高中數(shù)學人教A版選擇性課件3-2-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第三章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習課堂篇探究學習課標闡釋思維脈絡(luò)1.了解雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率等簡單幾何性質(zhì).(數(shù)學抽象)2.能夠根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題.(數(shù)學運算)課前篇自主預(yù)習[激趣誘思]火電廠、核電站的循環(huán)水自然通風冷卻塔是一種大型薄殼型構(gòu)筑物.建在水源不十分充足的地區(qū)的電廠,為了節(jié)約用水,需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng),以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復(fù)使用.大型電廠采用的冷卻構(gòu)筑物多為雙曲線形冷卻塔.這樣從結(jié)構(gòu)穩(wěn)定,強度高,能夠獲得更大的容積.氣流順暢,對流冷卻效果好,造型美觀.建造這種冷卻塔時要考慮到最小半徑和上、下口的半徑,如何確定這些數(shù)據(jù)?[知識點撥]雙曲線的幾何性質(zhì)

性質(zhì)

性質(zhì)

名師點析

1.雙曲線有“四點”(兩個焦點、兩個頂點)、“四線”(兩條對稱軸、兩條漸近線),橢圓是封閉性曲線,而雙曲線是開放性曲線;雙曲線有兩支,故在應(yīng)用時要注意點在哪一支上;根據(jù)方程判斷焦點的位置時,注意雙曲線與橢圓的差異性.微思考橢圓中要求a>b>0,在雙曲線中a,b是否也要滿足該條件?提示

不是,在雙曲線中,a,b沒有大小關(guān)系,只需a>0,b>0.微練習已知雙曲線的方程為9x2-y2=81,求雙曲線的范圍、實軸長、虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、離心率及漸近線方程.微拓展2.共軛雙曲線(1)定義:以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線,與原雙曲線是一對共軛雙曲線.(2)共軛雙曲線的性質(zhì):①有相同的漸近線;②有不同的離心率,離心率倒數(shù)的平方和為1.課堂篇探究學習探究一由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.思路分析將雙曲線方程化為標準方程,先求出參數(shù)a,b,c的值,再寫出各個結(jié)果.延伸探究

若將方程9y2-4x2=-36改為9y2-4x2=36,其結(jié)果又將如何?反思感悟

由雙曲線方程研究幾何性質(zhì)的注意點(1)把雙曲線方程化為標準形式,確定a,b的值是關(guān)鍵.(2)由方程可以求焦距、實(虛)軸長、離心率、漸近線方程.(3)漸近線是雙曲線的重要性質(zhì):先畫漸近線可使圖形更準確,焦點到漸近線的距離為虛半軸長.(4)注意雙曲線中一些特殊線段(值)的應(yīng)用.如過雙曲線

的左焦點F1(-c,0)垂直于x軸的弦AB,則|AB|=.(5)雙曲線中c2=a2+b2,易與橢圓中a2=b2+c2混淆.變式訓練1(1)雙曲線2x2-y2=-8的實軸長是(

)答案

(1)D

(2)C探究二根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求其標準方程例2求滿足下列條件的雙曲線的方程:(3)若雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0,且兩頂點間的距離是6.思路分析對于(1)和(2),可直接設(shè)出雙曲線方程,根據(jù)條件求出參數(shù)a,b的值,即得方程;對于(3),焦點位置不確定,應(yīng)分類討論.反思感悟

巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧

(5)漸近線為y=kx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)漸近線為ax±by=0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).變式訓練2求滿足下列條件的雙曲線的標準方程:(1)雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的

倍,且一個頂點的坐標為(0,2);探究三雙曲線的漸近線與離心率問題1.求雙曲線的離心率或取值范圍例3(2019全國Ⅱ,理11)設(shè)F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為(

)思路分析利用雙曲線和圓的性質(zhì),結(jié)合已知條件得到關(guān)于a,c的方程,進而求得雙曲線的離心率.解析

答案

A反思感悟

求雙曲線離心率及取值范圍的常見方法(1)求雙曲線離心率的常見方法:①若可求得a,c,則直接利用e=得解;②若已知a,b,或得到a,b的關(guān)系式,可利用

求解;③若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程,則方程兩邊同除以a的最高次冪,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.(2)求離心率取值范圍的技巧:①根據(jù)條件建立a,b,c的不等式,類似于求離心率的方法轉(zhuǎn)化求解;②通過解不等式得

的取值范圍,求得離心率的取值范圍.答案

A2.雙曲線的漸近線與離心率的綜合

答案

D反思感悟

雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系,可以借助

進行互求.一般地,如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程,或者已知漸近線方程,求離心率的值,都會有兩解(焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況),不能忘記分類討論.變式訓練4已知中心在原點,焦點在坐標軸上的雙曲線的離心率等于,則其漸近線方程為

.

素養(yǎng)形成直線與雙曲線的位置關(guān)系典例已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1,(1)若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若直線l與雙曲線C交于A,B兩點,O是坐標原點,且△AOB的面積為,求實數(shù)k的值.思路分析直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組?判斷“Δ”與“0”的關(guān)系?直線與雙曲線的位置關(guān)系.方法總結(jié)

直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法(1)方程思想的應(yīng)用把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情況下考查方程的判別式.①當Δ>0時,直線與雙曲線有兩個不同的公共點.②當Δ=0時,直線與雙曲線只有一個公共點.③當Δ<0時,直線與雙曲線沒有公共點.當a=0時,此時直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線有一個公共點.(2)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用①直線過定點時,根據(jù)定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.②直線斜率一定時,通過平行移動直線,比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系.延伸探究

本例條件不變,若直線l與雙曲線C有一個交點,實數(shù)k的取值如何?

當堂檢測1.雙曲線

的左焦點與右頂點之間的距離等于(

)A.6 B.8 C.9 解析

由已知得左焦點(-5,0),右頂點(3,0),所以左焦點與右頂點之間的距離等于8.答案

B答案

D3.若直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點,則實數(shù)k的取值范圍是(

)解析

當直線l:y=k