近幾年高考幾何試題分析

近幾年高考幾何試題分析與09年高考復(fù)習(xí)策略陜西省西安中學(xué)陳昭亮2021年12月7日一、近三年陜西高考幾何局部試題分析二、高考閱卷對復(fù)習(xí)的啟示三、2021年高考幾何局部復(fù)習(xí)策略?考試說明?中明確指出：數(shù)學(xué)科的考試，按照“考查根底知識的同時(shí)，注重考查能力〞的原那么，確立以能力立意的指導(dǎo)思想，將知識、能力與素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).一、近三年陜西高考數(shù)學(xué)試題分析(一)解讀命題指導(dǎo)思想“考能力永遠(yuǎn)是高考命題的主題.〞立足根底，突出能力是高考數(shù)學(xué)命題的根本思路，也是高中數(shù)學(xué)高考備考的根本原那么.深化能力立意，突出考查能力與素質(zhì)應(yīng)當(dāng)是命題的導(dǎo)向.明年高考數(shù)學(xué)考試仍將以數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力為重點(diǎn)，通過多角度、多層次的考查，使之發(fā)揮區(qū)分和選拔功能.(二)數(shù)學(xué)科考試的宗旨主要測試數(shù)學(xué)的“三基〞和“四能〞.1.三基：數(shù)學(xué)根底知識、根本技能、根本思想方法.2.四能：數(shù)學(xué)思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、分析和解決問題的能力以及創(chuàng)新意識.

