共35頁(yè)。3）投影面垂直面P51表2-7垂直于一個(gè)投影面（與其余兩個(gè)投影面傾斜）。根據(jù)其所垂直的投影面不同，可以分為三種：1)鉛垂面——垂直于H面；2)正垂面——垂直于V面；3)側(cè)垂面——垂直于W面。投影面垂直面的投影特性是：1)在其所垂直的投影面上，投影為斜直線，有積聚性；該斜直線與投影軸的夾角反映該平面對(duì)相應(yīng)投影面的傾角；2)在另外兩個(gè)投影面上的投影不是實(shí)形，但有相仿性。第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共35頁(yè)。名稱立體圖投影圖投影特性鉛垂面（

H）正垂面（

V）側(cè)垂面（

W）1)H投影為斜直線，有積聚性，且反映、大小；

2)V、W投影不是實(shí)形，但有相仿性1)V投影為斜直線，有積聚性，且反映、大?。?/p>

2)H、W投影不是實(shí)形，但有相仿性1)W投影為斜直線，有積聚性，且反映、大小；

2)H、V投影不是實(shí)形，但有相仿性一線兩面第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共35頁(yè)。2、平面上的直線和點(diǎn)P54~55點(diǎn)在平面上的條件：如果點(diǎn)在平面上的某一直線上，則此點(diǎn)必在該平面上

。第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共35頁(yè)。直線在平面上的條件：1、通過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)。2、通過(guò)平面上的一個(gè)點(diǎn)，且平行于平面上的一條直線。第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共35頁(yè)。［例1］已知三棱錐SAB面上一點(diǎn)K的V投影k′，試求其H投影k。1、過(guò)k′作s′m′；求出sm；在sm上求出k。

2、或者過(guò)k′作k′m′∥s′a′；由m′求出m；過(guò)m作直線平行于sa；在該直線上求出k。

第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共35頁(yè)。1）連接a、c和a′c′得輔助線AC的兩投影；ｄ′a′c′bｄb′acX2）連接b、ｄ，bｄ交ac于e；3）由e在a′c′上求出e′；4）連接b′e′，在b′e′上求出ｄ′；5）分別連接a′ｄ′及

c′ｄ′，即為所求。

ee′［例2］已知四邊形平面ABCD的H投影abc和ABC的V面投影a′b′c′，試完成其V投影。第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共35頁(yè)。3、平面上的特殊位置直線P55平面上的投影面平行線

平面上的投影面平行線，有平面上的水平線、正平線和側(cè)平線三種

平面上的投影面平行線：正平線AE，水平線CD。

第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共35頁(yè)。4、平面的傾角P56圖2-38平面上和某投影面傾角最大的直線，稱為該平面對(duì)某投影面的最大斜度線。

在ABC平面上，過(guò)A點(diǎn)所作的直線中，以垂直于水平線的直線AK對(duì)H面的傾角最大。直線AK就是ABC平面對(duì)H面的最大斜度線，而角α是ABC平面和H面構(gòu)成的二面角的平面角，也就是ABC平面對(duì)H面的傾角。

第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共35頁(yè)。［例］試求△ABC對(duì)H面和V面的傾角α和β。

求α角的作圖步驟：1）求△ABC對(duì)