1.4.1-用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系-高二數(shù)學(xué)(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))

人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系我們已經(jīng)把向量從平面推廣到空間，并利用空間向量解決了一些有關(guān)空間位置關(guān)系和度量的問題．我們發(fā)現(xiàn)，建立空間向量與幾何要素的對(duì)應(yīng)關(guān)系是利用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵．本節(jié)我們進(jìn)一步運(yùn)用空間向量研究立體幾何中有關(guān)直線、平面的位置關(guān)系和度量問題．1．空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示我們知道，點(diǎn)、直線和平面是空間的基本圖形，點(diǎn)、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素因此，為了用空間向量解決立體兒何問題，首先要用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面．思考：如何用向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)．OP圖1.4-1ABPl圖1.4-2思考我們知道，空間中給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)方向就能唯一確定一條直線l．如何用向量表示直線l?用向量表示直線l

，就是要利用點(diǎn)A和直線l的方向向量表示直線上的任意一點(diǎn)．OABPl圖1.4-3①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定．你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？OP圖1.4-4思考一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面？進(jìn)一步地，一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面？如果能確定，如何用向量表示這個(gè)平面？OABCP圖1.4-5我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式．由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定．P圖1.4-6Al我們知道，給定空間一點(diǎn)A和一條直線l，則過(guò)點(diǎn)A且垂直于直線l的平面是唯一確定的．由此得到啟發(fā)，我們可以利用點(diǎn)A和直線l的方向向量來(lái)確定平面．ABCDD1A1B1C1Mxyz圖1.4-7ABCDD1A1B1C1Mxyz圖1.4-72．空間中直線、平面的平行我們知道，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵量．那么是否能用這些向量來(lái)刻畫空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系呢？首先來(lái)看平行的問題．思考由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關(guān)系？l1l2圖1.4-8l圖1.4-9圖1.4-10abP例2

證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．a(chǎn)bPABCDD1A1B1C1xyzPABCDD1A1B1C1xyzPABCDD1A1B1C1xyzP3．空間中直線、平面的垂直思考類似空間中直線、平面平行的向量表示在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？一般地，直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量垂直；直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行；平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直．ll1l2(1)(2)(3)BCDD1A1B1C1AB