第二章-分離變量法

第二章分離變量法123452.

二階常系數(shù)線性齊次方程的求解其中p,q均為常數(shù).67(2)分離變量法的物理來源——駐波駐波的形式：兩列反向行進(jìn)的同頻率的波的疊加。兩列反向行進(jìn)的同頻率的波形成駐波。駐波沒有波形的傳播現(xiàn)象，即各點(diǎn)振動(dòng)周期并不依次滯后，它們按同一方式隨時(shí)間振動(dòng)，可以統(tǒng)一表示為T(t).但它們的振幅X卻隨地點(diǎn)x而異，寫成X(x).波節(jié)波節(jié)波節(jié)波節(jié)自變數(shù)x，t出現(xiàn)分離時(shí)間變量與空間變量分離89用作為試探解的依據(jù)：行波在端點(diǎn)間往復(fù)發(fā)射可能形成駐波，而就是時(shí)空分開的。如找出一些滿足泛定方程和邊界條件的駐波，由于泛定方程和邊界條件均是線性的，將這些駐波線性迭加后的解仍然滿足泛定方程和邊界條件。如果能確定出迭加系數(shù)使之滿足初始條件，就能解決該定解問題。

把這種具有變量分離形式的特殊解作為嘗試解去解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保證嘗試解的正確性。駐波一般表示為：10由泛定方程：兩邊同乘以方程左邊僅是x的函數(shù)，右邊僅是t的函數(shù)，而x,t是獨(dú)立變量，只有兩邊同等于一個(gè)常數(shù)（-

）時(shí)，方程才能成立.§2.1有界弦的自由振動(dòng)泛定方程初始條件邊界條件11由邊界條件本征值問題討論：當(dāng)

<0時(shí)，積分常數(shù)c1、c2由邊界條件確定駐波u(x,t)沒有意義當(dāng)＝0時(shí)，積分常數(shù)c1、c2由邊界條件確定駐波u(x,t)沒有意義12當(dāng)

>0時(shí)，積分常數(shù)c1、c2由邊界條件確定除外，，駐波u(x,t)沒有意義.本征值分離變量引入的常數(shù)必須大于零，而且也不能是任意正數(shù).T(t)的方程改為：A、B為積分常數(shù)13每一個(gè)n對(duì)應(yīng)一種駐波.節(jié)點(diǎn)波長(zhǎng)：本征解u(x,t)滿足定解方程和邊界條件，但不一定滿足初始條件，設(shè)想將這些本征解線性迭加，找出滿足初始條件的解.從數(shù)學(xué)上看，由于泛定方程和邊界條件都是線性的，本征解的線性迭加也應(yīng)該滿足定解方程和邊界條件.一般解由初始條件：14上式的右邊是正弦傅立葉級(jí)數(shù)，因此可將展成傅立葉級(jí)數(shù).由初始條件：15綜上：分離變數(shù)分離變數(shù)解1解2本征函數(shù)本征解

解1

解2本征值問題一般解＝偏微分方程齊次邊界條件初始條件常微分方程2條件求解過程圖解確定迭加系數(shù)16討論本征解un(x,t)代表一種駐波，弦的振動(dòng)則是許許多多駐波的線性迭加.17從可看出，弦上任一點(diǎn)（x固定）都以同一圓頻率

