高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)：點(diǎn)擊線性規(guī)劃問題中的參數(shù)

./高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)：點(diǎn)擊線性規(guī)劃問題中的參數(shù)一、目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)1.目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為參數(shù)例1已知平面區(qū)域D由以為頂點(diǎn)的三角形部和邊界組成。若在區(qū)域D上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)可使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值,則A．－2B．－1C．1D．4解：依題意,令z＝0,可得直線x＋my＝0的斜率為－,結(jié)合可行域可知當(dāng)直線x＋my＝0與直線AC平行時(shí),線段AC上的任意一點(diǎn)都可使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值,而直線AC的斜率為－1,所以m＝1,選C點(diǎn)評(píng)：首先應(yīng)根據(jù)圖形特征確定最優(yōu)解怎樣才是無(wú)窮個(gè),其次考慮最小值可能在何處取道。2.目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為參數(shù)例2已知變量x,y滿足約束條件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y<其中a＞0>僅在點(diǎn)<3,1>處取得最大值,則a的取值圍為___________.解析：變量滿足約束條件在坐標(biāo)系中畫出可行域,如圖為四邊形ABCD,其中A<3,1>,,目標(biāo)函數(shù)〔其中中的z表示斜率為－a的直線系中的截距的大小,若僅在點(diǎn)處取得最大值,則斜率應(yīng)小于,即,所以的取值圍為<1,+∞>。點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圖形特征要確定怎樣才能保證僅在點(diǎn)出去的最大值。目標(biāo)函數(shù)中的、的系數(shù)均含參數(shù)例3已知約束條件且目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解只有,則的取值圍是〔分析：根據(jù)條件可作出可行域,根據(jù)圖形確定最小值在何處取到,且最優(yōu)解唯一。解析：目標(biāo)函數(shù)的斜率,由題意知使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解只有一個(gè),為,故有,代入解得：,即為的圍。點(diǎn)評(píng)：最優(yōu)解只有一個(gè),意味著目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的斜率介于兩條線的斜率之間。練習(xí)1：已知變量,滿足約束條件。若目標(biāo)函數(shù)〔其中僅在點(diǎn)處取得最大值,則的取值圍為。答案：a二、約束條件中的參數(shù)例6在約束條件下,當(dāng)時(shí),目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化圍是A.B.C.D.解析：由交點(diǎn)為,其可行域如圖〔1當(dāng)時(shí)可行域是四邊形OABC,此時(shí),〔2當(dāng)時(shí)可行域是△OA此時(shí),,故選D.點(diǎn)評(píng)：本題只要抓住考慮參數(shù)對(duì)可行域的影響,從而進(jìn)行分類討論練習(xí)2：若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則的取值圍是〔Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．或答案：C一個(gè)猜想的證明猜想：用線性規(guī)劃知識(shí)易得當(dāng)在直線的兩側(cè)時(shí),有,類比猜想：直線和直線是兩條平行直線,點(diǎn)是夾在這兩條平行直線之間的任一點(diǎn),則有?，F(xiàn)證明如下：不妨設(shè),點(diǎn)到直線和直線的距離分別是和；由于點(diǎn)不在直線和上,故〔。而兩條平行直線和之間的距離是個(gè)常數(shù),由題意知：,代入得：,化簡(jiǎn)得：,若,則〔由〔知矛盾或〔由〔知矛盾,故。參考文獻(xiàn)：[1]甘志國(guó)爭(zhēng)鳴134數(shù)學(xué)通訊,2007〔7一個(gè)常見圖形的反例功能在立體幾何教材的例題或習(xí)題中,我們發(fā)現(xiàn)一些圖形經(jīng)常出現(xiàn)；若能對(duì)它進(jìn)行挖掘,充分利用,則起到妙不可言的效果。下面就舉一個(gè)圖形并說(shuō)明它的作用。常見圖形如圖1：四邊形為正方形,。圖1圖1二、功能作用我們利用此圖可以巧妙的解決立體幾何中師生經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤的四個(gè)問題——四個(gè)頑癥。頑癥1如果一個(gè)四邊形有三個(gè)角是直角,則此四邊形為矩形分析：這是一個(gè)學(xué)生很容易出錯(cuò)的地方,看圖1,則很容易判斷：在四邊形PBCD中,均為直角,而并非直角,則上述結(jié)論是錯(cuò)誤的,從而如果一個(gè)四邊形有三個(gè)角是直角,則此四邊形不一定為矩形頑癥2如果一個(gè)角的兩邊和另外一個(gè)角的兩邊分別垂直,則這兩個(gè)角互補(bǔ)或相等。