高中數(shù)學必修一必修四知識點總結(jié)

./數(shù)學知識點總結(jié)高中數(shù)學必修1知識點第一章集合與函數(shù)概念〖1.1〗集合[]集合的含義與表示〔1集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.〔2常用數(shù)集及其記法表示自然數(shù)集,或表示正整數(shù)集,表示整數(shù)集,表示有理數(shù)集,表示實數(shù)集.〔3集合與元素間的關系對象與集合的關系是,或者,兩者必居其一.〔4集合的表示法①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號表示集合.③描述法：{|具有的性質(zhì)},其中為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.〔5集合的分類①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集<>.[]集合間的基本關系〔6子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集〔或A中的任一元素都屬于B<1>AA<2><3>若且,則<4>若且,則或真子集AB〔或BA,且B中至少有一元素不屬于A〔1〔A為非空子集<2>若且,則集合相等A中的任一元素都屬于B,B中的任一元素都屬于A<1>AB<2>BA〔7已知集合有個元素,則它有個子集,它有個真子集,它有個非空子集,它有非空真子集.[]集合的基本運算〔8交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集且〔1〔2〔3并集或〔1〔2〔3補集12[補充知識]含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法〔1含絕對值的不等式的解法不等式解集或把看成一個整體,化成,型不等式來求解〔2一元二次不等式的解法判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根〔其中無實根的解集或的解集〖1.2〗函數(shù)及其表示[]函數(shù)的概念〔1函數(shù)的概念①設、是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應法則,對于集合中任何一個數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應,那么這樣的對應〔包括集合,以及到的對應法則叫做集合到的一個函數(shù),記作．②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則．③只有定義域相同,且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．〔2區(qū)間的概念及表示法①設是兩個實數(shù),且,滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間,記做；滿足的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間,記做；滿足,或的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別記做,；滿足的實數(shù)的集合分別記做．注意：對于集合與區(qū)間,前者可以大于或等于,而后者必須,〔前者可以不成立,為空集；而后者必須成立．〔3求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則：①是整式時,定義域是全體實數(shù)．②是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．③是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合．④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1．⑤中,．⑥零〔負指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時,則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．⑧對于求復合函數(shù)定義域問題,一般步驟是：若已知的定義域為,其復合函數(shù)的定義域應由不等式解出．⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù),求其定義域,根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論．⑩由實際問題確定的函數(shù),其定義域除使函數(shù)有意義外,還要符合問題的實際意義．〔4求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小〔大數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小〔大值．因此求函數(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：①觀察法：對于比較簡單的函數(shù),我們可以通過觀察直接得到值域或最值．②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和,然后根據(jù)變量的取值圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關于的二次方程,則在時,由于為實數(shù),故必須有,從而確定函數(shù)的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的,三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．[]函數(shù)的表示法〔5函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法、圖象法三種．解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．〔6映射的概念①設、是兩個集合,如果按照某種對應法則,對于集合中任何一個元素,在集合中都有唯一的元素和它對應,那么這樣的對應〔包括集合,以及到的對應法則叫做集合到的映射,記作．②給定一個集合到集合的映射,且．如果元素和元素對應,那么我們把元素叫做元素的象,元素叫做元素的原象．〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)[]單調(diào)性與最大〔小值〔1函數(shù)的單調(diào)性①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域I某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1<x2時,都有f<x1><f<x2>,那么就說f<x>在這個區(qū)間上是增函數(shù)．〔1利用定義〔2利用已知函數(shù)的單調(diào)性〔3利用函數(shù)圖象〔在某個區(qū)間圖象上升為增〔4利用復合函數(shù)如果對于屬于定義域I某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1<x2時,都有f<x1>>f<x2>,那么就說f<x>在這個區(qū)間上是減函數(shù)．