第1章 數(shù)制與編碼

數(shù)字電路

與系統(tǒng)設(shè)計DigitalCircuit &SystemDesign課程簡介數(shù)字技術(shù)的專業(yè)基礎(chǔ)課數(shù)字技術(shù)是現(xiàn)代“高科技”之一是互聯(lián)網(wǎng)的硬件基礎(chǔ)數(shù)字技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域：數(shù)字通信家用電器娛樂產(chǎn)品測量與控制軍工、航天。。。課程簡介內(nèi)容:數(shù)制與編碼邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯門電路組合電路的分析與設(shè)計觸發(fā)器常用時序電路課程簡介時序電路的分析與設(shè)計脈沖波形的產(chǎn)生與整形數(shù)模、模數(shù)變換器可編程器件概述數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計方法數(shù)制與編碼計算機系統(tǒng)中使用的是二進制數(shù)人類在日常生活中使用的則是十進制數(shù)建立二者之間的聯(lián)系為記憶、閱讀方便，人們還經(jīng)常使用八進制和十六進制，因此我們也要熟悉它們與二進制及十進制之間的關(guān)系字符，如數(shù)字、字母、運算符、各種符號。漢字、音頻、圖像、視頻等也是用二進制碼表示數(shù)制任意一個數(shù)均可寫為多項式形式

(345.67)10

=3×102+4×101+5×100+6×10-1+7×10-2

Digit權(quán)（Weight)十進制數(shù)的基數(shù)為10R進制數(shù)的基數(shù)為Rn位整數(shù)、m位小數(shù)的R進制數(shù)N：(N)R=Kn-1Kn-2···K0.K-1···K-m=Kn-1Rn-1+Kn-2Rn-2+···

+K0R0+K-1R-1+···+K-mR-m=∑KiRi其中R為R進制數(shù)的基數(shù)數(shù)制二、八、十、十六進制數(shù)對于十進制有：(N)10=∑di·10idi的取值范圍：0，1，2…9對于二進制有：(N)2=∑bi·2ibi的取值范圍：0，1對于八進制有：(N)8=∑qi·8iqi的取值范圍：0，1，2…7對于十六進制有：(N)16=∑hi·16ihi的取值范圍：0，1…9，A，B，C，D，E，F(xiàn)二、八、十、十六進制數(shù)二進制：Binary,B八進制：Octal,O(Q)十進制：Decimal,D十六進制：Hexadecimal,H二、八、十六進制到十進制的轉(zhuǎn)換

直接按加權(quán)相加即可。例1

(101.001)2=1·22+0·21+1·20+0·2-1

+0·2-2+1·2-3=(5.125)10例2

(32.56)8=3·81+2·80+5·8-1+6·8-2

=(26.71875)10例３(ED.A)16=14·161+13·160+10·16-1

=(237.625)10十進制 二進制 八進制 十六進制

0

0000

00

0

1

0001

01

1

2

0010

02

2

3

0011

03

3

4

0100

04

4

5

0101

05

5

6

0110

06

6

7

0111

07

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

二

八進制之間的轉(zhuǎn)換

每三位二進制數(shù)對應(yīng)一位八進制數(shù)轉(zhuǎn)換時從小數(shù)點向左、向右每3位為一組，直接寫出對應(yīng)的八進制數(shù)即可。小數(shù)點后最后一組要補足3位。

(10010111.1101)2=(010

010

111.110

100)2=(227.64)8(227.64)Q=(010

010

111.110

100)B

=(10010111.1101)B

二

十六進制之間的轉(zhuǎn)換四位二進制數(shù)對應(yīng)一位十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換時從小數(shù)點向左、向右每4位為一組，直接寫出對應(yīng)的十六進制數(shù)即可。小數(shù)點后最后一組要補足4位。

(110110111.011)2=(0001

1011

0111.0110)2=(1B7.6)16(1C7.6)H=(0001

1100

0111.0110)B=(111000111.011)B八

十六進制之間的轉(zhuǎn)換八進制數(shù)到十六進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換通過轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)作為中間過程

(1C7.6)16=(0001

1100

0111.0110)2=(111

000

111.011)2 =(707.3)8(707.3)8=(111

000

111.011)2 =(0001

1100

0111.0110)2 =(1C7.6)16數(shù)制轉(zhuǎn)換如果要將數(shù)N由R1進制轉(zhuǎn)換到R2進制，而R1=R2k，其中k為正整數(shù)，則轉(zhuǎn)換時只要N的每一位分別寫出它所對應(yīng)的R2進制數(shù)即可。注意：除整數(shù)部分最高位、小數(shù)部分最低位外，其它位的無效0不能省;如果要將數(shù)N由R1進制轉(zhuǎn)換到R2進制，而R1k=R2，其中k為正整數(shù)，則轉(zhuǎn)換時只要將數(shù)N從小數(shù)點分別向左、向右每k位一組分別寫出它所對應(yīng)的R2進制數(shù)即可。注意：小數(shù)部分最低位不足k位時，要補0整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進行轉(zhuǎn)換整數(shù)部分用連除法(59)10=(?)2解： 所以(59)10=(111011)2

