求極限的若干方法-畢業(yè)論文

江西師范大學(xué)2013屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文PAGE江西師范大學(xué)08屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文求函數(shù)極限的若干方法TheMethodsofFunctionalLimit姓名：***學(xué)號(hào)：090*0*0**3學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)老師：**(講師）完成時(shí)間：2013年4月19日PAGEPAGE1求函數(shù)極限的若干方法***【摘要】在數(shù)學(xué)分析中，極限思想貫穿于始末，求極限的方法也顯得至關(guān)重要。極限包括數(shù)列的極限與函數(shù)的極限，兩類極限的本質(zhì)上是相同的，其中數(shù)列極限是函數(shù)極限的特例，因此本文只就函數(shù)極限進(jìn)行討。結(jié)合例題，本文闡述了求函數(shù)極限的十三種方法，包括利用無窮小量、洛必達(dá)法則、泰勒公式、中值定理等求極限?！娟P(guān)鍵詞】函數(shù)極限洛必達(dá)法則泰勒公式中值定理1引言數(shù)學(xué)分析的主要任務(wù)是研究函數(shù)的各種性態(tài)以及函數(shù)值的計(jì)算或近似計(jì)算，主要內(nèi)容是微積分，在微積分中幾乎所有的基本概念都是用極限來定義的?？梢哉f，沒有極限理論就沒有微積分。眾所周知常見的求極限的方法包含四則運(yùn)算，夾逼準(zhǔn)則、無窮小量、重要極限公式、洛必達(dá)法則等。但實(shí)際在求極限時(shí)并不是依靠單一方法，而是把多種方法加以綜合運(yùn)用。對(duì)函數(shù)極限求解方法的討論是本文的核心點(diǎn)，本文給出了十三種求極限的方法，每種方法都是以定理或簡(jiǎn)述開頭，然后以例題來全面展示具體的求法，下面就根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)分類進(jìn)行討論。2函數(shù)極限的定義及作用定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)有定義,為定數(shù).若對(duì)任給的,存在正數(shù)（﹤），使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限,記作或.定義2：設(shè)為定義在上的函數(shù),為定數(shù).若對(duì)任給的，存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限,記作或.對(duì)于其他形式函數(shù)極限的定義我就用-語言描述定義：=A:當(dāng)-<x-<0時(shí)，|f（x）A|<=A:當(dāng)0<x-<時(shí)，|f（x）-A|<當(dāng)|x|>M時(shí)，|f（x）-A|<當(dāng)x<-M時(shí)，|f（x）-A|<在數(shù)學(xué)分析中我們經(jīng)常用函數(shù)極限的定義來證明極限存在問題。例1用極限定義證明：=1證由==取=則當(dāng)0<|x-2|<時(shí)，就有<由函數(shù)極限-定義有：=13函數(shù)極限的計(jì)算及多種求法極限一直是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的內(nèi)容，并且函數(shù)極限運(yùn)算是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要的基本運(yùn)算。極限的求法也是多種多樣的，本文通過歸納，總結(jié)出一些極限的計(jì)算方法.3.1利用左、右極限求極限定理1：函數(shù)極限f（）存在且等于A的充分必要條件是左極限f()及右極限f（）都存在且都等于A。即有：=Af（）=f（）=A。此類方法多用于求分段函數(shù)極限問題。例2求在的極限解3.2利用極限運(yùn)算法則求極限這是求極限的基本方法，主要應(yīng)用函數(shù)的和、差、積、商的極限法則及若干基本函數(shù)的極限結(jié)果進(jìn)行極限的計(jì)算，為此有時(shí)往往要對(duì)函數(shù)作一些變形。定理2:若f(x)=Ag（x）=B（1）[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x)=A+B(2)[f(x)·g(x)]=f(x)·g(x)=A·B(3)若B≠0則：==(4)C·f(x)=C·f(x)=CA（C為常數(shù)）上述性質(zhì)對(duì)于→，→+，→-時(shí)也同樣成立例例3求解==3.3利用初等變形求函數(shù)極限在求函數(shù)極限時(shí)，利用簡(jiǎn)單的初等變形可使極限易于計(jì)算，初等變形的方法有約分法、有理化、比較最高次冪法等。3.3.1約分法適用于計(jì)算型函數(shù)極限，如果所求函數(shù)的分子分母都是整式且有公因子（特別是零因子）時(shí)，可通過約簡(jiǎn)式計(jì)算極限值。例4計(jì)算的值（為正整數(shù)）。解原式===注意要首先將分子分母因式分解，找到公因子（特別是零因子），接著即可約去公因子，再求函數(shù)極限。3.3.2有理化法在求解存在根號(hào)的函數(shù)極限時(shí)，通過選擇分子或分母，或分子分母同時(shí)有理化約去零因子，即可轉(zhuǎn)化為一般的極限問題。例5（其中）解原式====注意此題是通過分子有理化來簡(jiǎn)化運(yùn)算，在具體解題時(shí)根據(jù)簡(jiǎn)便原則進(jìn)行選擇何種方式的有理化。3.3.3比較最高次冪法此方法是指除以分子分母的最高次冪來計(jì)算函數(shù)極限。