〔1利用定義〔2利用已知函數(shù)的單調(diào)性〔3利用函數(shù)圖象〔在某個區(qū)間圖象下降為減〔4利用復合函數(shù)②在公共定義域,兩個增函數(shù)的和是增函數(shù),兩個減函數(shù)的和是減函數(shù),增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù),減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)．③對于復合函數(shù),令,若為增,為增,則為增；若為減,為減,則為增；若為增,為減,則為減；若為減,為增,則為減．yxo〔2打"√"函數(shù)yxo分別在、上為增函數(shù),分別在、上為減函數(shù)．〔3最大〔小值定義①一般地,設函數(shù)的定義域為,如果存在實數(shù)滿足：〔1對于任意的,都有；〔2存在,使得．那么,我們稱是函數(shù)的最大值,記作．②一般地,設函數(shù)的定義域為,如果存在實數(shù)滿足：〔1對于任意的,都有；〔2存在,使得．那么,我們稱是函數(shù)的最小值,記作．[]奇偶性〔4函數(shù)的奇偶性①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f<x>定義域任意一個x,都有f<－x>=－f<x>,那么函數(shù)f<x>叫做奇函數(shù)．〔1利用定義〔要先判斷定義域是否關于原點對稱〔2利用圖象〔圖象關于原點對稱如果對于函數(shù)f<x>定義域任意一個x,都有f<－x>=f<x>,那么函數(shù)f<x>叫做偶函數(shù)．〔1利用定義〔要先判斷定義域是否關于原點對稱〔2利用圖象〔圖象關于y軸對稱②若函數(shù)為奇函數(shù),且在處有定義,則．③奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同,偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．④在公共定義域,兩個偶函數(shù)〔或奇函數(shù)的和〔或差仍是偶函數(shù)〔或奇函數(shù),兩個偶函數(shù)〔或奇函數(shù)的積〔或商是偶函數(shù),一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積〔或商是奇函數(shù)．〖補充知識〗函數(shù)的圖象〔1作圖利用描點法作圖：①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)〔奇偶性、單調(diào)性；④畫出函數(shù)的圖象．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．①平移變換②伸縮變換③對稱變換〔2識圖對于給定函數(shù)的圖象,要能從圖象的左右、上下分別圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性,注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系．〔3用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為研究數(shù)量關系問題提供了"形"的直觀性,它是探求解題途徑,獲得問題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．第二章基本初等函數(shù)<Ⅰ>〖2.1〗指數(shù)函數(shù)[]指數(shù)與指數(shù)冪的運算〔1根式的概念①如果,且,那么叫做的次方根．當是奇數(shù)時,的次方根用符號表示；當是偶數(shù)時,正數(shù)的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數(shù)沒有次方根．②式子叫做根式,這里叫做根指數(shù),叫做被開方數(shù)．當為奇數(shù)時,為任意實數(shù)；當為偶數(shù)時,．③根式的性質(zhì)：；當為奇數(shù)時,；當為偶數(shù)時,．〔2分數(shù)指數(shù)冪的概念①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0．②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù),指數(shù)取相反數(shù)．〔3分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①②③[]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔4指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)0101圖象定義域值域過定點圖象過定點,即當時,．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對 圖象的影響在第一象限,越大圖象越高；在第二象限,越大圖象越低．〖2.2〗對數(shù)函數(shù)[]對數(shù)與對數(shù)運算對數(shù)的定義①若,則叫做以為底的對數(shù),記作,其中叫做底數(shù),叫做真數(shù)．②負數(shù)和零沒有對數(shù)．③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：．〔2幾個重要的對數(shù)恒等式,,．〔3常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：,即；自然對數(shù)：,即〔其中…．〔4對數(shù)的運算性質(zhì)如果,那么①加法：②減法：③數(shù)乘：④⑤⑥換底公式：[]對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔5對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象001001定義域值域過定點圖象過定點,即當時,．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對 圖象的影響在第一象限,越大圖象越靠低；在第四象限,越大圖象越靠高．<6>反函數(shù)的概念設函數(shù)的定義域為,值域為,從式子中解出,得式子．如果對于在中的任何一個值,通過式子,在中都有唯一確定的值和它對應,那么式子表示是的函數(shù),函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù),記作,習慣上改寫成．〔7反函數(shù)的求法①確定反函數(shù)的定義域,即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出；③將改寫成,并注明反函數(shù)的定義域．〔8反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關于直線對稱．②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域．③若在原函數(shù)的圖象上,則在反函數(shù)的圖象上．④一般地,函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．