第二章第九節(jié)函數(shù)與方程

第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九節(jié)函數(shù)與方程抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來演練

考

什

么了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn).怎

么

考1.函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的個(gè)數(shù)是歷年高考的重要考點(diǎn)．2.利用函數(shù)的圖形及性質(zhì)判斷函數(shù)的零點(diǎn)，及利用它們求

參數(shù)取值范圍問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．3.題型以選擇題和填空題為主，常與函數(shù)的圖象與性質(zhì)交

匯命題.1函數(shù)的零點(diǎn)1定義對(duì)于函數(shù)y＝f∈D，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)y＝f∈D的零點(diǎn)．2函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根、函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)間的關(guān)系方程f＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f的圖象與有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f有．f＝0軸零點(diǎn)3．函數(shù)零點(diǎn)的判定零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)y＝f在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈a，b，使得，這個(gè)也就是f＝0的根．fa·fb<0a，bfc＝0c二、二次函數(shù)y＝a2＋b＋ca>0的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系>0＝0<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)1,0，2,0兩個(gè) 一個(gè)零個(gè)1．函數(shù)f＝e＋－2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是A．－2，－1B．－1,0C．0,1D．1,2解析：由于f0＝－1＜0，f1＝e－1＞0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，知函數(shù)f的零點(diǎn)在區(qū)間0,1內(nèi)．答案：C答案：C3．教材習(xí)題改編在以下區(qū)間中，存在函數(shù)f＝3＋3－3的零點(diǎn)的是 A． D．答案：C解析：注意到f－1＝－7<0，f0＝－3<0，f1＝1>0，f2＝11>0，f3＝33>0，結(jié)合各選項(xiàng)知，選C答案：2答案：－2,05．已知函數(shù)f＝2＋＋a在區(qū)間0,1上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵函數(shù)f＝2＋＋a在0,1上有零點(diǎn)．∴f0f1<a＋2<0，解得－2<a<01．函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)函數(shù)y＝f的零點(diǎn)就是方程f＝0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)點(diǎn)．在寫函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，所寫的一定是一個(gè)數(shù)字，而不是一個(gè)坐標(biāo)．2．函數(shù)零點(diǎn)具有的性質(zhì)對(duì)于任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，其函數(shù)零點(diǎn)具有以下性質(zhì)：1當(dāng)它通過零點(diǎn)不是偶次零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值變號(hào)；2相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．3．零點(diǎn)存在定理的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1在a，b上存在零點(diǎn)此處的零點(diǎn)不僅指變號(hào)零點(diǎn)，個(gè)數(shù)不定，若僅有變號(hào)零點(diǎn)，則有奇數(shù)個(gè)．2若函數(shù)在a，b上有零點(diǎn)，不一定有fa·fb<0B當(dāng)≤0時(shí)，2＋2－3＝0，解得＝1或－3，則f在－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)>0時(shí)，－2＋ln＝0，解得＝e2，則f在0，＋∞上有一個(gè)零點(diǎn)，所以f共有2個(gè)零點(diǎn)．C——————課堂突破保分題，分分必保！答案：B答案：D

函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法1直接求零點(diǎn)：令f＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；2零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且fa·fb<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；3利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．2011·遼寧高考改編已知函數(shù)f＝e－＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．∵f＝e－＋a，∴f′＝e－′＝0，得＝0當(dāng)<0時(shí)，f′<0，f在－∞，0上是減函數(shù)，當(dāng)>0時(shí)，f′>0，函數(shù)f在0，＋∞上是增函數(shù)．故fmin＝f0＝1＋a若函數(shù)f有零點(diǎn)，則fmin≤0即1＋a≤0，∴a≤－1若函數(shù)變?yōu)閒＝ln－2＋a，其他條件不變，求a的取值范圍．—————課堂突破保分題，分分必保！3．2012·天津聯(lián)考若函數(shù)f＝3－3＋a有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A．－2,2 B．C．－∞，－1 D．1，＋∞答案：A解析：函數(shù)f有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即其圖象與軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，因此只需f的極大值與極小值異號(hào)即可．f′＝32－3，令32－3＝0，則＝±1，故極值為f－1和f1，f－1＝a＋2，f1＝a－2，所以應(yīng)有a＋2a－2<0，故a∈－2,2．4．2012·南通質(zhì)檢已知函數(shù)f＝2＋1－－的一個(gè)零點(diǎn)在2,3內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．答案：2,3解析：因?yàn)棣ぃ?－2＋4＝1＋2≥0對(duì)一切∈R恒成立，又＝－1時(shí)，f的零點(diǎn)＝－1?2,3，故要使函數(shù)f＝2＋1－－的一個(gè)零點(diǎn)在2,3內(nèi)，則必有f2·f3<0，即2<<3此類利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍的問題，可利用方程，有時(shí)不易甚至不可能解出，而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩函數(shù)圖象求解，使得問題簡(jiǎn)單明了，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．?dāng)?shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化化歸思想在解決方程根的問題中的應(yīng)用當(dāng)<2時(shí)，f′＝3－12≥0，說明函數(shù)在－∞，2上單調(diào)遞增，函數(shù)的值域是－∞，1，又函數(shù)在．方程f＝有兩個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f和y＝有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)0<<1時(shí)直線y＝與函數(shù)f圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f＝有兩個(gè)不同的實(shí)根．答案：0,1解答本題利用了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想，所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之