十進制到二進制的轉(zhuǎn)換

5929

0

1

3

7

14

1

1

1

0

1

1

b5

b4

b3

b2

b1

b0

/２

/２

/２

/２

/２

/２

十進制到二進制的轉(zhuǎn)換小數(shù)部分用連乘法(0.8125)10=(?)2解： 所以(0.8125)10=(0.1101)2精度問題：轉(zhuǎn)換后小數(shù)位數(shù)的確定0.8125

0.625

0.25

0.5

0

1

1

0

1

b-1

b-2

b-3

b-4X２

X２

X２

X２

十進制到二進制的轉(zhuǎn)換整數(shù)、小數(shù)分別進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換完成后，合到一起即可。(59.8125)10=(111011.1101)2

小數(shù)轉(zhuǎn)換的精度轉(zhuǎn)換后小數(shù)位數(shù)的確定給定位數(shù)根據(jù)精度確定小數(shù)轉(zhuǎn)換的精度(0.2)10=(0.00110011……)2如果取8位小數(shù)，則為0.00110011如果要求精度為1%，則應(yīng)滿足

[(0.2)10-(N)2]/(0.2)10<=0.01或這樣估算位數(shù)：0.2*1%=0.0022-9=0.001953125<0.002，所以需要9位(0.001100110)2=(0.19921875)10十進制到八進制的轉(zhuǎn)換

整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進行轉(zhuǎn)換整數(shù)部分用連除法，連除以8例：(59)10=(?)8解：0

7

59 73 q1q0

所以(59)10=(73)8十進制到八進制的轉(zhuǎn)換小數(shù)部分用連乘法，連乘以8(0.8125)10=(?)8解：0.8125

0.5

0 64 q-1q-2

所以(0.8125)10=(0.64)8十進制到十六進制的轉(zhuǎn)換

整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進行轉(zhuǎn)換整數(shù)部分用連除法，連除以16

例：(59)10=(?)16解：0

3

59 311 3B h1h0

所以(59)10=(3B)16十進制到十六進制的轉(zhuǎn)換小數(shù)部分用連乘法，連乘以16(0.8125)10=(?)16解：0.81250 13 D h-1

所以(0.8125)10=(0.D)16十進制到八、十六進制的轉(zhuǎn)換另一種方式是先將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，再轉(zhuǎn)換為八、十六進制數(shù)兩種方法的比較：轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)算式較長，但運算簡單；反之，算式較短，但運算較繁十進制到二、八、十六進制的轉(zhuǎn)換(59.8125)10=(111011.1101)2

=(73.64)8

=(3B.D)16自己選擇使用哪種方法數(shù)制轉(zhuǎn)換熟悉以后可用快速算法(110111)2=(?)106位全1為6363-8=55所以：(110111)2=(55)10(1001001)2=(?)1064+8+1=73所以：(1001001)2=(73)10數(shù)制轉(zhuǎn)換快速算法(35)10=(?)235=32+3所以：(35)10=(100011)2數(shù)制轉(zhuǎn)換2i,2i-1，i=0,1,…10,應(yīng)該非常熟悉:29=512 29-1=511210=1024 210-1=1023210=1024≈1000210=1K216=26*210=64K220=1M230=1G二進制符號數(shù)的表示方法

所謂符號數(shù)就是帶正、負號的數(shù)在數(shù)字系統(tǒng)中所有信息均由二進制碼表示數(shù)的正、負也由二進制碼表示常用的符號數(shù)表示法有三種：原碼表示法反碼表示法補碼表示法原碼表示法

用1位二進制數(shù)表示符號：0表示正數(shù)，1表示負數(shù)數(shù)的大小以該數(shù)的絕對值表示符號位通常放在最高位如某數(shù)字系統(tǒng)中用8位存儲器存放數(shù)據(jù)，其中最高位為符號位，其余7位為數(shù)的絕對值原碼表示法設(shè)n=8，二進制原碼表示法(+37)10+010010100100101(-37)10-010010110100101(+0)10+000000000000000(-0)10-000000010000000(+127)10+111111101111111(-127)10-111111111111111范圍:-（28-1-1）~+（28-1-1），共255個數(shù)

0有兩種表示方法:+0,-0反碼（1’sComplement）

二進制數(shù)每一位上的數(shù)字不是0就是1定義0的反碼為1，1的反碼為0一個二進制數(shù)的反碼定義為將二進制數(shù)的每一位分別求反而得到的二進制碼例：N=10011011則：(N)反=01100100符號數(shù)的反碼表示法