〖2.3〗冪函數(shù)〔1冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)叫做冪函數(shù),其中為自變量,是常數(shù)．〔2冪函數(shù)的圖象〔3冪函數(shù)的性質(zhì)①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限,第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時,圖象分布在第一、二象限<圖象關于軸對稱>；是奇函數(shù)時,圖象分布在第一、三象限<圖象關于原點對稱>；是非奇非偶函數(shù)時,圖象只分布在第一象限．②過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義,并且圖象都通過點．③單調(diào)性：如果,則冪函數(shù)的圖象過原點,并且在上為增函數(shù)．如果,則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù),在第一象限,圖象無限接近軸與軸．④奇偶性：當為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù),當為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù)．當〔其中互質(zhì),和,若為奇數(shù)為奇數(shù)時,則是奇函數(shù),若為奇數(shù)為偶數(shù)時,則是偶函數(shù),若為偶數(shù)為奇數(shù)時,則是非奇非偶函數(shù)．⑤圖象特征：冪函數(shù),當時,若,其圖象在直線下方,若,其圖象在直線上方,當時,若,其圖象在直線上方,若,其圖象在直線下方．〖補充知識〗二次函數(shù)〔1二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：②頂點式：③兩根式：〔2求二次函數(shù)解析式的方法①已知三個點坐標時,宜用一般式．②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大〔小值有關時,常使用頂點式．③若已知拋物線與軸有兩個交點,且橫線坐標已知時,選用兩根式求更方便．〔3二次函數(shù)圖象的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,對稱軸方程為頂點坐標是．②當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增,當時,；當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減,當時,．③二次函數(shù)當時,圖象與軸有兩個交點．〔4一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要容,這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及,但尚不夠系統(tǒng)和完整,且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理〔韋達定理的運用,下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì),系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布．設一元二次方程的兩實根為,且．令,從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：②對稱軸位置：③判別式：④端點函數(shù)值符號．①k＜x1≤x2②x1≤x2＜k③x1＜k＜x2af<k>＜0④k1＜x1≤x2＜k2⑤有且僅有一個根x1〔或x2滿足k1＜x1〔或x2＜k2f<k1>f<k2>0,并同時考慮f<k1>=0或f<k2>=0這兩種情況是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此結(jié)論可直接由⑤推出．〔5二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值設在區(qū)間上的最大值為,最小值為,令．〔Ⅰ當時〔開口向上①若,則②若,則③若,則xy0xy0aOabx2pqf<p>f<q>xy0aOabx2pqf<p>f<q>xy0aOabx2pqf<p>f<q>xy0aOabx2xy0aOabx2pqf<p>f<q>xxy0aOabx2pqf<p>f<q><Ⅱ>當時<開口向下>①若,則②若,則③若,則xy0xy0aOabx2pqf<p>f<q>xy0aOabx2pqf<p>f<q>xy0aOabx2pqf<p>f<q>①若,則②,則．xyxy0aOabx2pqf<p>f<q>xy0aOabx2pqf<p>f<q>高中數(shù)學必修4知識點第一章三角函數(shù)2、角的頂點與原點重合,角的始邊與軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度．5、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為,則角的弧度數(shù)的絕對值是．6、弧度制與角度制的換算公式：,,．PvxyAOMT7、若扇形的圓心角為,半徑為,弧長為,周長為,面積為,則,,PvxyAOMT8、設是一個任意大小的角,的終邊上任意一點的坐標是,它與原點的距離是,則,,．9、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正．10、三角函數(shù)線：,,．11、角三角函數(shù)的基本關系：；．.〔3倒數(shù)關系：12、函數(shù)的誘導公式：,,．,,．,,．,,．口訣：函數(shù)名稱不變,符號看象限．,．,．口訣：正弦與余弦互換,符號看象限．13、①的圖象上所有點向左〔右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長〔縮短到原來的倍〔縱坐標不變,得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長〔縮短到原來的倍〔橫坐標不變,得到函數(shù)的圖象．②數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長〔縮短到原來的倍〔縱坐標不變,得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點向左〔右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長〔縮短到原來的倍〔橫坐標不變,得到函數(shù)的圖象．14、函數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③頻率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函數(shù),當時,取得最小值為；當時,取得最大值為,則,,．15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函函數(shù)性質(zhì) y=cotx圖象定義域值域最值當時,；當時,．當時,；當時,．既無最大值也無最小值既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸對稱中心無對稱軸第二章平面向量16、向量：既有大小,又有方向的量．