第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用

第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)習(xí)要求:1理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具

在實際情境中,會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律2結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題,會比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)

增長速度的差異3收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型,體會人

們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的,感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義1幾種常見的函數(shù)模型必備知識

·

整合

函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a、b為常數(shù),且a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)=a+

(a,b為常數(shù),且b≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)=axn+b(a,b為常數(shù),且a≠0)2三種增長型函數(shù)性質(zhì)的比較函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增減性①

增函數(shù)

②

增函數(shù)

③

增函數(shù)

增長速度④

越來越快

⑤

越來越慢

相對平穩(wěn)圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與

⑥

y軸

平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與

⑦

x軸

平行隨α值變化而各有不同值的比較存在一個x0,當(dāng)x>x0時,有l(wèi)ogax<xα<ax3解函數(shù)應(yīng)用題的步驟四步八字1審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇函數(shù)模型;2建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,利用數(shù)學(xué)

知識建立相應(yīng)的函數(shù)模型;3求模:求解函數(shù)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;4還原:將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問題的結(jié)果以上過程用框圖表示如圖:1判斷正誤正確的打“√”,錯誤的打“?”1某種商品進(jìn)價為每件100元,按進(jìn)價增加10%后出售,后因庫存積壓降價,若

按九折出售,則每件還能獲利?2函數(shù)y=2的函數(shù)值比y=2的函數(shù)值大?3不存在0,使?<?<loga0?4在0,∞上,隨著的增大,y=aa>1的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=αα>

0的增長速度?5“指數(shù)爆炸”是比喻指數(shù)型函數(shù)f=baca,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1

的增長速度越來越快????√?2新教材人教A版必修第一冊P161T8改編某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大

研發(fā)資金投入若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年

投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是參考數(shù)據(jù):lg112≈005,lg13≈011,lg2≈030?A2020年

B2021年C2022年

D2023年B3新教材人教A版必修第一冊P139T2改編已知f=2,g=2,h=log2,當(dāng)

∈4,∞時,對三個函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較,下列選項中正確的是?Af>g>h

Bg>f>hCg>h>f

Df>h>gB的生產(chǎn),平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元t

為正常數(shù)公司決定從原有員工中分流0<<100,∈N*人去進(jìn)行新開發(fā)的

產(chǎn)品B的生產(chǎn)分流后,繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在

%若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少,則最多能分流

的人數(shù)是?A15

B16

C17

D18B5某種計算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的,下表是某公司前5天監(jiān)測到的

數(shù)據(jù),則下列函數(shù)模型中能較好地反映計算機(jī)在第天被感染的數(shù)量y與之間

的關(guān)系的是?第x天12345被感染的計算

機(jī)數(shù)量y(臺)10203981160Ay=10

By=52-510Cy=5×2

Dy=10log210C考點一二次函數(shù)模型關(guān)鍵能力

·

突破

典例1

2020重慶育才中學(xué)高三月考某市自來水廠向全市生產(chǎn)與生活供水,

蓄水池蓄量足夠大在每天凌晨0點時將會有水15千噸,水廠每小時向池中注

水2千噸,同時從池中向全市供水,若已知0≤≤24小時內(nèi)供水總量為10?千噸,且當(dāng)蓄水量少于3千噸時,供水就會出現(xiàn)緊張現(xiàn)象1一天內(nèi)將在哪個時間段內(nèi)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象2若將每小時向池內(nèi)注水2千噸改為每小時向池內(nèi)注水a(chǎn)a>2千噸,求a的最

小值,使得供水緊張現(xiàn)象消除解析(1)設(shè)蓄水量為y千噸,根據(jù)題意,y=15+2x-10

(0≤x≤24),令y=15+2x-10

<3,(

-2)(

-3)<0,解得2<

<3,則4<x<9,所以一天內(nèi)將在4時至9時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象.(2)每小時向池內(nèi)注水a(chǎn)(a>2)千噸,則y=15+ax-10

(0≤x≤24),令t=

,則t∈[0,2

],則x=t2,f(t)=at2-10t+15,t∈[0,2

],對稱軸為x=

,因為a>2,所以0<

<

<2

,fmin(t)=f

=a·

-10×

+15=-

+15,令-

+15≥3(a>2),解得a≥

,所以使得供水緊張現(xiàn)象消除的a的最小值為

.名師點評利用二次函數(shù)模型解決問題的方法:在函數(shù)模型中,二次函數(shù)模型占有重要的地位,根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)解

析式后,可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函

數(shù)的最值,從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等問題小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬

元,從第二年起,每年都比上一年增加支出2萬元,假定該車每年的運(yùn)輸收入均

為25萬元小王在該車運(yùn)輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車

出售,若該車在第年年底出售,其銷售價格為25-萬元國家規(guī)定大貨車的

報廢年限為10年1大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車運(yùn)輸累計收入超過總支出2在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大利潤=累

計收入銷售收入-總支出解析(1)設(shè)大貨車運(yùn)輸?shù)降趚年年底,該車運(yùn)輸累計收入與總支出的差為y萬

元,則y=25x-[6x+x(x-1)]-50=-x2+20x-50(0<x≤10,x∈N),由-x2+20x-50>0,可得10-5

<x<10+5

,∵2<10-5

<3,故從第3年,該車運(yùn)輸累計收入超過總支出.(2)∵利潤=累計收入+銷售收入-總支出,∴二手車出售后,小張的年平均利潤為

=19-

≤19-10=9萬元,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時,等號成立.∴小張應(yīng)當(dāng)在第5年將大貨車出售,能使小張獲得的年平均利潤最大.考點二指數(shù)函數(shù)模型典例2漁民出海打魚,為了保證獲得的魚新鮮,魚被打上岸后,要在最短的時