用1位二進制數(shù)表示符號：0表示正數(shù)，1表示負數(shù)正數(shù)的大小用原碼表示，而負數(shù)的大小則以該數(shù)的反碼表示符號位通常放在最高位如某數(shù)字系統(tǒng)中用八位存儲器存放數(shù)據(jù)，其中最高位為符號位，其余7位存放該數(shù)的反碼符號數(shù)的反碼表示法設(shè)n=8，二進制反碼表示法(+37)10+0100101

00100101(-37)10-0100101

11011010(+0)10+000000000000000(-0)10-0000000

11111111(+127)10+111111101111111(-127)10-1111111

10000000范圍:-(2n-1-1)~+(2n-1-1)+0，-0的表示形式不同補碼（2’sComplement）

設(shè)數(shù)N為有n位整數(shù)、m位小數(shù)的二進制數(shù)，則N的補碼定義為：(N)補.n=2n-N。 由定義可知：N的補碼與N的大小有關(guān)，還與整數(shù)位數(shù)n有關(guān)；與小數(shù)位數(shù)無關(guān)設(shè)n=8,則(11001)補.8=28-11001=11100111(11001.0101)補.8=28-11001.0101 =11100110.1011補碼的求法

方法一：利用補碼的定義可以求一個數(shù)的補碼，但較為繁瑣一般不用

方法二：將原碼補足n位后求反加1即得其補碼求(11001)在n=8時的補碼補齊8位：00011001求反：11100110加1：11100111補碼的求法方法二的證明：N的補碼為

2n-N而2n-1為n位全1100000000-111111111=(2n-1-N)+1補碼的求法2n-1-N就是N的反碼111111110011010011001011再加1得證別名反碼又稱為1的補碼（1’scomplement)2n-1-N而補碼又稱為2的補碼（2’scomplement)2n-NN+(N)補=N+2n-N=2n

((N)補)補=N補碼的求法方法三：將原碼補足n位后，從右往左第一個1及其右邊的0不變，其余各位求反即得N的補碼N=00100100=00100

100 (N)補.8=11011

100依據(jù)：100求反加1仍為100，其它位求反不變補碼的求法小數(shù)的補碼的求法：設(shè)整數(shù)部分位數(shù)n=8，求N=10010.01的補碼整數(shù)部分補齊8位00010010.01求反：11101101.10加1：11101101.11符號數(shù)的補碼表示法

用1位二進制數(shù)表示符號：0表示正數(shù)，1表示負數(shù)正數(shù)的大小用原碼表示，而負數(shù)的大小則以該數(shù)的補碼表示符號位通常放在最高位如某數(shù)字系統(tǒng)中用八位存儲器存放數(shù)據(jù)，其中最高位為符號位，其余7位存放該數(shù)的補碼符號數(shù)的補碼表示法

設(shè)n=8，二進制補碼表示法(+37)10+0100101

00100101(-37)10-0100101

11011011(+0)10+000000000000000(-0)10-0000000

00000000(+127)10+111111101111111(-127)10-1111111

10000001(-128)10-1000000010000000范圍:-2n-1~+(2n-1-1)+0，-0的表示形式相同補碼的求法設(shè)n=8,求下列二進制數(shù)的補碼1101,101,10111

這只是求補練習(xí)設(shè)n=8,求下列二進制數(shù)的補碼-1101,101,-11011

這是考補碼和符號數(shù)兩個概念利用補碼求符號數(shù)的加減運算

如果將加數(shù)和被加數(shù)均以其補碼表示，則只用加法運算器就可完成加減運算顯然這樣做可以節(jié)省硬件，降低生產(chǎn)成本運算時符號位與其它位一樣參與運算若符號位產(chǎn)生進位，則在結(jié)果中忽略該進位，不予考慮利用補碼求符號數(shù)的加減運算

設(shè)n=8，有兩個正數(shù)A=10011，B=1101。試用補碼求A+B，A-B，B-A，-A-B解：(A)補.8=00010011,(B)補.8=00001101 (-A)補.8=11101101,(-B)補.8=11110011A+B=10000000010011+0000110100100000-A+B=1111101011101101+0000110111111010A-B=11000010011+11110011100000110-A-B=1110000011101101+11110011111100000利用補碼求符號數(shù)的加減運算

在運算時符號位如同其它位一樣參與運算運算結(jié)果若符號位有溢出，則溢出位在結(jié)果中不予考慮運算結(jié)果以補碼形式表示同學(xué)們可驗證結(jié)果的正確性利用補碼求符號數(shù)的加減運算