(三)高考數(shù)學(xué)命題特點(diǎn)抓根底、出活題；重應(yīng)用、考能力.3.1題型題量、內(nèi)容保持相對穩(wěn)定.今年是我省高考自主命題的第三年,數(shù)學(xué)科考查的內(nèi)容與前兩年根本一致，保持考查內(nèi)容穩(wěn)定的風(fēng)格，試題難度根本持平〔以立體幾何與解析幾何為例〕。立體幾何解析幾何題號分值題號分值2006年11，15，19215，7，21222007年6,10,15,19263,7,14，21262008年9，14，19215,8,10，20273.2“重點(diǎn)知識重點(diǎn)考查〞,突出考查學(xué)科主干知識.立體幾何中的重點(diǎn)知識為線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；棱柱、棱錐的概念和性質(zhì)；球的性質(zhì)、球和正方體、長方體、錐體的切接問題。解析幾何中的重點(diǎn)知識為直線方程、直線和圓的位置關(guān)系；橢圓、雙曲線、拋物線的方程以及幾何性質(zhì)，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系.今年高考將仍堅(jiān)持從根底知識、根本方法、重點(diǎn)內(nèi)容出發(fā)設(shè)計(jì)試題，對重點(diǎn)內(nèi)容和知識進(jìn)行了重點(diǎn)考查，試卷覆蓋面較大.3.3注重考查數(shù)學(xué)思想方法,考查通性通法.比較三年的陜西高考數(shù)學(xué)試卷，可以發(fā)現(xiàn)試卷仍然非常重視高中數(shù)學(xué)根底知識和根本數(shù)學(xué)思想方法的考查，同時(shí)突出對主干知識和重要數(shù)學(xué)思想方法的考查,解法中重視學(xué)生對通性通法的理解和掌握程度.3.4注重能力立意，適宜于不同的考生發(fā)揮各自的水平.立體幾何試題以線面、面面的平行、垂直關(guān)系等主干知識為依托，全面考查學(xué)生的空間想象能力；解析幾何以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為依托，考查學(xué)生用代數(shù)方法解決幾何問題的通性通法，變形及選擇計(jì)算方法的能力.并且問題的設(shè)計(jì)努力為學(xué)生自主探究、研究問題的本質(zhì)、尋找適宜的解題方法、展示自己的能力提供廣闊的空間.3.5試題層次清楚，難度保持相對穩(wěn)定.繼續(xù)堅(jiān)持多角度、多層次的考查方式，延續(xù)了去年分步設(shè)問、分散難點(diǎn)的做法，進(jìn)一步表達(dá)了多題把關(guān)的命題特點(diǎn)，易、中、難題比例大致符合考試說明中的3：5：2.各類題型的起點(diǎn)難度較低，階梯遞進(jìn)，由淺入深，拾級而上.選擇題、填空題由運(yùn)用根底知識即可一望而解，到需要在深刻理解知識的前提下靈機(jī)一動(dòng).12道選擇題中便有1-7、8-10和11，12題這樣明顯的三個(gè)難度的層次遞進(jìn)，解答題的17、18、19題均為容易得分的題目，20、21、22題有一定難度.這樣設(shè)計(jì)分散難點(diǎn)，改一題“壓軸〞為多題“壓軸〞，有利于不同學(xué)習(xí)程度的學(xué)生展示自己的真實(shí)水平.1、概念不清，亂套公式定理法那么.如只有一條線線垂直就推出線面垂面，由正棱柱ABC－A1B1C1不知道提供了那些重要信息；對橢圓、雙曲線的第一、第二定義不清楚，a,b,c的關(guān)系混淆，焦距為c，短軸為b等。2、公式用錯(cuò)，屢屢發(fā)生；計(jì)算錯(cuò)誤，隨處可見.二、高考閱卷中反映的問題3、書寫格式不標(biāo)準(zhǔn)，證明題隨意減少必要的文字說明、證明過程或演算步驟.4、理性思維不深刻.〔一〕夯實(shí)根底知識，練好根本技能三、09年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略高考對數(shù)學(xué)根底知識的考查，要求全面，但不刻意追求知識點(diǎn)的百分比，對支撐數(shù)學(xué)科知識體系的主干根底知識，考查時(shí)保證較高的比例并保持必要的深度，即重點(diǎn)知識重點(diǎn)考查。從我們所帶歷屆高三學(xué)生的高考情況的調(diào)研來看，相當(dāng)一局部考生在答題中的一些失誤，并不是因缺乏靈活的思維和敏銳的感覺，而恰恰是因?qū)σ?guī)定的根底知識、根本理論的掌握還存在某些欠缺，甚至有所偏廢所致。09年立體幾何命題方向預(yù)測：題型：一選一填一解答，分值大約占總分的14℅左右?？疾榉较颍阂皇强疾榫€線、線面、面面關(guān)系及其關(guān)系，簡單幾何體的體積與外表積、球與其它幾何體的切接問題，球的問題仍有可能出現(xiàn)在選擇或填空題中。二是考查化歸、割補(bǔ)、展開、類比、構(gòu)造、折疊等立幾中的數(shù)學(xué)思想方法。三是考查遷移能力，要關(guān)注立體幾何與解析幾何交匯的開放性問題。〔08浙江10〕如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，假設(shè)點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是〔A〕圓〔B〕橢圓〔C〕一條直線〔D〕兩條平行直線復(fù)習(xí)盲點(diǎn)：①與正方體的12條棱都相切的球半徑與棱長的關(guān)系；②與正四面體的6條棱都相切的球半徑與棱長的關(guān)系；③正六棱柱的外接球問題，〔08海南15〕一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9/8，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積為___。④〔08浙江14〕如圖，球O面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，那么球O點(diǎn)體積等于___。〔08安徽16〕A,B,C,D在同一個(gè)球面上,AB⊥平面BCD，BC⊥CD，假設(shè)AB=6，AD=8，那么B,C兩點(diǎn)間的球面距離是。09年立體幾何命題方向預(yù)測：題型：二選一填一解答，分值大約占總分的16℅左右?？疾榉较颍阂皇侵本€的方程，點(diǎn)到直線的距離公式，圓錐曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率及圓錐曲線的幾何性質(zhì)等根底知識，以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般涉及2個(gè)以上知識點(diǎn).如〔08陜西7〕雙曲線C:，以C的右焦點(diǎn)為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是〔〕A． B． C．a(chǎn)D．b二是考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題，一般為選擇題；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考解析幾何的核心，主要討論直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，弦長、弦的中點(diǎn)問題、討論直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)與第三個(gè)點(diǎn)形成的線之間的垂直問題、長度相等問題等。如〔08陜西7〕雙曲線C:，的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于點(diǎn)M，假設(shè)MF2⊥x軸，那么雙曲線的離心率為〔〕三是考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求曲線方程，參數(shù)的取值范圍、最值問題、定值問題、對稱問題、考查學(xué)生分析問題和計(jì)算能力，這類題一般考生不容易完整解答，可以拉開檔次，能表達(dá)高考的選拔功能。四是考查解析幾何中的思想方法，如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等及利用韋達(dá)定理、判別式、曲線系方程、坐標(biāo)法等方法也會重點(diǎn)考查。在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中，首先要重視對立體幾何、解析幾何中的概念、性質(zhì)、公理、定理等根底知識的全面、仔細(xì)地梳理與回憶，既重視各知識的發(fā)生、開展過程，又要注意弄清各知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系，形成立體幾何、解析幾何的知識板塊.其次注重對各知識板塊進(jìn)行縱橫聯(lián)系，尋找其共同點(diǎn)，建構(gòu)清晰明了的知識體系與完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，把書由“厚〞變“薄〞，做到信手拈來，呼之欲出.〔二〕揭示內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