n作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為；

弦線在任一時(shí)刻（t固定）的形狀都是正弦曲線狀.有n+1個(gè)波節(jié)有n

個(gè)波腹相鄰兩波節(jié)之間各點(diǎn)的位相相同，波節(jié)兩邊各點(diǎn)的位相相反.18從物理上看，弦兩端固定時(shí)，弦的端點(diǎn)必是波節(jié)（桿端點(diǎn)自由時(shí)，兩端必是波腹），所以弦的長(zhǎng)度l應(yīng)是波長(zhǎng)一半的整數(shù)倍.本征頻率（固有頻率）——基頻——基波（基音）——諧頻——諧波（泛音）基頻決定了音調(diào)的高低，而諧波的存在以及各種諧波成份的多少?zèng)Q定了樂器的音品（音色）.19對(duì)弦樂器來說，當(dāng)弦變短，線變細(xì)（ρ變?。?，張得更緊（T變大），則音調(diào)升高；反之，音調(diào)降低.傅立葉級(jí)數(shù)法駐波解為：強(qiáng)烈的提示它就是傅立葉級(jí)數(shù)，我們從另一角度把求解重新敘述一下：泛定方程初始條件邊界條件參照邊界條件，試把解u(x,t)展成傅立葉正弦級(jí)數(shù).20這里除了自變數(shù)x外，還有另一個(gè)自變數(shù)t，因此u(x,t)的傅立葉系數(shù)不是常數(shù)，而是t的函數(shù)。代入泛定方程得：一個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)等于零，意味著各個(gè)系數(shù)為零.Tn(t)的常微分方程其中An、Bn積分常數(shù)的確定與前面相同，由初始條件決定.21這個(gè)方法的關(guān)鍵在于分離除Tn(t)的常微分方程，其中不可混雜另一自變數(shù)x.這是如果做到的呢？§2.2非齊次邊界條件上節(jié)的分離變數(shù)法的前提：邊界條件必須是齊次的。邊界條件齊次化，設(shè)：w(x,t)滿足:對(duì)于非齊次邊界條件時(shí)原來，這個(gè)級(jí)數(shù)展開的基本函數(shù)正是分離變數(shù)法求得的本征函數(shù)，該方法并不獨(dú)立.22此時(shí)v(x,t)的邊界是齊次的，可用分離變量法求出v(x,t).滿足：條件的w(x,t)很多.設(shè)：23因此對(duì)于第二類非齊次邊界條件：可以設(shè)：對(duì)于第三類非齊次邊界條件：可以設(shè)：例弦的一端固定，另一端作諧振動(dòng)，弦的初始位移和初始速度為零.24設(shè)【解】25可以選擇w(x,t)使得泛定方程、邊界條件同時(shí)具備齊次條件.26一般解：由初始條件：2728§2.3齊次的泛定方程（一）第二類齊次邊界條件代入泛定方程得：本征值問題29討論：當(dāng)

<0時(shí)，當(dāng)＝0時(shí)，由邊界條件：c1=0排除

<0.因此，

=0是一個(gè)本征值，本征解為：30當(dāng)

>0時(shí)，除外，，本征解u(x,t)沒有意義.本征值分離變量引入的常數(shù)必須大于零，而且也不能是任意正數(shù).T(t)的方程改為：c3、c4為積分常數(shù)本征函數(shù)31一般解：將

(x)展成傅立葉余弦函數(shù)：32綜上：討論：當(dāng)An

=Bn=0時(shí)，u(x,t)=A0+B0t，與x無關(guān).從物理上看，整條桿以初位移A0，初速度B0作勻速直線運(yùn)動(dòng).33若An

=Bn

有一個(gè)不為零，則桿一邊振動(dòng)，一邊以速度B0整體作勻速直線運(yùn)動(dòng).整條桿之所以能作勻速直線運(yùn)動(dòng)，正是由于兩端均為自由端的緣故。（二）第一、第二類齊次邊界條件＝0時(shí)，才有A0+B0t項(xiàng)，只有當(dāng)兩端自由時(shí)，才需要考慮＝0項(xiàng)，其它情況不用考慮該項(xiàng).代入泛定方程得：?jiǎn)位晒苁侵睆骄鶆虻募?xì)管，一端封閉另一端開放。34本征值問題討論：當(dāng)

<0時(shí)，排除

<0.當(dāng)＝0時(shí)，由邊界條件：c2=035排除

=0.當(dāng)

>0時(shí)，除外，，本征解u(x,t)沒有意義.本征值分離變量引入的常數(shù)必須大于零，而且也不能是任意正數(shù).T(t)的方程改為：本征函數(shù)36c3、c4為積分常數(shù)一般解：將

(x)展成傅立葉正弦函數(shù)：是[0,l]上的正交完備系，37綜上：38對(duì)下列定解問題：依照上面的做法，可得：討論：基頻：，可以發(fā)現(xiàn)u(x,t)中只有奇次的諧音，而沒有偶數(shù)的諧音，從而構(gòu)成了單簧管特有的聲音.39邊界條件：表明，應(yīng)該把單簧管從區(qū)間(0,l)偶延拓到區(qū)間(l,2l).延拓后，邊界條件是：

第一和第三個(gè)條件決定了本征函數(shù)為：第二個(gè)條件決定n只能是奇數(shù)：如果n是偶數(shù)，因此，本征函數(shù)應(yīng)該為：40§2.2有界長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題代入泛定方程得：本征值問題本征值本征函數(shù)41T(t)的方程改為：本征解一般解42綜上：討論：若兩端絕熱，則：當(dāng)

