平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1向量的模和夾角分別是什么概念？向量的夾角兩個非零向量a和b

，作，，則

叫做向量a

和b

的夾角．OABabOABba若，a

與b

同向OABba若，a

與b

反向OABab若，a

與b

垂直，記作

2我們研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？3我們是怎樣引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究這種運(yùn)算的？物理模型概念性質(zhì)運(yùn)算律應(yīng)用問題1:如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，求力F所做的功FSW＝︱F︱︱s︱cosθW＝︱F︱︱s︱cosθ問題2：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積,如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。平面向量的數(shù)量積的定義說明：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為

，我們把數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

，即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0．（1）（2）a·b中間的“·”在向量的運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能寫成a×b

，a×b

表示向量的另一種運(yùn)算．問題3：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？夾角的范圍

正負(fù)0數(shù)量積符號由cos的符號所決定問題4：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎?？什么時候?yàn)樨?fù)？什么時候?yàn)?？物理上力所做的功實(shí)際上是將力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF平面向量數(shù)量積的幾何意義向量a在b方向上的投影是什么？

投影一定是正數(shù)嗎？|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．，過點(diǎn)B作垂直于直線OA，垂足為，則|b|cosθOABab︱a︱cosθ說明：（2）投影也是一個數(shù)量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ為銳角時，|b|cosθ＞0θ為鈍角時，|b|cosθ＜0θ為直角時，|b|cosθ=0當(dāng)

=0

時投影為|b|當(dāng)

=180

時投影為-|b|.問題5：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積a·b=︱a|︱b︱cosθ的幾何意義如何？

數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘積.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)問題6：設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？a⊥ba·b＝0問題7：當(dāng)a與b同向時，a·b等于什么？當(dāng)a與b反向時，a·b等于什么？特別地，a·a等于什么？當(dāng)a與b同向時，a·b＝︱a︱︱b︱；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.問題8：︱a·b︱與︱a︱︱b︱的大小關(guān)系如何？為什么？︱a·b︱≤︱a︱︱b︱問題9：對于向量a，b，如何求它們的夾角θ？（３）a·b≤|a|·|b|（１）a⊥ba·b=0判斷兩向量垂直的依據(jù)特別地，（２）當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a|·|b|；

當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a|·|b|（４）平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)向量a、b為兩非零向量：類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：關(guān)于向量的數(shù)量積運(yùn)算：平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律。思考１：

a·b與b·a相等嗎？為什么？

思考２：對于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意義?(a·b)·c

與a·(b·c)相等嗎？為什么？探究1思考３：對于向量a，b，c，(a＋b)·c表示什么意義？它與

a·c＋b·c相等嗎？為什么？探究2思考４：對于實(shí)數(shù)λ,(λa)·b表示什么意義?它可以轉(zhuǎn)化為哪些運(yùn)算?

探究3問題10:我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對向量是否也適用？例題數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律：分配律：對于實(shí)數(shù)a、b、c有（a·b)c=a(b·c);但對于向量a、b、c，（a·b)c=a(b·c)不成立，這是因?yàn)椋╝·b)c表示一個與c共線的向量，而a(b·c）表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線，所以（a·b)c=a(b·c)不成立。即：

問題ONMabbac證明：

向量a、b、a+b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、ON,

則

(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

問題

當(dāng)λ<0時，向量與、與的方向的關(guān)系如何？此時，向量與

、

與的夾角與向量

與

的夾角相等嗎？問題例1：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當(dāng)①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60°時，分別求ａ·ｂ.解：①當(dāng)ａ∥ｂ時，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜c(diǎn)os0°＝3×6×1＝18；若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os180°＝3×6×（-1）＝－18；②當(dāng)ａ⊥ｂ時，它們的夾角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③當(dāng)ａ與ｂ的夾角是60°時，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os60°＝3×6×