設(shè)有兩個n位正數(shù)N1、N2，則-N1、-N2的補碼分別為2n-N1和2n-N2

N1+N2

就是兩個正數(shù)相加，結(jié)果為正數(shù)利用補碼求符號數(shù)的加減運算

N1-N2=N1+（2n-N2）=2n-（N2-N1）結(jié)果取決于N2-N1的符號：如果N2>N1，則結(jié)果為負數(shù)，2n-（N2-N1）就是（N2-N1）的補碼；如果N2<N1，則結(jié)果為2n+（N1-N2），由于（N1-N2）>0，而2n為第n-1位的進位，位于第n位（n位運算器的最高位為第n-1位）上，在n位運算器之外，所以結(jié)果為N1-N2，是正數(shù)利用補碼求符號數(shù)的加減運算

-N1-N2=（2n-N1）+（2n-N2）=2n+[2n-（N1+N2）]其中第一個2n為第n-1位的進位，位于在第n位上，在n位運算器之外，舍去不管而[2n-(N1+N2)]就是負數(shù)-(N1+N2)的補碼由此可知利用補碼進行加減運算的正確性利用補碼求符號數(shù)的加減運算設(shè)n=8,有兩個正數(shù)A=110011，B=1101101。試用補碼求A+B，A-B，B-A，-A-B。解：(A)補.8=00110011,(B)補.8=01101101(-A)補.8=11001101,(-B)補.8=10010011A+B=1010000000110011+0110110110100000A-B=1100011000110011+10010011

11000110-A-B=0110000011001101+10010011101100000-A+B=0011101011001101+01101101

100111010利用補碼求符號數(shù)的加減運算A+B的結(jié)果為負數(shù)，而-A-B的結(jié)果為正數(shù)，二者顯然錯了；而-A+B和A-B結(jié)果正確兩個符號相異的數(shù)相加，結(jié)果的絕對值小于任一加數(shù)的絕對值所以此時運算結(jié)果不會超出n位符號數(shù)的表示范圍，即不會發(fā)生溢出錯誤利用補碼求符號數(shù)的加減運算兩個正數(shù)相加，由于兩個數(shù)的符號位均為0，所以符號位肯定不會產(chǎn)生進位如果此時兩個數(shù)的絕對值之和不大于（2n-1-1），則第n-2位（即最高數(shù)字位）就不會產(chǎn)生進位，運算結(jié)果就正確如果此時兩個數(shù)的絕對值之和大于（2n-1-1），則第n-2位就會產(chǎn)生進位，這個進位使第n-1位（即符號位）為1，結(jié)果成了負數(shù)，顯然錯了。利用補碼求符號數(shù)的加減運算兩個負數(shù)相加，由于兩個數(shù)的符號位均為1，所以此時符號位（第n-1位）肯定有進位如果此時第n-2位有進位，則運算結(jié)果為負數(shù)，結(jié)果正確如果此時第n-2位無進位，則運算結(jié)果為正數(shù)，結(jié)果顯然錯了利用補碼求符號數(shù)的加減運算利用符號數(shù)的補碼進行加減運算時，如果兩個加數(shù)的絕對值之和大于n位符號數(shù)的表示范圍，則A+B和-A-B的運算結(jié)果就會發(fā)生錯誤這類錯誤稱為溢出Overflow溢出只發(fā)生在兩個加數(shù)的符號位相同時在設(shè)計加法器時必須考慮溢出問題，并在溢出時給出報警信號，以提示運算結(jié)果出錯利用補碼求符號數(shù)的加減運算當(dāng)?shù)趎-1位（符號位）和第n-2位（最高數(shù)字位）不同時有進位（兩個負數(shù)相加時）或不同時無進位（兩個正數(shù)相加時）時有溢出發(fā)生利用這個原則，就可以設(shè)計出邏輯電路，判斷有無溢出發(fā)生二-十進制編碼（BCD碼）

BinaryCodedDecimal數(shù)字系統(tǒng)中使用的是二進制數(shù)，而在許多場合特別是在輸入（如鍵盤等）輸出（如顯示、打印等）時需要處理十進制數(shù)表示0~9十個十進制數(shù)字，需要十種組合三位二進制碼只有8種組合，不夠用四位二進制碼有16種組合，可用位數(shù)大于四的任意多位二進制數(shù)均可用，但那樣會造成資源浪費故一般情況下均用四位二進制數(shù)對一位十進制數(shù)進行編碼二-十進制編碼（BCD碼）用以表示十進制數(shù)字的二進制編碼稱為BCD碼從四位二進制碼的16種組合中取10種去表示10個十進制數(shù)字，共有C1610=16!/(10!·(16-10)!)種取法；而每種取法又有10！種分配方案；故共有16！/6！種可能的BCD編碼方法可供選擇！當(dāng)然我們不可能全用十進制數(shù) 8421 5421 2421 余3碼 余3循環(huán)碼 備注

0 0000 0000 0000 0011 0010 有效編碼

1 0001 0001 0001 0100 0110 2 0010 0010 0