對數(shù)的概念省賽一等獎

431對數(shù)的概念課標闡釋思維脈絡1.理解對數(shù)的概念,掌握對數(shù)的基本性質.(數(shù)學抽象)2.掌握指數(shù)式與對數(shù)式的互化,能夠應用對數(shù)的定義和性質解方程.(數(shù)學運算)3.理解常用對數(shù)和自然對數(shù)的定義形式以及在科學實踐中的應用.(數(shù)學抽象)激趣誘思知識點撥蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中,為了簡化其中的運算而發(fā)明了對數(shù)對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學史上的重大事件,恩格斯曾經把對數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建立并稱為17世紀數(shù)學的三大成就伽利略也說過:“給我空間、時間及對數(shù),我就可以創(chuàng)造一個宇宙”對數(shù)究竟是什么它何以有如此大的魅力它的作用何在激趣誘思知識點撥知識點一、對數(shù)的概念1對數(shù)的定義:一般地,如果a=Na>0,且a≠1,那么數(shù)叫做以a為底N的對數(shù),記作=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)2兩種特殊的對數(shù):名稱定義常用對數(shù)將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并把log10N記為lgN.自然對數(shù)e是一個重要的常數(shù),是無理數(shù),它的近似值為2.71828.把以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),并把logeN記作lnN.激趣誘思知識點撥名師點析1“l(fā)og”同、-、×等符號一樣,表示一種運算,即已知一個底數(shù)和它的冪求指數(shù)的運算,這種運算叫對數(shù)運算,不過對數(shù)運算的符號寫在數(shù)的前面中,為什么規(guī)定a>0,a≠1,N>0呢理由:1若a<0,則取某些數(shù)值時,N不存在;2若a=0,則當N≠0時,logaN不存在,當N=0時,logaN有無數(shù)個值,與函數(shù)定義不符;3若a=1,則當N≠1時,log1N不存在,當N=1時,log11有無數(shù)個值,與函數(shù)定義不符依據(jù)對數(shù)定義,N是指數(shù)冪,故N>0激趣誘思知識點撥微點撥給定底數(shù)后,對數(shù)運算是指數(shù)運算的逆運算激趣誘思知識點撥答案:1B2D激趣誘思知識點撥知識點二、對數(shù)的基本性質1對數(shù)與指數(shù)間的關系1當a>0,a≠1時,a=N?=logaN2對數(shù)恒等式=N2對數(shù)的基本性質1負數(shù)和零沒有對數(shù)2對于任意的a>0,且a≠1,都有l(wèi)oga1=0,logaa=1,名師點析1對數(shù)恒等式的特點:1指數(shù)中含有對數(shù)形式;2同底,即冪底數(shù)和對數(shù)的底數(shù)相同;3其值為對數(shù)的真數(shù)1=0,logaa=1可簡述為“1的對數(shù)等于0,底的對數(shù)等于1”激趣誘思知識點撥微練習2若log3log2=0,則=

解析:2由已知得log2=1,故=2答案:1D22探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測對數(shù)式與指數(shù)式的互化例1將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化:分析利用當a>0,且a≠1時,logaN=b?ab=N進行互化探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟=b與ab=Na>0,且a≠1是等價的,表示a,b,N三者之間的同一種關系如下圖:2根據(jù)這個關系式可以將指數(shù)式與對數(shù)式互化:將指數(shù)式化為對數(shù)式,只需將冪作為真數(shù),指數(shù)作為對數(shù),底數(shù)不變;而將對數(shù)式化為指數(shù)式,只需將對數(shù)式的真數(shù)作為冪,對數(shù)作為指數(shù),底數(shù)不變探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用對數(shù)式與指數(shù)式的關系求值例2求下列各式中的值:14=5·3;2log72=2;3lne2=;4log27=;5lg001=分析利用指數(shù)式與對數(shù)式之間的關系求解探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟指數(shù)式a=N與對數(shù)式=logaNa>0,且a≠1表示了三個量a,,N之間的同一種關系,因而已知其中兩個時,可以通過對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉化求出第三個探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2求下列各式中的值:2∵log216=,∴2=16,∴2=24,∴=43∵log27=3,∴3=27,即3=33,∴=3探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用對數(shù)的基本性質與對數(shù)恒等式求值例3求下列各式中的值:1lnlog2=0;2log2lg=1;分析利用logaa=1,loga1=0a>0,且a≠1及對數(shù)恒等式求值解:1∵lnlog2=0,∴l(xiāng)og2=1,∴=21=22∵log2lg=1,∴l(xiāng)g=2,∴=102=100探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟1在對數(shù)的運算中,常用對數(shù)的基本性質:1負數(shù)和零沒有對數(shù);2loga1=0a>0,a≠1;3logaa=1a>0,a≠1進行對數(shù)的化簡與求值2對指數(shù)中含有對數(shù)值的式子進行化簡、求值時,應充分考慮對數(shù)恒等式的應用對數(shù)恒等式=Na>0,且a≠1,N>0的結構形式:1指數(shù)中含有對數(shù)式;2它們是同底的;3其值為對數(shù)的真數(shù)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3求下列各式中的值:1lnlg=1;2log2log5=0;解:1∵lnlg=1,∴l(xiāng)g=e,∴=10e2∵log2log5=0,∴l(xiāng)og5=1,∴=5探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測對數(shù)發(fā)明的起源幾乎所有的現(xiàn)代數(shù)學書中,對數(shù)運算是通過解指數(shù)方程來引入的但是,你知道嗎對數(shù)發(fā)明的起源并不完全是這樣的!這是不是多多少少讓你覺得有些意外事實上,對數(shù)是簡化繁雜運算的產物16世紀時,科學技術的飛速發(fā)展對計算技術的改進提出了前所未有的需求為了簡化數(shù)值計算,自然希望將乘除法歸結為簡單的加減法當時已經有數(shù)學家發(fā)現(xiàn)這在某些情況下是可以實現(xiàn)的比如,利用以下2的冪次的對應表可以方便地算出16×256的值4567891011121632641282565121

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096探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測首先,在第二行找到16與256;然后找出它們在第一行中對應的數(shù),即4與8,并求它們的和,即12;最后在第一行中找到12,讀出其對應的第二行中的數(shù)4096,這就是16×256的值當然,用這個表格解決不了一般的兩個數(shù)相乘與相除的問題但是,不難想到,如果上述表格中第二行的數(shù)足夠密,就能用類似的方法算出更多的乘積蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在17世紀的時候發(fā)明了對數(shù)方法后來的人們利用對數(shù)表就大大簡化了有關乘除運算,簡化的過程類似于計算上述16×256的過程,只不過查表的過程更加復雜探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測a-25-a