立體幾何中的三種角：異面直線所成角、斜線與平面所成角、二面角。

求立體幾何中點(diǎn)到平面的距離的思路：1.直接判斷出表示點(diǎn)到平面距離的線段并求出其長度；2.利用面面垂直的性質(zhì)定理；3.轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，再利用體積法求出此高的值。

拋物線經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于Ａ、Ｂ，經(jīng)過A，B分別向準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)A（ｘ1，ｙ１）,Ｂ（ｘ２，ｙ２）。結(jié)論1：

結(jié)論5：∠A1FB1=90°結(jié)論３：點(diǎn)A、Ｏ、B1共線。結(jié)論2：結(jié)論4：結(jié)論6：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。〔三〕提煉數(shù)學(xué)思想，優(yōu)化思維策略數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、開展和應(yīng)用的過程中。因此，對它的考查是考查考生能力的必由之路，在考查知識的同時(shí)，考查數(shù)學(xué)思想和方法是必然之舉。在高考中涉及的數(shù)學(xué)思想主要有以下四種:〔1〕分類討論思想;(2)函數(shù)與方程的思想;(3)轉(zhuǎn)化與化歸思想;(4)數(shù)形結(jié)合思想.3-1分類討論的思想：所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對研究對象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整〞的數(shù)學(xué)策略.這種思想對于簡化研究對象，開展學(xué)生的思維有著重要作用，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置.如解析幾何中在研究是否存在直線滿足某種性質(zhì)時(shí)，要分直線斜率不存在和存在兩種情況討論。如立體幾何中說空間中兩條直線時(shí)，要分這兩條直線相交、平行和異面三種情況進(jìn)行討論。例1．在直角坐標(biāo)系中，分別是與x,y軸正方向同向的單位向量．在直角三角形ABC中，假設(shè)，那么k的可能值個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解：由，得，假設(shè)△ABC為直角三角形，那么角B、C、A都有可能為直角，由向量積為0，分別有2＋k－1=0或3＋k〔k－1〕=0或6＋k=0,解得k=－1或－6，應(yīng)選B.

例2四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有()A.150種B.147種C.144種D.141種解：任取4個(gè)點(diǎn)共210種取法.四點(diǎn)共面的有三類：〔1〕每個(gè)面上有6個(gè)點(diǎn)，有60種；〔2〕4條棱的中點(diǎn)共3種；〔3〕一條棱上的三點(diǎn)與對棱的中點(diǎn)共6種。故4個(gè)不共面的點(diǎn)的取法共有210－60－3－6=141種.例3〔06年陜西11〕平面α外不共線的三點(diǎn)A,B,C到α的距離都相等,那么正確的結(jié)論是()A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必與α相交C.平面ABC必不垂直于αD.存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內(nèi)3-2函數(shù)與方程的思想：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解題時(shí)，往往要將字母看作變量，將代數(shù)式看作函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)做工具進(jìn)行分析，或者將一個(gè)等式看作某一個(gè)未知數(shù)的方程，或者構(gòu)造一個(gè)函數(shù)把外表上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題。如在解析幾何中中要求某個(gè)三角形面積的最大值，常常把這個(gè)三角形面積表示為某個(gè)變量〔如直線的斜率〕的函數(shù)，再利用函數(shù)的知識求得這個(gè)最值。3-3轉(zhuǎn)化與化歸的思想轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向轉(zhuǎn)化的過程。轉(zhuǎn)化與化歸的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實(shí)質(zhì)就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，解析幾何中把直線與曲線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為判斷直線方程和曲線方程所組成的方程組的公共解的個(gè)數(shù)問題。如在立體幾何中根據(jù)“點(diǎn)線—線線—線面—面面〞之間的聯(lián)系，常常利用“立體問題平面化〞；再如求不規(guī)那么幾何體的體積時(shí)，我們通過對圖形進(jìn)行分割，拼補(bǔ)，轉(zhuǎn)換，從而把不規(guī)那么幾何體的體積轉(zhuǎn)化為規(guī)那么幾何體的和差，到達(dá)解題的目的。ABCD、ABEF是兩個(gè)正方形，且不在同一個(gè)平面內(nèi)，M、N分別是對角線AC、FB上的點(diǎn)，且AM=FN。求證：MN//平面CBE。