=0時(shí)，X=c1x+c2，由邊界條件得c1=0,X=c2.43當(dāng)

=0時(shí)，T’=0，因此T=c3.對(duì)應(yīng)本征值

=0的本征解為常數(shù)C0.當(dāng)

>0時(shí)，T(t)的方程改為：本征解44當(dāng)t

時(shí)，u

C0，從物理上看，兩端絕熱的有界桿當(dāng)時(shí)間很長(zhǎng)后，桿上的溫度為一常數(shù).從

來看，t<0，級(jí)數(shù)發(fā)散.因此，從某個(gè)時(shí)刻溫度分布可以推知以后的溫度分布，卻不能反推以前的溫度分布。從方程上看，中的t

-t后，方程變?yōu)?/p>

已經(jīng)不是熱傳導(dǎo)方程.從物理上看，輸運(yùn)（熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散）過程是不可逆的。而振動(dòng)方程中的t

-t后，方程的形式不變（方程具有時(shí)間反演不變性）.45例求解有界桿的導(dǎo)熱問題。其初始溫度為u0，在x=0端溫度保持不變，在x=l端有一熱流強(qiáng)度q0的恒定熱流流入.解：定解問題為邊界條件齊次化，滿足下列等式設(shè)有w的邊界條件得：k：傳熱系數(shù)46v的定解問題為：47討論：當(dāng)時(shí)，，桿溫度分布為一線性分布，截距為u0，斜率為：桿上任意一點(diǎn)的熱流強(qiáng)度為q0，方向沿-x方向。桿上任一小段內(nèi)無熱量積累，是一種穩(wěn)定的溫度分布，達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。48穩(wěn)定的溫度分布也可以由方程：uxx=0解出.代入邊界條件得：當(dāng)t=0時(shí)，等式的級(jí)數(shù)是的傅立葉展開.與初始條件一致.49§2.5矩形區(qū)域中的調(diào)和函數(shù)代入泛定方程得：本征值問題50——本征值——本征函數(shù)51可以求出An、Bn同理可得：可以求出Cn、Dn52表成雙曲函數(shù)：例求矩形散熱片上的穩(wěn)定溫度分布.解：定解問題為5354§2.6矩形膜的自由振動(dòng)代入泛定方程，得：55本征值問題本征值本征函數(shù)本征值問題本征值565758§2.3二維拉普拉斯方程（平面極坐標(biāo)系下的拉氏方程）在研究圓形區(qū)域時(shí)，采用平面極坐標(biāo)往往比較方便.拉氏方程為：令：59自然周期性條件本征值問題【討論】

<0時(shí)，實(shí)指數(shù)函數(shù)不可能是周期性函數(shù).因此，c1=c2=0，因此排除

<0.

=0時(shí)，只有在c1=0時(shí)，才可能是周期性函數(shù)對(duì)于本征值

=0的本征解為：60

>0時(shí)，只有當(dāng)：時(shí)，才為周期函數(shù)歐勒齊次方程令：一般解：本征解61對(duì)于圓內(nèi)區(qū)域，必有：因此，應(yīng)排除項(xiàng)，即D0=Dm=0，令：C0=A0：因此，應(yīng)排除項(xiàng)，即D0=Cm=0，對(duì)于圓外區(qū)域，若有：有限的條件.對(duì)于圓環(huán)區(qū)域，或圓外區(qū)域無有限的條件.則解不能化簡(jiǎn).62例1、求解圓內(nèi)區(qū)域的定解問題.解：圓內(nèi)的拉氏方程一般解為：邊界條件：比較系數(shù)：63帶電云層例2、帶電云層跟大地之間的靜電場(chǎng)近似是勻強(qiáng)電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度E0是豎直的。水平架設(shè)的輸電線處在這個(gè)靜電場(chǎng)之中。輸電線是導(dǎo)體圓柱，研究導(dǎo)體圓柱附近的靜電場(chǎng).解：柱面由于靜電感應(yīng)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，圓柱附近不再是均勻電場(chǎng)，但在離圓柱“無限遠(yuǎn)”處還是均勻電場(chǎng)。取圓柱的軸為z軸，如果圓柱“無限長(zhǎng)”，電場(chǎng)與z軸無關(guān)，只要研究xy平面即可。（圓柱外）圓柱為等電勢(shì)體（0），其中a為圓柱半徑按照分離變數(shù)法，u(x,y)=X(x)Y