例6設(shè)，，，,求。解因?yàn)閯t=3.4利用迫斂性求函數(shù)極限定理3（迫斂性）：設(shè),且在某內(nèi)有,則。做此類型題目的關(guān)鍵在于找出大于已知函數(shù)的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并且所找出的兩個(gè)函數(shù)必須要收斂于同一個(gè)極限。例7求的極限解.且由迫斂性知=13.5利用兩個(gè)重要極限公式求函數(shù)極限兩個(gè)重要極限是和，第一個(gè)重要極限過于簡(jiǎn)單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。利用這兩個(gè)重要極限來求函數(shù)的極限時(shí)要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能夠運(yùn)用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例8求.解==.例9求.解注意以后還會(huì)用到的另一種極限形式：事實(shí)上，令，則，所以例10求極限解.3.6利用變量替換求函數(shù)極限為了將未知的極限化簡(jiǎn)，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉(zhuǎn)化為新的極限過程。最常用的方法就是等價(jià)無窮小的替換。當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡(jiǎn)化易求3.6.1利用等價(jià)無窮小量替換來求極限定義3：所謂等價(jià)無窮小量即稱與是時(shí)的等價(jià)無窮小量，記作定理4：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有1.若則2.若則由該定理就可利用等價(jià)無窮小量代換來求某些函數(shù)的極限例11求的極限解由而；；故有注1由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價(jià)無窮小量：，，，，，，，注2在利用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)該注意：只有對(duì)所求極限中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量來代換，而對(duì)極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中若因有，；，而推出的，則得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。小結(jié)在求解極限的時(shí)候要特別注意無窮小等價(jià)替換,無窮小等價(jià)替換可以很好的簡(jiǎn)化解題。3.6.2利用其他替換來求極限利用變量替換進(jìn)行極限計(jì)算，要靈活多變。例12求解令則3.7利用無窮小量的性質(zhì)求函數(shù)極限性質(zhì)1：無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量性質(zhì)2：無窮小量與無窮大量的關(guān)系：若在自變量的同一變化過程中f(x)為無窮小量，且f(x)≠0,則為無窮大量，反之亦然。例13求解因?yàn)槔?4求解因?yàn)?4=0，5x=10，所以我們可以求出==0這就是說，當(dāng)x→2時(shí)，為無窮小量，由于恒不為零的無窮小量的倒數(shù)是無窮大量，所以為x→2時(shí)的無窮大量，即=注意（1）無窮多個(gè)無窮小量之和不一定是無窮小量。例如，當(dāng)x→，是無窮小量，2x個(gè)這種無窮小之和的極限顯然為2。（2）無窮多個(gè)無窮小量之積也不一定是無窮小量。（3）無窮大量乘以有界量不一定是無窮大量。例如，當(dāng)x→時(shí)，是無窮大量，是有界量，顯然·→1。3.8利用初等函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)求函數(shù)極限這種方法適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限，利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限主要應(yīng)用下列結(jié)果：若f(x)在處連續(xù)，則f(x)=f()；若（x）=A，y=f(u)在u=A處連續(xù)則f[(x)]=f(A);若f(x)=A>0,g(x)=B,則=例15求（7x-6）解因?yàn)閥=（7x-6）是初等函數(shù)，在定義域（，+）內(nèi)是連續(xù)的，所以在x=1處也連續(xù)，根據(jù)連續(xù)的定義，極限值等于函數(shù)值，所以（7x-6）=（7-6）=03.9利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)極限定義4（導(dǎo)數(shù)的定義）：函數(shù)在附近有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為。在這種方法的運(yùn)用過程中，首先要選好，然后把所求極限表示成在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)例16求解取則3.10利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限的方法稱為洛比達(dá)法則。利用洛必達(dá)法則求極限，由于分類明確，規(guī)律性強(qiáng)，且可連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算，可以簡(jiǎn)化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但運(yùn)用時(shí)需注意條件。