3-4數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題。它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)方面。利用它可以使復(fù)雜命題簡單化。它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一。例.實(shí)數(shù)x,y滿足，那么y/x的最大值為例，函數(shù)

的最大值為.[分析]“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近上下各不同〞.此題主要考查函數(shù)最值的求法，以及邏輯思維能力和運(yùn)算能力，側(cè)重于考查觀察、分析能力與思維的靈活性.假設(shè)能夠仔細(xì)觀察函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，開掘出隱藏在題目背后的豐富的數(shù)學(xué)“三基〞，靈活運(yùn)用有關(guān)知識，那么可望速戰(zhàn)速決，發(fā)現(xiàn)快捷解法.解法1數(shù)形結(jié)合法.首先考察問題的幾何意義:令那么直線與半圓有公共點(diǎn)(如下圖)，解法2換元法.

令，那么

〔當(dāng)時(shí)取等號〕.〔四〕研究能力變化，逐步提高水平數(shù)學(xué)科的高考，不但要考查出考生數(shù)學(xué)知識的積累是否到達(dá)進(jìn)入高校學(xué)習(xí)的根本水平，而且要以數(shù)學(xué)知識為載體，測量出考生將知識遷移到不同情境的能力，從而檢測出考生已有的和潛在的學(xué)習(xí)能力。高三階段復(fù)習(xí)時(shí)，抓住主干知識強(qiáng)化復(fù)習(xí)，做到主干知識要精，新增內(nèi)容要熟，要做一題通一片，題目做完后要及時(shí)地總結(jié)反思，建立錯(cuò)題本.這里說的“錯(cuò)〞，是指把平時(shí)做作業(yè)中的錯(cuò)誤收集起來。高三復(fù)習(xí)，各類試題要做十幾套，甚至幾十套。有的同學(xué)做題只重?cái)?shù)量不重質(zhì)量，做過之后不問對錯(cuò)就放到一邊，這種做法很不科學(xué)。做題的目的是培養(yǎng)能力，是尋找自己的弱點(diǎn)和缺乏的有效途徑。因此，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤及時(shí)研究改正，并總結(jié)經(jīng)驗(yàn)以免再犯，時(shí)間長了就知道做題的時(shí)候有哪些方面應(yīng)引起注意，出錯(cuò)的時(shí)機(jī)就大大減少了。如果平時(shí)做題出錯(cuò)較多，就只需在試卷上把錯(cuò)題做上標(biāo)記，在旁邊寫上評析，然后把試卷保存好，每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記〞或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷看一看。在看參考書時(shí)，也可以把精彩之處或做錯(cuò)的題目做上標(biāo)記，以后再看這本書時(shí)就會有所側(cè)重。查漏補(bǔ)缺的過程就是反思的過程。除了把不同的問題弄懂以外，還要學(xué)會“舉一反三〞，及時(shí)歸納。高考碰到平時(shí)做過的陳題可能性不大，而解題所需的知識、方法和能力要求都不會超出大綱，都會在平時(shí)復(fù)習(xí)中遇到，關(guān)鍵是要能觸類旁通。