20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.3推理案例賞析講義含解析蘇教版選修2220190416345

2.1.3推理案例賞析 歸納推理的應(yīng)用[例1]觀察如圖所示的“三角數(shù)陣”：記第n行的第2個(gè)數(shù)為an(n≥2，n∈N*)，請(qǐng)仔細(xì)觀察上述“三角數(shù)陣”的特征，完成下列各題：(1)第6行的6個(gè)數(shù)依次為_(kāi)_________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次寫(xiě)出a2、a3、a4、a5；(3)歸納出an＋1與an的關(guān)系式．[思路點(diǎn)撥](1)觀察數(shù)陣，總結(jié)規(guī)律：除首末兩數(shù)外，每行的數(shù)等于它上一行肩膀上的兩數(shù)之和，得出(1)的結(jié)果．(2)由數(shù)陣可直接寫(xiě)出答案．(3)寫(xiě)出a3－a2，a4－a3，a5－a4，從而歸納出(3)的結(jié)論．[精解詳析](1)由數(shù)陣可看出，除首末兩數(shù)外，每行中的數(shù)都等于它上一行肩膀上的兩數(shù)之和，且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù)．[答案]6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此歸納：an＋1＝an＋n.[一點(diǎn)通]對(duì)于數(shù)陣問(wèn)題的解決方法，既要清楚每行、每列數(shù)的特征，又要對(duì)上、下行，左、右列間的關(guān)系進(jìn)行研究，找到規(guī)律，問(wèn)題即可迎刃而解了．1．設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[]＝2，[π]＝3，[k]＝k(k∈N*)．我的發(fā)現(xiàn)：[]＋[]＋[]＝3；[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；…通過(guò)歸納推理，寫(xiě)出一般性結(jié)論_______________________________________________________________________________________________________(用含n的式子表示)．解析：第n行右邊第一個(gè)數(shù)是[]，往后是[]，[]，…，最后一個(gè)是[]．等號(hào)右邊是n(2n＋1)．答案：[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)2．(1)如圖(a)、(b)、(c)、(d)所示為四個(gè)平面圖形，數(shù)一數(shù)，每個(gè)平面圖形各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？它們將平面圍成了多少個(gè)區(qū)域？ 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù)(a) (b) (c) (d) (2)觀察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系？(3)現(xiàn)已知某個(gè)平面圖形有999個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)平面圖形有多少條邊？解：(1)各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù)(a) 3 3 2(b) 8 12 6(c) 6 9 5(d) 10 15 7(2)觀察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，它們的頂點(diǎn)數(shù)V，邊數(shù)E，區(qū)域數(shù)F之間的關(guān)系為V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F(xiàn)＝999，代入上述關(guān)系式得E＝1996，故這個(gè)平面圖形有1996條邊． 類(lèi)比推理的應(yīng)用[例2]通過(guò)計(jì)算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.將以上各等式兩邊分別相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．類(lèi)比上述求法，請(qǐng)你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．[思路點(diǎn)撥]類(lèi)比上面的求法；可分別求出24－14，34－24,44－34，…(n＋1)4－n4，然后將各式相加求解．[精解詳析]∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.將以上各式兩邊分別相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n∴13＋23＋…＋n3＝·＝n2(n＋1)2.[一點(diǎn)通](1)解題方法的類(lèi)比通過(guò)對(duì)不同題目條件、結(jié)論的類(lèi)比，從而產(chǎn)生解題方法的遷移，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很高的境界，需要學(xué)習(xí)者熟練地掌握各種題型及相應(yīng)的解題方法．(2)類(lèi)比推理的步驟與方法第一步：弄清兩類(lèi)對(duì)象之間的類(lèi)比關(guān)系及類(lèi)比關(guān)系之間的(細(xì)微)差別．第二步：把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某一種一致性(相似性)確切地表述出來(lái)，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚．3．二維空間中圓的一維側(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.則四維空間中“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，猜想其四維測(cè)度W＝________.解析：(2πr4)′＝8πr3.答案：2πr44．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下一個(gè)直角三角形，按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個(gè)側(cè)面的面積，S4表示截面的面積，那么你類(lèi)比得到的結(jié)論是________．解析：由于平面圖形中的邊長(zhǎng)應(yīng)與空間幾何體中的面積類(lèi)比，因此所得到的結(jié)論為：S＝S＋S＋S.答案：S＝S＋S＋S 演繹推理的應(yīng)用[例3]已知{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>1，公差d>0，n>1且n∈N*.求證：lgan＋1lgan－1<(lgan)2.[思路點(diǎn)撥]對(duì)數(shù)之積不能直接運(yùn)算，可由基本不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)之和進(jìn)行運(yùn)算．[精解詳析]∵{an}為等差數(shù)列，∴an＋1＋an－1＝2an.∵d>0，∴an－1an＋1＝(an－d)(an＋d)＝a－d2<a.∵a1>1，d>0，∴an＝a1＋(n－1)d>1.∴l(xiāng)gan>0.∴l(xiāng)gan＋1·lgan－1≤2＝2<2＝(lgan)2，即lgan＋1·lgan－1<(lgan)2.[一點(diǎn)通]三段論推理的根據(jù)，從集合的觀點(diǎn)來(lái)講，就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.5．如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．要求：寫(xiě)出每一個(gè)三段論的大前提、小前提、結(jié)論．解：(1)因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直(大前提)，側(cè)面BCC1B1是菱形(小前提)，所以B1C⊥BC1(結(jié)論)．又線面垂直的判定定理(大前提)，B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B(小前提)，所以B1C⊥平面A1BC1(結(jié)論)．又面面垂直的判定定理(大前提)，B1C?平面AB1C，B1C⊥平面A1BC(小前提)，所以平面AB1C⊥平面A1BC1(結(jié)論)．