3.10.1型不定式極限定理6：若函數(shù)和滿足：在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且（為實(shí)數(shù)，也可為或）則注意若將定理中換成只要相應(yīng)地修正條件中的鄰域，也可得到同樣的結(jié)論。例17求解容易檢驗(yàn)與在的鄰域里滿足定理的條故由洛必達(dá)法則求得在利用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，為使計(jì)算更加快捷減少運(yùn)算中的諸多不便，可用適當(dāng)?shù)拇鷵Q。例18求解這是型不定式極限，可直接運(yùn)用洛必達(dá)法則求解，但是比較麻煩。如作適當(dāng)?shù)淖儞Q，計(jì)算上就會(huì)更方便些，故令當(dāng)時(shí)有，于是有3.10.2型不定式極限若滿足如下定理的條件，即可由如下定理計(jì)算出其極限。定理7：若函數(shù)和函數(shù)滿足：在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且（為實(shí)數(shù)，也可為或）則注意：若將定理中換成只要相應(yīng)地修正條件中的鄰域，也可得到同樣的結(jié)論。例19求解由定理得，3.10.3其它類型不定式極限不定式極限還有，，，，等類型。這些類型經(jīng)過簡(jiǎn)單的變換，都可以化為型和型的不定式極限。例20求解這是一個(gè)型的不定式極限，作恒等變形=，將它轉(zhuǎn)化為型的不定極限，并用洛必達(dá)法則得到例21求解這是一個(gè)型的不定式極限，作恒等變形=所以=例22求（為常數(shù)）解這是一個(gè)型的不定式極限，按上例變形的方法，先求型的極限，然后得到=例23求解這是一個(gè)型的不定式極限，類似地，先求其對(duì)數(shù)的極限（型）注意運(yùn)用洛比達(dá)法則應(yīng)注意以下幾點(diǎn)1、要注意條件，也即是說，在沒有化為時(shí)不可求導(dǎo)。2、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。3、 要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。3.11冪指函數(shù)求函數(shù)極限一般來說，冪指函數(shù)是形如的函數(shù)。冪指函數(shù)求極限在數(shù)學(xué)分析中比較常見。由于冪指函數(shù)兼具冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)冪指函數(shù)求極限又顯得比較困難。下面我介紹兩種常用方法。3.11.1,的極限均為有限常數(shù)，即型的極限求法命題1：，，且A和B為有限數(shù)，A>0,則有例24求極限.解因?yàn)椋缮鲜龆ɡ淼茫?.11.2型未定式極限問題命題2:設(shè)有連續(xù)函數(shù)和，在自變量的某個(gè)變化過程中，，，則例25求極限解注對(duì)于型未定式的極限用可通過將冪指函數(shù)化為對(duì)數(shù)恒等式的形式，轉(zhuǎn)換為型或型不定式，然后再利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解。例26求極限.解令，則當(dāng)時(shí)，，那么3.12利用泰勒公式求函數(shù)極限定義5[1]：若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù),則有=+（-）+(-+……+（-+-(1)這里-為佩亞諾型余項(xiàng),稱(1)為函數(shù)在點(diǎn)的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí),（1）式變?yōu)?+++……+稱此式為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林公式。常見函數(shù)的麥克勞林公式.…為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算,有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒公式來代替該項(xiàng),使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理式的極限,就能簡(jiǎn)潔地求出函數(shù)極限。例27求解本題可用洛比達(dá)法則來求解，但是運(yùn)算過程比較繁瑣，在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，因而求得3.13利用中值定理求函數(shù)極限定理8(拉格朗日微分中值定理)：若函數(shù)滿足(1)在上連續(xù),(2)在可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。例28求解由定理9(積分中值定理)：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則至少存在使得.例29求.解由積分中值定理，，所以以上方法是在數(shù)學(xué)分析求解極限的重要方法。在做求解極限的題目時(shí)，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細(xì)心分析仔細(xì)甄選，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?。這樣不僅準(zhǔn)確率更高，而且會(huì)省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。這就要求學(xué)習(xí)者要吃透其精髓，明