2023屆四川省瀘縣名校高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（文）試題（含答案）

II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則___________.14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則=___________.15．函數(shù)，若，則________．16．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，甍，屋蓋也.”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面是邊長為4的正方形，上棱，四邊形為兩個全等的等腰梯形，到平面的距離為2，則該芻甍外接球的表面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分。17．（12分）為改善學(xué)生的就餐環(huán)境，提升學(xué)生的就餐質(zhì)量，保證學(xué)生的營養(yǎng)攝入，某校每學(xué)期都會對全校3000名學(xué)生進(jìn)行食堂滿意度測試.已知該校的男女比例為1∶2，本學(xué)期測試評價結(jié)果的等高條形圖如下：男女合計滿意不滿意合計3000(1)填寫上面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生對學(xué)校食堂的“滿意度”情況與性別有關(guān)；(2)按性別用分層抽樣的方法從測試評價不滿意的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)選出3人交流食堂的問題，求選出的3人中恰好沒有男生的概率．附：，．0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82818．（12分）已知中，角所對的邊分別為，且.（1）求的值.（2）若的面積，且，求的外接圓半徑.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，．(1)證明：平面平面PAC；(2)求AD與平面PCD所成角的正弦值．20．（12分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，是面積為的正三角形．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓外一點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線與交于點(diǎn)，若是鈍角，求的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求的最值；（2）設(shè)函數(shù)有且只有2個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．22．（選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）M為曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且滿足，求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為，求面積的最小值.23．（選修4-5不等式選講）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，已知函數(shù)的最小值為4.(1)求的最小值；(2)證明：.數(shù)學(xué)（文史類）參考答案1．B2．C3．C4．A5．B6．D7．D8．C9．C10．D11．D12．B13．14．15．316．17．解：（1）∵該校的男女比例為1：2，總?cè)藬?shù)為3000人，∴該校男生數(shù)為，該校女生數(shù)為，其中測試評價滿意的男生數(shù)為，不滿意的男生數(shù)為300，其中測試評價滿意的女生數(shù)為，不滿意的女生數(shù)為，列聯(lián)表如下：男女合計滿意7008001500不滿意30012001500合計100020003000∵，∴由獨(dú)立性檢驗(yàn)定義知，有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生對學(xué)校食堂的“滿意度”與性別有關(guān)．（2）按性別用分層抽樣的方法從測試評價不滿意的學(xué)生中抽取5人，由分層抽樣的定義可知，抽取的男生人數(shù)為，抽取的女生人數(shù)為，設(shè)男生為A，女生為a，b，c，d，基本事件總數(shù)為10個，如下：，，，，，，，，，恰好沒有男生的基本事件個數(shù)為4個，如下：，，，，所以這5人中隨機(jī)選出3人，恰好沒有男生的概率為：．18．解：（1）由，得，且，所以，所以（2）由得：解得.由余弦定理，得到，由正弦定理得：，即解得.19．解：（1），，，則，．中，，故，故，又因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，又因?yàn)椋矫鍼AC，平面PAC，底面PCD，故平面平面PAC，另解：平面ABCD，平面ABCD，故，過C做AD的垂線，垂足為E，連接CE，則，，，，在中，，，即，又，PA，平面PAC，故平面PAC，平面PCD，故平面平面PAC，（2）作，垂直為H，連接DH，因?yàn)槠矫嫫矫鍼AC，且平面平面，平面，所以平面PCD，故為AD與平面PCD所成的角，中，，，所以直線AD與平面PCD所成角的正弦值為．另解：設(shè)直線AD與平面PCD所成角為，點(diǎn)A到平面PCD的距離為，所以，根據(jù)三棱錐等體積轉(zhuǎn)換方法可知，即，中，由（1）可知，，，，，故，所以，故，解得，直線AD與平面PCD所成角的正弦值為.20．解：（1）是面積為的正三角形，，解得：，橢圓的方程為：.（2）設(shè)，則，直線方程為：，即；由對稱性可知：點(diǎn)在軸上，則令，解得：，設(shè)直線，由得：，，，，又，，，，為鈍角，，解得：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．解：（1）因?yàn)?，令，即，所以，列表如下?1-+↘極小值↗所以在遞減，在遞增，所以當(dāng)時，有最小值，無最大值；（2），注意到，則，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，又注意到，，則，所以，從而，所以，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知，存在，使得，當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增.注意到，當(dāng)時，只有一個零點(diǎn)，這時，即；當(dāng)時，，則，又因?yàn)樵谶f減，遞增，，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，因?yàn)?，，所以，所以在上有一個零點(diǎn)，另一個零點(diǎn)為1，所以當(dāng)時，有兩個零點(diǎn).當(dāng)時，，，所以存在使得，又因?yàn)樵谶f增，注意到，所以，又因?yàn)椋?，可知所以在上有一個零點(diǎn)，另一個零點(diǎn)為1，所以當(dāng)時，有兩個零點(diǎn).綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.22．解：（1）設(shè)，，則，，即.方程化為，將代入可得；（2）可知，Q到的距離，，當(dāng)時，面積取得最小值2.23．解：（