高數(shù)1-7章總復習

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高等數(shù)學期末復習2第一章函數(shù)與極限

⑴理解極限的概念

⑵理解無窮小量，無窮大量的概念，了解無窮小量的運算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；

⑶掌握極限的四則運算法則，掌握兩個重要極限，掌握求極限的常用方法；

⑷理解函數(shù)在某點連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，會判斷函數(shù)在某點的連續(xù)性；

⑸了解函數(shù)間斷點的概念，會求函數(shù)的間斷點，會判別函數(shù)間斷點的類型；

⑹了解“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)”的結(jié)論，知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個性質(zhì)。3第二章導數(shù)與微分

⑴理解導數(shù)與微分概念，了解導數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線和法線方程，知道可導與連續(xù)的關(guān)系；

⑵熟記導數(shù)與微分的基本公式，熟練掌握導數(shù)與微分的四則運算法則；

⑶掌握復合函數(shù)的求導法則；

⑷掌握隱函數(shù)的求導法則、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法則，對數(shù)求導數(shù)的方法；

⑸知道一階微分形式的不變性；

⑹了解高階導數(shù)概念，掌握求函數(shù)的二階導數(shù)的方法,會求高階導數(shù)。4第三章微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用

⑴了解羅爾定理、拉格朗日中值定理何柯西中值的條件和結(jié)論，會用他們證明一些結(jié)論；

⑵掌握洛比塔法則，能用它求未定式的極限；

⑶掌握用一階導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點（包括判別）的方法，了解可導函數(shù)極值存在的必要條件，知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系；

⑷掌握用二階導數(shù)求曲線凹凸（包括判別）的方法，會求曲線的拐點；

⑸會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線和斜漸近線；

⑹掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法。5第四章不定積分

⑴理解原函數(shù)與不定積分概念，了解不定積分的性質(zhì)以及積分與導數(shù)（微分）的關(guān)系；

⑵掌握積分基本公式和直接積分法；

⑶掌握第一換元積分法和分部積分法；

⑷掌握第二換元積分法。6第五章定積分

⑴理解定積分的概念，了解定積分的性質(zhì)；

⑵掌握積分上限函數(shù)，牛頓萊布尼公式；

⑶掌握定積分的換元積分法和分部積分法；7第六章定積分的應(yīng)用

（1）掌握直角坐標系下平面圖形的面積的求法（2）了解極坐標下平面圖形的面積的求法（3）掌握旋轉(zhuǎn)體體積的求法（4）會求平面曲線的弧長8第七章微分方程

（1）掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法

（2）會解齊次方程，和三種可降階的微分方程（3）理解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（4）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法（5）會求自由項形如:

的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解.

9左右極限兩個重要極限求極限的常用方法無窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準則無窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價無窮小及其性質(zhì)無窮小兩者的關(guān)系無窮大10含用極限運算類型1.常規(guī)型:2.特殊型:分段點處極限:A0型:有界變量與無窮小量之積分解因式消零因子用最高次或“最大”項除分子分母等價無窮小洛必達法則洛必達法則洛必達法則)(lim0xfx+?=-?)(lim0xfx11函數(shù)連續(xù)概念點連續(xù)特殊：左連續(xù)右連續(xù)區(qū)間連續(xù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)初等函數(shù)連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)最大值和最小值定理有界性定理零點定理介值定理MBCAmab12導數(shù)的概念導數(shù)的定義幾何意義可導與連續(xù)的關(guān)系函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導.01高階導數(shù)的定義13導數(shù)的運算求導法則和、差、積、商的求導法則反函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的求導法則初等函數(shù)的求導基本初等函數(shù)或常數(shù)的導數(shù)特殊求導方法隱函數(shù)求導直接對方程兩邊求導.對數(shù)求導法方法:先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)方法:14微分可微的條件微分的求法求法:計算函數(shù)的導數(shù),乘以自變量的微分.微分的幾何意義微分形式的不變性15Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理重要理論---中值定理16方法導數(shù)在求極限中的應(yīng)用---洛比達法則17最大值最小值極大值極小值拐點凹的凸的單增單減應(yīng)用導數(shù)研究討論函數(shù)性質(zhì)及作圖形18函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性單調(diào)性的判別法單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)極值函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法函數(shù)最值最值存在判別法函數(shù)最值的求法曲線凹凸性曲線凹凸的定義曲線凹凸的判定曲線的拐點及其求法,()19典型例題重要理論中值定理導數(shù)在求極限中的應(yīng)用--洛比達法則應(yīng)用導數(shù)研究討論函數(shù)性質(zhì)及作圖形等式.不等式的證明方程解的判定或證明求極限討論函數(shù)性質(zhì)及作圖形不等式的證明技巧—造輔助函數(shù)20不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念原函數(shù)或原函數(shù)存在定理連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).不定積分的定義基本積分表不定積分的性質(zhì)（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）21不定積分計算方法及類型直接積分法被積函數(shù)進行恒等變形，使用基本積分表計算不定積分的方法換元積分法第一類換元法第二類換元法分部積分法分部積分公式特殊類型函數(shù)的積分法有理函數(shù)的積分將有理函數(shù)化為部分分式之和的積分.三角函數(shù)有理式的積分簡單無理函數(shù)的積分解決方法作代換去掉根號.萬能置換公式三角代換、倒代換、根式代換（湊微分法）22定積分