數(shù)量：只有大小,沒有方向的量．有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為的向量．單位向量：長度等于個單位的向量．平行向量〔共線向量：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點：首尾相連．=2\*GB2⑵平行四邊形法則的特點：共起點．=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷運算性質(zhì)：=1\*GB3①交換律：；=2\*GB3②結(jié)合律：；=3\*GB3③．=5\*GB2⑸坐標運算：設,,則．18、向量減法運算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點：共起點,連終點,方向指向被減向量．=2\*GB2⑵坐標運算：設,,則．設、兩點的坐標分別為,,則．19、向量數(shù)乘運算：=1\*GB2⑴實數(shù)與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘,記作．=1\*GB3①；=2\*GB3②當時,的方向與的方向相同；當時,的方向與的方向相反；當時,．=2\*GB2⑵運算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐標運算：設,則．20、向量共線定理：向量與共線,當且僅當有唯一一個實數(shù),使．設,,其中,則當且僅當時,向量、共線．21、平面向量基本定理：如果、是同一平面的兩個不共線向量,那么對于這一平面的任意向量,有且只有一對實數(shù)、,使．〔不共線的向量、作為這一平面所有向量的一組基底22、分點坐標公式：設點是線段上的一點,、的坐標分別是,,當時,點的坐標是．〔當23、平面向量的數(shù)量積：=1\*GB2⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為．=2\*GB2⑵性質(zhì)：設和都是非零向量,則=1\*GB3①．=2\*GB3②當與同向時,；當與反向時,；或．=3\*GB3③．=3\*GB2⑶運算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=4\*GB2⑷坐標運算：設兩個非零向量,,則．若,則,或．設,,則．設、都是非零向量,,,是與的夾角,則．知識：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明,求值的應用進行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量⑴．直線的方向向量：

若A、B是直線上的任意兩點,則為直線的一個方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量.

⑵．平面的法向量：若向量所在直線垂直于平面,則稱這個向量垂直于平面,記作,如果,那么向量叫做平面的法向量.⑶．平面的法向量的求法〔待定系數(shù)法：①建立適當?shù)淖鴺讼担谠O平面的法向量為．③求出平面兩個不共線向量的坐標．④根據(jù)法向量定義建立方程組.⑤解方程組,取其中一組解,即得平面的法向量.〔如圖用向量方法判定空間中的平行關系⑴線線平行設直線的方向向量分別是,則要證明∥,只需證明∥,即.即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。⑵線面平行①〔法一設直線的方向向量是,平面的法向量是,則要證明∥,只需證明,即.即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外②〔法二要證明一條直線和一個平面平行,也可以在平面找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行若平面的法向量為,平面的法向量為,要證∥,只需證∥,即證.即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關系⑴線線垂直設直線的方向向量分別是,則要證明,只需證明,即.即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。

⑵線面垂直①〔法一設直線的方向向量是,平面的法向量是,則要證明,只需證明∥,即.②〔法二設直線的方向向量是,平面的兩個相交向量分別為,若即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面的法向量為,平面的法向量為,要證,只需證,即證.即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,

則⑵求直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角②求法：設直線的方向向量為,平面的法向量為,直線與平面所成的角為,與的夾角為,則為的余角或的補角

的余角.即有：⑶求二面角①定義：平面的一條直線把平面分為兩個部分,其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,每個半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O,分別在兩個半平面作射線,則為二面角的平面角.如圖：OOABOABl②求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為,再設的夾角為,二面角的平面角為,則二面角為的夾角或其補角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：◆如果是銳角,則,即；如果是鈍角,則,即.5、利用法向量求空間距離⑴點Q到直線距離若Q為直線外的一點,在直線上,為直線的方向向量,=,則點Q到直線距離為⑵點A到平面的距離若點P為平面外一點,點M為平面任一點,平面的法向量為,則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.即⑶直線與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時,直線上的各點到平面的距離相等。由此可知,直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點到平面的距離,即轉(zhuǎn)化為點面距離。即⑷兩平行平面之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等,可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點面距離。即⑸異面直線間的距離設向量與兩異面直線都垂直,則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。即6、三垂線定理及其逆定理⑴三垂線定理：在平面的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直推理模式：概括為：垂直于射影就垂直于斜線.⑵三垂線定理的逆定理：在平面的一條直線,如果和這個平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線的射影垂直推理模式：概括為：垂直于斜線就垂直于射影.7、三余弦定理設AC是平面的