間內(nèi)將其分揀、冷藏,若不及時處理,打上來的魚很快地失去新鮮度以魚肉

內(nèi)的三甲胺量的多少來確定魚的新鮮度三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨,是氨的

衍生物,它是由細(xì)菌分解產(chǎn)生的三甲胺量積聚就表明魚的新鮮度下降,魚體

開始變質(zhì)進(jìn)而腐敗已知某種魚失去的新鮮度h與其出海后時間t分鐘滿足

的函數(shù)關(guān)系式為ht=m·at若出海后10分鐘,這種魚失去的新鮮度為10%,出海

后20分鐘,這種魚失去的新鮮度為20%,那么若不及時處理,打上來的這種魚在

多長時間后開始失去全部新鮮度已知lg2≈03,結(jié)果取整數(shù)?A33分鐘B40分鐘C43分鐘

D50分鐘C解析

由題意得

解得a=

,m=0.05,故h(t)=0.05×(

)t,令h(t)=0.05×(

)t=1,得(

)t=20,故t=

=

≈

≈43.名師點評1在實際問題中,有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢?/p>

用指數(shù)型函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N1p其中N為基礎(chǔ)數(shù),p為增長

率,為時間的形式2在指數(shù)函數(shù)模型問題中求解過程中,有時需要把指數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)問題

求解2020江西新余模擬一個容器裝有細(xì)沙acm3,細(xì)沙從容器底下一個細(xì)微的小

孔慢慢地勻速漏出,tmin后剩余的細(xì)沙量為y=ae-btcm3,經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器

內(nèi)還有一半的沙子,當(dāng)容器中的沙子只有開始時的八分之一時,則又經(jīng)過了

A8min

B16minC24min

D32minB解析

依題意有ae-8b=

a,即e-8b=

,兩邊取對數(shù)得-8b=ln

=-ln2,∴b=

,∴y=a

,當(dāng)容器中只有開始時的八分之一,則有a

=

a,∴

=

,兩邊取對數(shù)得-

t=ln

=-3ln2,∴t=24,∴又經(jīng)過了24-8=16(min).故選B.考點三對數(shù)函數(shù)模型典例3

2020湖南衡陽一模衡東土菜辣美鮮香,享譽(yù)三湘某衡東土菜館為

實現(xiàn)100萬元年經(jīng)營利潤目標(biāo),擬制訂員工的獎勵方案:在經(jīng)營利潤超過6萬元

的前提下獎勵,且獎金y單位:萬元隨經(jīng)營利潤單位:萬元的增加而增加,但

獎金總數(shù)不超過3萬元,同時獎金不能超過利潤的20%下列函數(shù)模型中,符合

該點要求的是參考數(shù)據(jù):1015100≈4432,lg11≈1041Ay=

By=-1Cy=tan?

Dy=log113-10D解析

對于函數(shù)y=0.04x,當(dāng)x=100時,y=4>3,不符合題意;對于函數(shù)y=1.015x-1,當(dāng)x=100時,y=3.432>3,不符合題意;對于函數(shù)y=tan

,不滿足遞增要求,不符合題意;對于函數(shù)y=log11(3x-10),滿足x∈(6,100],函數(shù)為增函數(shù),且y≤log11(3×100-10)=log11290<log111331=3,作出y=

x與y=log11(3x-10)的圖象如圖所示:符合題意,故選D.名師點評有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)關(guān)系式,要求根據(jù)實際情況求出

函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù),或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入關(guān)系式求值,然后根據(jù)值回答其實際意義2020福建廈門三模大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水

單位:m/s,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q科學(xué)研究

發(fā)現(xiàn)v與log3?=1m/s時,=2m/s時,其耗氧量的單位數(shù)為?A2670

B7120

C7921

D8010C解析

設(shè)v=k·log3

,∵1=k·log3

,∴k=

,∴2=k·log3

?2=

?log3

=log3

?Q=

=7921.考點四分段函數(shù)模型典例4首屆中國國際進(jìn)口博覽會于2018年11月5日至10日在上海的國家會

展中心舉辦某跨國公司此次帶來了高端智能家居產(chǎn)品參展,供購商洽談采購此產(chǎn)品,并決

定大量投放中國市場已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬美元,每生產(chǎn)一臺需另

萬臺且全部售完,每萬臺的銷售收

入為G萬美元,G=?1寫出年利潤S萬美元關(guān)于年產(chǎn)量萬臺的函數(shù)解析式;利潤=銷售收入-

成本2當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時,該公司獲得的利潤最大并求出最大利潤解析(1)當(dāng)0<x≤20時,S=xG(x)-(90x+30)=-3x2+150x-30;當(dāng)x>20時,S=xG(x)-(90x+30)=-10x+

-30.所以函數(shù)解析式為S=

(2)當(dāng)0<x≤20時,因為S=-3(x-25)2+1845,S在(0,20]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=20時,Smax=S(20)=1770;當(dāng)x>20時,S=-10x+

-30=-10x-

+2970=-10(x+1)-

+2980≤-2

+2980=2380,當(dāng)且僅當(dāng)

=10(x+1),即x=29時等號成立.因為2380>1770,所以當(dāng)x=29時,S的最大值為2380萬美元.故當(dāng)年產(chǎn)量為29萬臺時,該公司在該產(chǎn)品中獲得的利潤最大,最大利潤為2380萬美元.名師點評1分段函數(shù)模型的應(yīng)用:分段函數(shù)模型應(yīng)用的關(guān)鍵是確定分段的各分界點,即明確自變量的取值區(qū)間

對每一個