一、概念、性質(zhì)、幾何意義

二、計算：

牛頓—萊布尼茲公式：

換元積分公式：

分部積分公式：

23三、利用定積分換元法證明積分等式四、關(guān)于積分上限函數(shù)的問題

設(shè)

，則24特殊形式的定積分計算1.對稱區(qū)間上的積分考察被積函數(shù)是否為奇偶函數(shù),注意用奇偶函數(shù)的“特性”處理.2.分段函數(shù)的積分認清積分限是被積函數(shù)定義域的哪個區(qū)間的端點,然后按段積分求和.253.被積函數(shù)帶有絕對值符號的積分在作積分運算之前設(shè)法去掉絕對值.(注意符號!)4.被積函數(shù)中含有“積分上限的函數(shù)”的積分用分部積分法做,將積分上限的函數(shù)取作u.26定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標情形27極坐標情形28(2)體積xyo29平行截面面積為已知的立體的體積30基本概念一階方程

類型1.可分離變量2.齊次方程3.線性方程4.伯努利方程可降階方程線性方程解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根及其對應(yīng)項f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法微分方程主要內(nèi)容311、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解．32通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解

確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始條件用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題．33(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法2、一階微分方程的解法(2)齊次方程解法作變量代換34(3)一階線性微分方程上方程稱為齊次的．上方程稱為非齊次的.齊次方程的通解為（使用分離變量法）解法35非齊次微分方程的通解為（常數(shù)變易法）(4)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.36解法需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程．373、可降階的高階微分方程的解法解法特點

型接連積分n次，得通解．

型解法代入原方程,得38特點

型解法代入原方程,得４、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):39（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):4041５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.42特征方程為43６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法

待定系數(shù)法.4445典型問題解答1.填空題

(1)設(shè)

則

．解：

設(shè)

則

得

故46(2)函數(shù)

的定義域是

．解：

對函數(shù)的第一項，

要求

且即且

對函數(shù)的第二項，要求

即

取公共部分，得函數(shù)定義域為

47

2.判斷函數(shù)在x=0處是否連續(xù).解在x=0處不連續(xù).

483.若函數(shù)在處連續(xù)，求k的值.解根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)定義，當時，即時，函數(shù)在x=0處連續(xù).494.求解506.求

解518.求

解5211.解用洛必達法則5312.解這是型不定式,分析應(yīng)用洛必達法則5413.解原極限=5515.設(shè)，求.解56解5717.設(shè)，求.解58解兩邊取對數(shù)得：兩邊求導得：5919.設(shè)函數(shù),其中可導，求.解求這種抽象函數(shù)的導數(shù)，只要分清函數(shù)的復合層次即可.6020.設(shè)，求.將x=0代入原方程，得y=e解原方程兩端對x求導，得61解626322.解6423.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解的定義域為當,故函數(shù)單調(diào)減少，在處取得極小值當，故函數(shù)單調(diào)增加.6524.求函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上的最大值和最小值解令y＇=0，得駐點函數(shù)在[-1，2]上的最大值為,最小值為.6625.解定義域單調(diào)區(qū)間為6726.設(shè)有一根長為L的鐵絲，將其分成兩段，分別構(gòu)成圓形和正方形，若設(shè)圓形面積為，正方形面積為，試證明當為最小時，解鐵絲分成x,L-x兩段，不失一般性，令第一段圍成圓形，于是68令，得唯一駐點于是知駐點為極小值點,由于實際問題存在最小值，也為最小值點，故69零點問題證：首先證明至少有三個根計算表明根據(jù)介值定理因此方程至少有三個根70用反證法

然后證明最多三個根根據(jù)洛爾定理矛盾！綜上所述，方程恰好有三個實根7128.證727329.求解7430.求解7531.求解7632.求解7733.設(shè)，求.解于是78解79解出現(xiàn)方程式80奇偶xxxxxxd122222345ò-+---+xxxxd122222