(2)設(shè)BC1交B1C于點(diǎn)E，連接DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線．根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理(大前提)，因?yàn)锳1B∥平面B1CD(小前提)，所以A1B∥DE(結(jié)論)．又E是BC1的中點(diǎn)，所以D為A1C1的中點(diǎn)，即A1D∶DC1＝1∶1.6．求證：函數(shù)y＝是奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)．證明：y＝f(x)＝＝1－，所以f(x)的定義域?yàn)閤∈R.f(－x)＋f(x)＝＋＝2－＝2－＝2－＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．任取x1，x2∈R，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝2＝2·.因?yàn)閤1<x2，所以2x1<2x2，2x1－2x2<0，所以f(x1)<f(x2)．故f(x)為增函數(shù)．1．通俗地說(shuō)，合情推理是指“合乎情理”的推理，數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常為我們提供證明的思路和方向．2．在數(shù)學(xué)推理活動(dòng)中常常利用歸納和類(lèi)比去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再想辦法去證明或否定發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．一、填空題1．設(shè)k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k＋1棱柱對(duì)角面的個(gè)數(shù)為f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：k棱柱增加一條側(cè)棱時(shí)，則這條側(cè)棱和與之不相鄰的k－2條側(cè)棱可構(gòu)成k－2個(gè)對(duì)角面，而增加一條側(cè)棱時(shí)也使一個(gè)側(cè)面變成了對(duì)角面．所以f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.答案：k－12．如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有____條．這些直線中共有f(n)對(duì)異面直線，則f(4)＝______；f(n)＝______.(答案用數(shù)字或含n的式子表示)解析：所有頂點(diǎn)確定的直線共有：棱數(shù)＋底邊數(shù)＋對(duì)角線數(shù)，即n＋n＋＝.f(4)＝4×2＋×2＝12，f(n)＝n(n－2)＋×(n－2)＝.答案：123．(陜西高考)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*,則f2014(x)的表達(dá)式為_(kāi)_______．解析：由f1(x)＝?f2(x)＝f＝＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝＝，故可猜想f2014(x)＝.答案：4．對(duì)于大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：23＝33＝43＝….仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是2015，則m＝________.解析：根據(jù)分裂特點(diǎn)，設(shè)最小數(shù)為a1，則ma1＋×2＝m3，∴a1＝m2－m＋1.∵a1為奇數(shù)，又452＝2025，∴猜想m＝45.驗(yàn)證453＝91125＝.答案：455．觀察以下等式sin230°＋cos290°＋sin30°·cos90°＝；sin225°＋cos285°＋sin25°·cos85°＝；sin210°＋cos270°＋sin10°·cos70°＝.推測(cè)出反映一般規(guī)律的等式：____________________.解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°，∴其一般規(guī)律為sin2α＋cos2(60°＋α)＋sinαcos(60°＋α)＝.答案：sin2α＋cos2(60°＋α)＋sinαcos(60°＋α)＝二、解答題6．試將下列演繹推理寫(xiě)成三段論的形式：(1)太陽(yáng)系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，海王星是太陽(yáng)系中的大行星，所以海王星以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行；(2)所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱，鐵是導(dǎo)體，所以鐵通電時(shí)發(fā)熱；(3)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，所以y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)；(4)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常數(shù))，數(shù)列1,2,3…，n是等差數(shù)列，所以數(shù)列1,2,3，…，n的通項(xiàng)具有an＝pn＋q的形式．解：(1)太陽(yáng)系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，(大前提)海王星是太陽(yáng)系中的大行星，(小前提)海王星以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行．(結(jié)論)(2)所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱，(大前提)鐵是導(dǎo)體，(小前提)鐵通電時(shí)發(fā)熱．(結(jié)論)(3)一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，(大前提)函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，(小前提)y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)．(結(jié)論)(4)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常數(shù))，(大前提)數(shù)列1,2,3，…，n是等差數(shù)列，(小前提)數(shù)列1,2,3，…，n的通項(xiàng)具有an＝pn＋q的形式．(結(jié)論)7．平面幾何與立體幾何的許多概念、性質(zhì)是相似的，如：“長(zhǎng)方形的每一邊與其對(duì)邊平行，而與其余的邊垂直”；“長(zhǎng)方體的每一面與其相對(duì)面平行，而與其余的面垂直”，請(qǐng)用類(lèi)比法寫(xiě)出更多相似的命題．(寫(xiě)出三種即可)解：(1)(平面)在平行四邊形中，對(duì)角線互相平分；(立體)在平行六面體中，體對(duì)角線相交于同一點(diǎn)，且在這一點(diǎn)互相平分．(2)(平面)在平行四邊形中，各對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于各邊長(zhǎng)的平方和；(立體)在平行六面體中，各體對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于各棱長(zhǎng)的平方和．(3)(平面)圓面積等于圓周長(zhǎng)與半徑之積的1/2；(立體)球體積等于球表面積與半徑之積的1/3.(4)(平面)正三角形外接圓半徑等于內(nèi)切圓半徑的2倍；(立體)正四面體的外接球半徑等于內(nèi)切球半徑的3倍．8．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)(2)(3)(4)為她們刺繡中最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮；現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．(1)寫(xiě)出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；(3)求＋＋＋…＋的值．解：(1)f(5)＝41.(2)因?yàn)閒(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5