分析：由"一個(gè)角的兩邊和另外一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,則這兩個(gè)角互補(bǔ)或相等"這個(gè)定理進(jìn)行類比,則很多同學(xué)認(rèn)為正確。真的這樣嗎？請(qǐng)看圖形1：和,滿足,即兩邊分別垂直,但是為直角,而不是直角,而且隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化。因此這兩個(gè)角并不滿足相等或互補(bǔ)。故如果一個(gè)角的兩邊和另外一個(gè)角的兩邊分別垂直,則這兩個(gè)角不一定互補(bǔ)或相等。頑癥3如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另外一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直,則這兩個(gè)二面角的大小相等或互補(bǔ)分析：由"如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另外一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行,則這兩個(gè)二面角的大小相等或互補(bǔ)"這個(gè)結(jié)論類比,很多師生往往認(rèn)為正確。其實(shí)不然。請(qǐng)看圖2：二面角和二面角,滿足,；二面角的大小為直角,作,垂足為H,連接HD,則不難說(shuō)明,則為的平面角,由于,為直角三角形；故為鈍角。從而這兩個(gè)二面角并不互補(bǔ)或相等。所以,如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另外一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直,則這兩個(gè)二面角的大小不一定相等或互補(bǔ)圖2圖2頑癥4如果,則分析：利用圖3直觀判斷師生很容易得出上述結(jié)論成立。其實(shí)不然。請(qǐng)看圖4圖3圖3在CD〔把點(diǎn)D看成E上取一點(diǎn)M,使得,在取點(diǎn)N〔可看成點(diǎn)F,可盡量靠近點(diǎn)A,這樣接近,大約接近,這樣,即有,則頑癥4是錯(cuò)誤的,從而如果,則與的大小不定。圖4圖4聯(lián)系地址：新泰第一中學(xué)新校南區(qū)高三數(shù)學(xué)組271200徐加華有關(guān)直線與圓解題時(shí)的常見失誤例析直線與圓是解析幾何中的基本容,高考對(duì)此部分的考查大都以基本題目為主,但在解題時(shí)同學(xué)們由于各種原因可能導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯(cuò)誤。下面就列舉幾種常見的情形,供同學(xué)們參考。一、求直線方程時(shí)1忽視直線的傾斜角的圍例1求過(guò)點(diǎn)且傾斜角的正弦為的直線方程。錯(cuò)解：由,故所求直線方程為。分析：傾斜角的圍為,故,從而所求直線方程為。2混淆截距和長(zhǎng)度的區(qū)別例2求通過(guò)點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為的直線方程。錯(cuò)解：由題意設(shè),由已知得得,故所求直線方程為。分析：本題處理時(shí)沒有區(qū)分好截距和長(zhǎng)度的概念。截距是有正負(fù)的,而距離不能為負(fù)。正解：得或,所求直線方程為3忽視斜率不存在的情況例3求過(guò)點(diǎn),向圓所作的切線方程。錯(cuò)解：設(shè)切線方程為：,帶入圓的方程得,整理得：,從而方程為。分析：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線應(yīng)該有兩條,顯然漏解了,事實(shí)上忽略了斜率不存在的情況,應(yīng)補(bǔ)上：4對(duì)兩直線的位置關(guān)系考慮不全面求過(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)距離相等的直線方程。錯(cuò)解：過(guò)點(diǎn)作與直線平行的直線符合題意。易得直線方程分析：事實(shí)上過(guò)點(diǎn)與線段的中點(diǎn)的直線也符合題意,應(yīng)加上此條直線5忽視點(diǎn)的位置例5求過(guò)點(diǎn)作圓的切線方程錯(cuò)解：利用結(jié)論：過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為：。則有：,即：.分析：忽視了結(jié)論中的一個(gè)條件：點(diǎn)必須在圓上。而此題點(diǎn)并不在圓上,而在圓外；切線應(yīng)有兩條。正確答案：和。二求參數(shù)時(shí)忽視隱含條件導(dǎo)致例6已知圓和定點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條,則的取值圍〔A或BCD錯(cuò)解：由題意知點(diǎn)必須在圓的外部,則或,從而選A。分析：忽視了一個(gè)隱含條件：必須保證方程表示一個(gè)圓,而上述在解題時(shí)忽視了,因此不對(duì)；正解：由題意知點(diǎn)必須在圓的外部,則或,由方程表示一個(gè)圓,得,解得,從而得出,選D。忽視變量圍例7已知圓,試求的取值圍。錯(cuò)解：由題意得：。分析：忽視了題目中的圍。由得。易得忽視斜率的大小直線與圓在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn),