高二年級下學期期末考試數(shù)學試題與答案解析(共三套)

高二年級下學期期末考試數(shù)學試題（一）注意事項：1．本試卷共22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2＝3，a5＝9，則S6為（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展開式中的常數(shù)項為（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.設(shè)曲線在處的切線與直線y＝ax+1平行，則實數(shù)a等于（）A．﹣1 B． C．﹣2 D．24.在2022年高中學生信息技術(shù)測試中，經(jīng)統(tǒng)計，某校高二學生的測試成績X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，則從該校高二年級任選一名考生，他的測試成績大于92分的概率為（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.設(shè)函數(shù)，若f（x）在點（3，f（3））的切線與x軸平行，且在區(qū)間[m﹣1，m+1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生的寫作水平與喜好閱讀是否有關(guān)，通過隨機詢問120名高中生是否喜好閱讀，利用2×2列聯(lián)表，由計算可得K2＝4.236．P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828參照附表，可得正確的結(jié)論是（）A．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”B．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”C．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”D．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”7.某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為2個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i（i＝1，2，…，6），則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有（）A．22種 B．24種 C．25種 D．27種8.若兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為An、Bn，且滿足，則的值為（）A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選對得分，錯選或漏選不得分。9.已知函數(shù)f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2） B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C． D．當lnx＞﹣1時，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）10.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a9＜0，a10＞0，則下列結(jié)論正確的是（）A．S10＞S9 B．S17＜0 C．S18＞S19 D．S19＞011.已知的展開式中各項系數(shù)的和為2，則下列結(jié)論正確的有（）A．a(chǎn)＝1B．展開式中常數(shù)項為160C．展開式系數(shù)的絕對值的和1458D．若r為偶數(shù)，則展開式中xr和xr﹣1的系數(shù)相等12.甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n2+3n+3，則數(shù)列{an}的通項公式為．14.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若x＞0時，f（x）＝2lnx+x，則曲線y＝f（x）在點（﹣1，﹣1）處的切線斜率為．15.某地開展名優(yōu)教師支教活動，現(xiàn)有五名名優(yōu)教師被隨機分到A、B、C三個不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學，現(xiàn)要求甲乙兩位名優(yōu)老師同時分到一個中學，可以有鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學不分配到名優(yōu)教師，則不同的分配方案共有種．16.從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：身高x（cm）160165170175180體重y（kg）6366707274根據(jù)上表可得回歸直線方程：＝0.56x+，據(jù)此模型預(yù)報身高為172cm的高三男生的體重為．四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟?？忌鶕?jù)要求作答。17.完成下列各題．（1）求（3+）4的展開式；（2）化簡（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1．18.已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+bx+2，若y＝f（x）在有極值，且f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為﹣5．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．19.在數(shù)列{an}中，已知an＞0，a1＝1，an+12﹣an2﹣an+1﹣an＝0．（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n和為Sn，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n和Tn．20.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標值劃分等級如表：質(zhì)量指標值m25≤m＜3515≤m＜25或35≤m＜450＜m＜15或45≤m＜65等級一等品二等品三等品某企業(yè)從生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測其質(zhì)量指標值，得到右圖的率分布直方圖．（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（1）該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，開展了質(zhì)量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產(chǎn)品三等品數(shù)Y近似滿足Y～H（10，15，100），請測算“質(zhì)量提升月”活動后這種產(chǎn)品的“二等品率“（一、二等品其占全部產(chǎn)品百分比）較活動前提高多少個百分點？（2）若企業(yè)每件一等品售價180元，每件二等品售價150元，每件三等品售價120元，以樣本中的頻率代替相應(yīng)概率，現(xiàn)有一名聯(lián)客隨機購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費用為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望．21.伴隨著科技的發(fā)展，人們的生活節(jié)奏也越來越快．聽書，逐漸成為了愛閱讀的人們的一種喜好，付費閱讀也成為追求更高價值的途徑之一．某網(wǎng)絡(luò)公司組織統(tǒng)計了近五年來該公司參與付費聽書的人數(shù)y；（單位：人）與時間t（單位：年）的數(shù)據(jù)，列表如下：ti12345yi2427416479（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明（計算結(jié)果精確到0.01）．（若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）附：相關(guān)系數(shù)公式參考數(shù)據(jù)≈75.47（2））若節(jié)日期間營銷部擬對平臺商品進行新﹣﹣輪更新調(diào)整．針對某地擬購買該商品的消費群體進行了一個抽樣調(diào)查，獲得一個容量為200的樣本，其中青年人有150人，中老年人有50人．在這些消費群體中，付費閱讀的青年人有100人，中老年人有24人．填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認為，付費閱讀與年齡層次有關(guān)？青年人中老年人合計付費閱讀10024不付費閱讀合計200附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82822.已知fn（x）＝Cxk（n∈N*）．（Ⅰ）計算fk（﹣1）的值；（Ⅱ）若g（x）＝f4（x）+2f5（x）+3f6（x）+4f7（x），求g（x）中含x4項的系數(shù)；（Ⅲ）證明：＝．答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2＝3，a5＝9，則S6為（）A．36 B．32 C．28 D．24【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：S6＝＝3×（3+9）＝36．故選：A．【知識點】等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前n項和2.的展開式中的常數(shù)項為（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．180【答案】D【分析】把按照二項式定理展開，可得的展開式中的常數(shù)項．【解答】解：＝（x3﹣1）（?x3++?4+?8+?16x﹣3+?32+?64x﹣6），故它的展開式中的常數(shù)項為?16﹣?4＝180，故選：D．【知識點】二項式定理3.設(shè)曲線在處的切線與直線y＝ax+1平行，則實數(shù)a等于（）A．﹣1 B． C．﹣2 D．2【答案】C【分析】利用直線平行斜率相等求出切線的斜率，再利用導數(shù)在切點處的值是曲線的切線斜率求出切線斜率，列出方程即得．【解答】解：∵切線與直線y＝ax+1平行，斜率為a，又y'＝＝，所以切線斜率k＝f′（）＝﹣2，所以y＝ax+1的斜率為﹣2，即a＝﹣2．故選：C．【知識點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程4.在2022年高中學生信息技術(shù)測試中，經(jīng)統(tǒng)計，某校高二學生的測試成績X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，則從該校高二年級任選一名考生，他的測試成績大于92分的概率為（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14【答案】D【分析】已知P（80＜X≤86）＝0.36，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，P（X＞92）＝，計算即可．【解答】解：依題意，P（80＜X≤86）＝0.36，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知P（X＞92）＝＝（1﹣2×0.36）＝0.14．故選：D．【知識點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義5.設(shè)函數(shù)，若f（x）在點（3，f（3））的切線與x軸平行，且在區(qū)間[m﹣1，m+1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤3【答案】C【分析】求出導函數(shù)，利用切線的斜率，求出a，判斷函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組求解即可．【解答】解：，∴a＝1，因為x＞0，所以當0＜x＜3時，f′（x）＜0，即f（x）在（0，3]上遞減，所以，∴1＜m≤2．故選：C．【知識點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6.利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生的寫作水平與喜好閱讀是否有關(guān)，通過隨機詢問120名高中生是否喜好閱讀，利用2×2列聯(lián)表，由計算可得K2＝4.236．P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828參照附表，可得正確的結(jié)論是（）A．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”B．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”C．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”D．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”【答案】A【分析】根據(jù)列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，對照臨界值即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意知，觀測值K2＝4.236＞3.841，所以有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”．故選：A．【知識點】獨立性檢驗7.某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為2個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i（i＝1，2，…，6），則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有（）A．22種 B．24種 C．25種 D．27種【答案】D【分析】根據(jù)題意，分析可得若拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處，則三次骰子的點數(shù)之和是8或16，據(jù)此列舉列分析點數(shù)中三個數(shù)字為8或16的組合數(shù)目，結(jié)合排列、組合數(shù)公式分析每種組合的順序數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，正方形ABCD的邊長為2個單位，則其周長是8，若拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處，則三次骰子的點數(shù)之和是8或16，若三次骰子的點數(shù)之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5種組合，若三次骰子的點數(shù)之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2種組合，其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，這5種組合有C31＝3種順序，1、2、5，1、3、4，這2種組合有A33＝6種順序，則拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法3×5+2×6＝27種，故選：D．【知識點】排列、組合及簡單計數(shù)問題8.若兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為An、Bn，且滿足，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：＝＝×＝×＝×＝．故選：C．【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選對得分，錯選或漏選不得分。9.已知函數(shù)f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C．D．當lnx＞﹣1時，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）【答案】AD【分析】根據(jù)條件分別構(gòu)造不同的函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系進行判斷即可．【解答】解：A．正確；因為令g（x）＝＝lnx，在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴當0＜x1＜x2時，g（x1）＜g（x2），∴即x2f（x1）＜x1f（x2）．B．錯誤；因為令g（x）＝f（x）+x＝xlnx+x∴g′（x）＝lnx+2，∴x∈（e﹣2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，x∈（0，e﹣2）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．∴x1+f（x1）與x2+f（x2）無法比較大?。瓹．錯誤；因為令g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，g′（x）＝lnx，∴x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，∴當0＜x1＜x2＜1時，g（x1）＞g（x2），∴f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，∴＜0．當1＜x1＜x2時，g（x1）＜g（x2）∴f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2，∴．D．正確；因為lnx＞﹣1時，f（x）單調(diào)遞增，又∵A正確，∴x1?f（x1）+x2?f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故選：AD．【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性10.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a9＜0，a10＞0，則下列結(jié)論正確的是（）A．S10＞S9 B．S17＜0 C．S18＞S19 D．S19＞0【答案】ABD【分析】先根據(jù)題意可知前9項的和最小，判斷出A正確；根據(jù)題意可知數(shù)列為遞減數(shù)列則a19＞0，又S18＝S19﹣a19，進而可知S15＞S16，判斷出C不正確；利用等差中項的性質(zhì)和求和公式可知S17＝＝＝17a9＜0，S19＝＝＝19a10＞0，故BD正確．【解答】解：根據(jù)題意可知數(shù)列為遞增數(shù)列，a9＜0，a10＞0∴前9項的和最小，故A正確，S17＝＝＝17a9＜0，故B正確，S19＝＝＝19a10＞0，故D正確．∵a19＞0∴S18＝S19﹣a19∴S18＜S19，故C不正確．故選：ABD．【知識點】等差數(shù)列的前n項和11.已知的展開式中各項系數(shù)的和為2，則下列結(jié)論正確的有（）A．a(chǎn)＝1B．展開式中常數(shù)項為160C．展開式系數(shù)的絕對值的和1458D．若r為偶數(shù)，則展開式中xr和xr﹣1的系數(shù)相等【答案】ACD【分析】由題意令x＝1，可得a的值；二項式展開，分析可得結(jié)論．【解答】解：令x＝1，可得的展開式中各項系數(shù)的和為（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正確；∵（1+）＝（1+）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展開式中常數(shù)項為﹣160，故B不正確；的展開式中各項系數(shù)絕對值的和，即項（1+）的各系數(shù)和，為（1+a）?36＝1458，故C正確；根據(jù)（1+）＝（1+）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），可得若r為偶數(shù)，則展開式中xr和xr﹣1的系數(shù)相等，故D正確，故選：ACD．【知識點】二項式定理12.甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近【答案】ABC【分析】根據(jù)甲、乙兩類正態(tài)分布的密度曲線圖象，得出平均數(shù)的大小，再判斷命題是否正確．【解答】解：由正態(tài)分布的密度曲線圖象可知，甲類水果的平均質(zhì)量為μ1＝0.4kg，A正確；乙類水果的平均質(zhì)量為μ2＝0.8kg，所以μ1＜μ2，C正確；由甲類水果的正態(tài)密度曲線比乙類水果的正態(tài)密度曲線更凸起些，所以σ1＜σ2，得出B正確；所以D錯誤．故選：ABC．【知識點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n2+3n+3，則數(shù)列{an}的通項公式為．【分析】由n≥2時，an＝sn﹣sn﹣1，代入關(guān)系式化簡求出an，再把n＝1時a1＝s1代入驗證，再用分段函數(shù)形式表示．【解答】解：當n≥2時，an＝sn﹣sn﹣1＝2n2+3n+3﹣[2（n﹣1）2+3（n﹣1）+3]＝4n+1，當n＝1時，a1＝s1＝8，不符合上式，則an＝，故答案為：．【知識點】數(shù)列的概念及簡單表示法14.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若x＞0時，f（x）＝2lnx+x，則曲線y＝f（x）在點（﹣1，﹣1）處的切線斜率為．【答案】3【分析】由已知求得函數(shù)在x＜0時的函數(shù)解析式，然后求導函數(shù)，進一步求得函數(shù)在x＝﹣1處的函數(shù)值得答案．【解答】解：設(shè)x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）＝2ln（﹣x）﹣x，∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴﹣f（x）＝2ln（﹣x）﹣x，則f（x）＝﹣2ln（﹣x）+x，∴f′（x）＝，則f′（﹣1）＝3．即曲線y＝f（x）在點（﹣1，﹣1）處的切線斜率為3．故答案為：3．【知識點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程15.某地開展名優(yōu)教師支教活動，現(xiàn)有五名名優(yōu)教師被隨機分到A、B、C三個不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學，現(xiàn)要求甲乙兩位名優(yōu)老師同時分到一個中學，可以有鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學不分配到名優(yōu)教師，則不同的分配方案共有種．【答案】81【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①，在三個中學中任選1個，安排甲乙兩人，②，由分步計數(shù)原理分析剩下的3人分配方案數(shù)目，由乘法原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①，在三個中學中任選1個，安排甲乙兩人，有C31＝3種情況，②，對于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三個不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學中任意1個，則剩下三人有3×3×3＝27種不同的選法，則有3×27＝81種不同的分配方法；故答案為：81【知識點】排列、組合及簡單計數(shù)問題16.從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：身高x（cm）160165170175180體重y（kg）6366707274根據(jù)上表可得回歸直線方程：＝0.56x+，據(jù)此模型預(yù)報身高為172cm的高三男生的體重為．【答案】70.12kg【分析】根據(jù)所給的表格做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，利用待定系數(shù)法做出a的值，得到線性回歸方程，根據(jù)所給的x的值，代入線性回歸方程，預(yù)報身高為172cm的高三男生的體重．【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得＝＝170，＝＝69，∵（，）一定在回歸直線方程y＝0.56x+a上，∴69＝0.56×170+a，解得a＝﹣26.2∴y＝0.56x﹣26.2，當x＝172時，y＝0.56×172﹣26.2＝70.12．故答案為：70.12kg．【知識點】線性回歸方程四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。考生根據(jù)要求作答。17.完成下列各題．（1）求（3+）4的展開式；（2）化簡（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1．【分析】（1）解法一：根據(jù)二項式展開式定理計算即可；解法二：通分再利用二項式展開式定理計算；（2）利用二項式展開式定理擬用，計算即可．【解答】（1）解法一：（3+）4＝?+??+??+?（3）?+?＝81x2+108x+54++；解法二：（3+）4＝＝（81x4+108x3+54x2+12x+1）＝81x2+108x+54++；（2）化簡（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1＝?（2x+1）5﹣?（2x+1）4+?（2x+1）3﹣?（2x+1）2+?（2x+1）﹣?（2x+1）0＝[（2x+1）﹣1]5＝32x5．【知識點】二項式定理18.已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+bx+2，若y＝f（x）在有極值，且f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為﹣5．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．【分析】（1）先對函數(shù)求導，然后結(jié)合導數(shù)的幾何意義及已知切線方程可求a，b進而可求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合導數(shù)可求解函數(shù)的單調(diào)性，進而可求最值．【解答】解：（1）f'（x）＝3x2+2ax+b，由題意，得，解得，經(jīng)檢驗，符合題意．所以，f（x）＝x3﹣2x2﹣4x+2；（2）由（1）知f'（x）＝3x2﹣4x﹣4＝（3x+2）（x﹣2），令f'（x）＝0，得，x2＝2，由f'（x）＞0，解得或x＞2，f'（x）＜0，解得，∴f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，3）單調(diào)遞增．又f（0）＝2，f（2）＝﹣6，f（3）＝1，故f（x）在[0，3]上的最大值為2，最小值為﹣6．【知識點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值19.在數(shù)列{an}中，已知an＞0，a1＝1，an+12﹣an2﹣an+1﹣an＝0．（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n和為Sn，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n和Tn．【分析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的為等差數(shù)列．（2）利用（1）的結(jié)論，進一步利用裂項相消法求出數(shù)列的和．【解答】證明：（1）由，得（an+1﹣an﹣1）（an+1+an）＝0，因為an＞0，所以an+1﹣an＝1，又因為a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項為a1＝1，公差為1的等差數(shù)列．解：（2）由（1）可得，．∴．∴Tn＝b1+b2+…+bn＝＝．【知識點】數(shù)列遞推式、數(shù)列的求和、等差數(shù)列的性質(zhì)20.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標值劃分等級如表：質(zhì)量指標值m25≤m＜3515≤m＜25或35≤m＜450＜m＜15或45≤m＜65等級一等品二等品三等品某企業(yè)從生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測其質(zhì)量指標值，得到右圖的率分布直方圖．（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（1）該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，開展了質(zhì)量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產(chǎn)品三等品數(shù)Y近似滿足Y～H（10，15，100），請測算“質(zhì)量提升月”活動后這種產(chǎn)品的“二等品率“（一、二等品其占全部產(chǎn)品百分比）較活動前提高多少個百分點？（2）若企業(yè)每件一等品售價180元，每件二等品售價150元，每件三等品售價120元，以樣本中的頻率代替相應(yīng)概率，現(xiàn)有一名聯(lián)客隨機購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費用為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望．【分析】（1）求出樣本中一等品和二等品在樣本中所占比例為80%，得到100件產(chǎn)品中三等品為15件，推出一、二等品率增加了5個百分點．（2）隨機變量X的所有可能取值為240，270，300，330，360．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)知，樣本中一等品和二等品共有：（0.5+0.18+0.12）×100＝80（件）在樣本中所占比例為80%，活動后產(chǎn)品三等品數(shù)Y近似滿足Y～H（10，15，100），所以100件產(chǎn)品中三等品為15件，一、二等品數(shù)為100﹣15＝85（件）合格率為85%，所以一、二等品率增加了5個百分點．（2）由樣品估計總體知，該企業(yè)隨機抽取一件產(chǎn)品為一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，隨機變量X的所有可能取值為240，270，300，330，360．，，，．，所以X的分布列為：X240270300330360P（X）X的數(shù)學期望．【知識點】離散型隨機變量的期望與方差、離散型隨機變量及其分布列21.伴隨著科技的發(fā)展，人們的生活節(jié)奏也越來越快．聽書，逐漸成為了愛閱讀的人們的一種喜好，付費閱讀也成為追求更高價值的途徑之一．某網(wǎng)絡(luò)公司組織統(tǒng)計了近五年來該公司參與付費聽書的人數(shù)y；（單位：人）與時間t（單位：年）的數(shù)據(jù)，列表如下：ti12345yi2427416479（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明（計算結(jié)果精確到0.01）．（若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）附：相關(guān)系數(shù)公式參考數(shù)據(jù)≈75.47（2））若節(jié)日期間營銷部擬對平臺商品進行新﹣﹣輪更新調(diào)整．針對某地擬購買該商品的消費群體進行了一個抽樣調(diào)查，獲得一個容量為200的樣本，其中青年人有150人，中老年人有50人．在這些消費群體中，付費閱讀的青年人有100人，中老年人有24人．填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認為，付費閱讀與年齡層次有關(guān)？青年人中老年人合計付費閱讀10024不付費閱讀合計200附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）直接利用相關(guān)系數(shù)公式求得r值，與0.75比較大小得結(jié)論；（2）填寫2×2列聯(lián)表，求出K2的觀測值k，結(jié)合臨界值表得結(jié)論．【解答】解：（1），，＝852﹣705＝147，＝10，＝2278，∴r＝＝≈0.97＞0.75，∴可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系；（2）填寫2×2列聯(lián)表如圖：青年人中老年人合計付費閱讀10024124不付費閱讀502676合計15050200K2的觀測值k＝≈5.546＞5.024．∴有97.5%的把握認為，付費閱讀與年齡層次有關(guān)．【知識點】線性回歸方程22.已知fn（x）＝Cxk（n∈N*）．（Ⅰ）計算fk（﹣1）的值；（Ⅱ）若g（x）＝f4（x）+2f5（x）+3f6（x）+4f7（x），求g（x）中含x4項的系數(shù)；（Ⅲ）證明：＝．【分析】（1）利用賦值法，令x＝﹣1即可算出答案．（2）寫出G（x）的展開表達式，即可找出x4系數(shù)的計算式．（3）構(gòu)造出關(guān)于（1+x）的多項式函數(shù)，計算其中的多項式系數(shù)，即可予以證明．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝（1+x）n﹣1，∴fn（﹣1）＝﹣1；∴；（Ⅱ）g（x）＝f4（x）+2f5（x）+3f6（x）+4f7（x）＝（1+x）4+2（1+x）5+3（1+x）6+4（1+x）7﹣10，g（x）中的x4項的系數(shù)為；（Ⅲ）設(shè)h（x）＝（1+x）m+1+2（1+x）m+2+…+n（1+x）m+n（x≠0與﹣1）①則函數(shù)h（x）中含xm+1項的系數(shù)為，另一方面，由①×（1+x）得：（1+x）h（x）＝（1+x）m+2+2（1+x）m+3+…+n（1+x）m+n+1②，①﹣②得：，∴，則h（x）中含xm+1項的系數(shù)為，，∴得證＝．【知識點】二項式定理高二年級下學期期末考試數(shù)學試題（二）一、單選題1．已知等比數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列的前n項和為，=5，則=（）A．5 B．25 C．35 D．503．古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何?”意思是：“女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這名女子每天分別織布多少?”某數(shù)學興趣小組依托某制造廠用織布機完全模擬上述情景，則從第一天開始，要使織布機織布的總尺數(shù)為165尺，則所需的天數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．104．觀察下列式子:，，，…，則可歸納出小于（）A． B． C． D．5．設(shè)曲線在點處的切線方程為，則（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，記，分別為，的前n項和，且，則=（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題9．已知遞減的等差數(shù)列的前項和為，，則（）A． B．最大C． D．10．已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A．B．函數(shù)在上遞增，在上遞減C．函數(shù)的極值點為，D．函數(shù)的極大值為11．在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”．則下列說法正確的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的還多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（）A． B．為的最小值C． D．三、填空題13．已知，則等于__________.（用數(shù)字作答）14．對任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.15．已知，對任意的都有，則的取值范圍為_______.16．古代埃及數(shù)學中有一個獨特現(xiàn)象：除用一個單獨的符號表示以外，其他分數(shù)都可寫成若干個單分數(shù)和的形式．例如，可這樣理解：假定有兩個面包，要平均分給5個人，如果每人，不夠，每人，余，再將這分2成5份，每人得，這樣每人分得．形如的分數(shù)的分解：，，，按此規(guī)律，則________．四、解答題17．已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．在①，②，③這三個條件中任選兩個，補充在下面的問題中.若問題中的存在，求出的值；若不存在，請說明理由.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)前項和為，若，，且.是否存在大于的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）19．已知數(shù)列中，，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.20．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程＝0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.21．設(shè)函數(shù)，.（1）時，求的最小值.（2）若在恒成立，求的取值范圍.22．已知.（1）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若，存在正實數(shù)，使得成立，求的取值范圍.答案解析一、單選題1．已知等比數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，將條件表示為的形式，計算出，再計算即可.【詳解】∵等比數(shù)列中，，，∴，解得，∴．故選：A.2．已知等差數(shù)列的前n項和為，=5，則=（）A．5 B．25 C．35 D．50【答案】B【分析】根據(jù)等差中項及等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】由題意可知，為等差數(shù)列，所以故選：B3．古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何?”意思是：“女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這名女子每天分別織布多少?”某數(shù)學興趣小組依托某制造廠用織布機完全模擬上述情景，則從第一天開始，要使織布機織布的總尺數(shù)為165尺，則所需的天數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】設(shè)該女子第一天織布尺，根據(jù)題意，求得尺，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)該女子第一天織布尺，則5天共織布，解得尺，在情境模擬下，設(shè)需要天織布總尺數(shù)達到165尺，則有整理得，解得.故選：D．4．觀察下列式子:，，，…，則可歸納出小于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知式子分子和分母的規(guī)律歸納出結(jié)論.【詳解】由已知式子可知所猜測分式的分母為，分子第個正奇數(shù)，即，.故選：C.5．設(shè)曲線在點處的切線方程為，則（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用可求得答案.【詳解】，∵，則．故選：D6．已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，記，分別為，的前n項和，且，則=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項和公式即可求解.【詳解】由，.故選：D7．已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求得可得的解析式，求出解析式，可得為偶函數(shù)，即可求出的值，再求，即可求得的值，即可求得答案.【詳解】，，所以為偶函數(shù)，所以，因為，所以，所以．故選：C．8．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分離變量，利用導函數(shù)應(yīng)用得到函數(shù)在無零點，則有兩個零點，利用函數(shù)最值得到參數(shù)范圍【詳解】當時，，∴不是函數(shù)的零點.當時，由，得，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，且.所以時無零點當時，等價于，令，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.因為有2個零點，所以.故選：B.【點睛】分離變量法，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，極值是解題關(guān)鍵.二、多選題9．已知遞減的等差數(shù)列的前項和為，，則（）A． B．最大C． D．【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化條件為，進而可得，，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式逐項判斷即可得解.【詳解】因為，所以，即，因為數(shù)列遞減，所以，則，，故A正確；所以最大，故B正確；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：ABD.10．已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A．B．函數(shù)在上遞增，在上遞減C．函數(shù)的極值點為，D．函數(shù)的極大值為【答案】ABD【分析】對A，B由導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可判斷，，的大小以及的單調(diào)性，對C，D由極值的定義即可判斷.【詳解】解：由題圖知可，當時，，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，對A，，故A錯誤；對B，函數(shù))在上遞增，在上遞增，在上遞減，故B錯誤；對C，函數(shù)的極值點為，，故C正確；對D，函數(shù)的極大值為，故D錯誤.故選：ABD.11．在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”．則下列說法正確的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的還多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】BCD【分析】設(shè)此人第天走里路，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，由求出，然后求出相應(yīng)的項，判斷各選項．【詳解】解：根據(jù)題意此人每天行走的路程成等比數(shù)列，設(shè)此人第天走里路，則是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，解得．選項A：，故A錯誤，選項B：由，則，又，故B正確．選項C：，而，，故C正確．選項D：，則后3天走的路程為，而且，D正確．故選：BCD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是引入等比數(shù)列，表示第天行走的路程，根據(jù)前6項的和求出首項，然后可得通項公式，從而判斷出結(jié)論．12．已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（）A． B．為的最小值C． D．【答案】AC【分析】利用和與項的關(guān)系，分和分別求得數(shù)列的通項公式，檢驗合并即可判定A;根據(jù)數(shù)列的項的正負情況可以否定B;根據(jù)前16項都是正值可計算判定C;注意到可計算后否定D.【詳解】,,對于也成立，所以，故A正確；當時，,當n=17時,當時，,只有最大值，沒有最小值，故B錯誤；因為當時，,∴，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查數(shù)列的和與項的關(guān)系，數(shù)列的和的最值性質(zhì)，絕對值數(shù)列的求和問題，屬小綜合題.和與項的關(guān)系,若數(shù)列的前項為正值，往后都是小于等于零，則當時有，若數(shù)列的前項為負值，往后都是大于或等于零，則當時有.若數(shù)列的前面一些項是非負，后面的項為負值，則前項和只有最大值，沒有最小值，若數(shù)列的前面一些項是非正，后面的項為正值，則前項和只有最小值，沒有最大值.三、填空題13．已知，則等于__________.（用數(shù)字作答）【答案】-2【分析】求出的導函數(shù)，代入即可求解.【詳解】，，，解得.故答案為：.14．對任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.【答案】【分析】采用倒序相加法即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，，……，，，，解得：.故答案為：.【點睛】本題考查利用倒序相加法求和的問題，屬于基礎(chǔ)題.15．已知，對任意的都有，則的取值范圍為_______.【答案】【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而求得在給定區(qū)間上的最大值，根據(jù)不等式恒成立的意義即得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由得或，在區(qū)間[-2,0)上,單調(diào)遞增；在(0,2)內(nèi)時單調(diào)遞減.又，，，∴，又對于任意的x∈[-2,2]恒成立，∴，即a的取值范圍是故答案為：.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的在閉區(qū)間上的最值進而求不等式恒成立中的參數(shù)范圍，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵在于利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得在給定區(qū)間上的最大值.16．古代埃及數(shù)學中有一個獨特現(xiàn)象：除用一個單獨的符號表示以外，其他分數(shù)都可寫成若干個單分數(shù)和的形式．例如，可這樣理解：假定有兩個面包，要平均分給5個人，如果每人，不夠，每人，余，再將這分2成5份，每人得，這樣每人分得．形如的分數(shù)的分解：，，，按此規(guī)律，則________．【答案】【分析】根據(jù),，，…進行歸納推理.【詳解】由題意得，，即，，即，，即，由此歸納出．經(jīng)驗證，結(jié)論成立，∴．故答案為：.【點睛】方法點睛：由數(shù)列的前項歸納通項公式時，首先要分析項的結(jié)構(gòu)，然后再探究結(jié)構(gòu)中的各部分與項的序號間的函數(shù)關(guān)系，進而求得通項公式．四、解答題17．已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可得，再由時，與條件作差可得，從而利用等差數(shù)列求通項公式即可；（2）由利用裂項相消求和即可.【詳解】（1）∵，∴，解得，當時，由①可得，②，①－②：，∵，∴，∴，即∴，∴是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，∴綜上所述，結(jié)論是：.（2）由（1）可得∴，綜上所述，.18．在①，②，③這三個條件中任選兩個，補充在下面的問題中.若問題中的存在，求出的值；若不存在，請說明理由.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)前項和為，若，，且.是否存在大于的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）【答案】答案見解析.【分析】由等比數(shù)列的條件，求得，可得等比數(shù)列的通項公式．然后分別選取條件①②，條件①③，條件②③，列出關(guān)于等差數(shù)列首項與公差的方程組，求得首項與公差，得到等差數(shù)列的通項公式及前項和，再由，，成等比數(shù)列列式求解值即可．【詳解】解：設(shè)的公差為，的公比為，由題意知，所以，整理得，因為，所以，所以.（1）當選取的條件為①②時，有，所以，解得.所以.所以，若成等比數(shù)列，則，所以，解得，因為為正整數(shù)，所以不符合題意，此時不存在.（2）當選取的條件為①③時，有，所以，解得.所以.所以，若成等比數(shù)列，則，所以，解得或（舍去）此時存在正整數(shù)滿足題意.（3）當選取的條件為②③時，有，所以，解得.所以.所以，若成等比數(shù)列，則，即，所以，解得，因為為正整數(shù)，所以不符合題意，此時不存在.【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程．19．已知數(shù)列中，，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由可得，然后可得答案；（2）由（1）可算出，，然后用錯位相減法可算出答案.【詳解】（1）證明：由，知又，∴是以為首項，3為公比的等比數(shù)列（2）解：由（1）知，∴，兩式相減得∴20．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程＝0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）【分析】（1）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，再解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由得，將此方程的根看作函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，結(jié)合（1）中相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：（1）∵所以∴當時，，當時，；即的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由得，將此方程的根看作函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，由（1）知函數(shù)在時有極大值，作出其大致圖象，∴實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點問題，屬于基礎(chǔ)題.21．設(shè)函數(shù)，.（1）時，求的最小值.（2）若在恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）當時，求導可得，令，解得，分別討論和時，的正負，即可得的單調(diào)性，即可求得答案；（2）求導可得，設(shè)，分別討論和時的正負，可得的單調(diào)性，進而可得的單調(diào)性，綜合分析，即可得答案.【詳解】（1）當時，，則，令，解得，當時，，所以在單調(diào)遞減函數(shù)；當時，，所以在單調(diào)遞增函數(shù)；所以.（2），則，設(shè)，則，當時，，所以在上為增函數(shù)，又，所以，即，所以在在上為增函數(shù)，又，所以，滿足題意；當時，令，解得，當時，，所以在為減函數(shù)，所以當時，，即，所以在為減函數(shù)，又所以，不滿足題意，綜上：a的取值范圍是【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，極（最）值的方法，若處理恒成立問題時，需滿足，若處理存在性問題時，需滿足，需仔細審題，進行求解，屬中檔題.22．已知.（1）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若，存在正實數(shù)，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【分析】（1）由題意結(jié)合極值的概念可得，解得后，驗證即可得解；（2）求導得，按照、、、分類討論，求得的解集即可得解；（3）轉(zhuǎn)化條件得，令，，求導確定的單調(diào)性和值域即可得解.【詳解】（1），∵函數(shù)在處取得極值，，解得，當時，.∴當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；∴當時，函數(shù)在處取得極小值；（2），，令，則或，①當時，令可得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；②當時，令可得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；③當時，在上恒成立，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；④當時，令可得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（3），，，，整理可得，令，，，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；∴當時，取得極小值即最小值為，即，解得（舍去）或，的取值范圍為.【點睛】本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運算求解能力、邏輯推理能力、分類討論思想，屬于中檔題.高二年級下學期期末考試數(shù)學試題（三）一、單選題1．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，若，則（）A．3 B． C．-3 D．2．在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．33．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若是“斐波那契數(shù)列”，則的值為（）.A． B．1 C． D．24．已知數(shù)列滿足，設(shè)，為數(shù)列的前n項和.若對任意恒成立，則實數(shù)t的最小值為（）A．1 B．2 C． D．5．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A． B．7 C．6 D．6．定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若函數(shù)滿足，則的值為（）．A．1 B．2 C．0 D．8．已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，（其中為的導函數(shù)），若，則的解集為（）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)是等差數(shù)列，是其前項的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．與均為的最大值10．已知正項數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若該數(shù)列的前三項依次為，，，則D．數(shù)列為遞減的等差數(shù)列11．對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C． D．若在上恒成立，則12．已知等比數(shù)列首項，公比為，前項和為，前項積為，函數(shù)，若，則（）A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列 D．使得成立的的最大值為6三、填空題13．求和：___________．14．朱載堉（1536-1611）是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作《律學新說》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍．設(shè)第三個音的頻率為，第七個音的頻率為，則______．15．已知是，的等差中項，是，的等比中項，則______.16．為了評估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度與時間的關(guān)系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個結(jié)論：①在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；②在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同；③在這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；④在,兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率不相同.其中所有正確結(jié)論的序號是_____．四、解答題17．設(shè)數(shù)列的前n項和為，從條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前n項和為，，____.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n和.18．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．已知函數(shù)()．（1）若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；（2）證明：當時，．20．已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：.21．設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實數(shù)的值.（2））討論在上的單調(diào)性；（3）若方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍，并證明.22．已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性.（2）是否存在，對任意，總存在，使得成立？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.答案解析一、單選題1．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，若，則（）A．3 B． C．-3 D．【答案】D【分析】設(shè)數(shù)列是公差為，，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式計算可得；【詳解】解：設(shè)數(shù)列是公差為，，首項為，因為所以，所以，所以所以故選：D2．在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)已知分析數(shù)列的周期性，可得答案．【詳解】解：∵，，∴，，，.∴該數(shù)列是周期數(shù)列，周期.又，∴，故選：A.3．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若是“斐波那契數(shù)列”，則的值為（）.A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由已知數(shù)列的特點依次求出，，，的值，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)依次為，進而可求出答案【詳解】由題設(shè)可知，斐波那契數(shù)列為：其特點為：前兩個數(shù)為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，由此可知：，，，，，則.故選：B.4．已知數(shù)列滿足，設(shè)，為數(shù)列的前n項和.若對任意恒成立，則實數(shù)t的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】先求出的通項，再利用裂項相消法可求，結(jié)合不等式的性質(zhì)可求實數(shù)t的最小值.【詳解】時，，因為，所以時，，兩式相減得到，故時不適合此式，所以，當時，，當時，，所以；所以t的最小值；故選：C.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.5．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A． B．7 C．6 D．【答案】A【解析】試題分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點：等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想．6．定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，∴區(qū)間上存在，滿足∴方程在區(qū)間有兩個不相等的解，令，則，解得∴實數(shù)的取值范圍是.故選:A．7．若函數(shù)滿足，則的值為（）．A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【分析】求導得到，取帶入計算得到答案.【詳解】，則，則，故.故選：C.【點睛】本題考查了求導數(shù)值，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.8．已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，（其中為的導函數(shù)），若，則的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，結(jié)合已知條件有偶函數(shù)在上單調(diào)減，上單調(diào)增，再由即可求解集.【詳解】由，而知：在上單調(diào)減，而，即，又知：，∴在上有，又是定義在上的偶函數(shù)，則在上為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)增，即，可得，綜上，有，故選：A【點睛】思路點睛：由與組成的復合型函數(shù)式，一般可以將其作為某函數(shù)導函數(shù)的一部分，構(gòu)造出原函數(shù)，再利用奇偶性、單調(diào)性求函數(shù)不等式的解集.二、多選題9．設(shè)是等差數(shù)列，是其前項的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．與均為的最大值【答案】BD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A錯誤；而C選項，，即，可得，又由且，則，必有，顯然C選項是錯誤的.∵，，∴與均為的最大值，故D正確；故選：BD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列以及前項和的性質(zhì)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.10．已知正項數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若該數(shù)列的前三項依次為，，，則D．數(shù)列為遞減的等差數(shù)列【答案】AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯誤.【詳解】令，則，因為，所以為等差數(shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，，故，故C正確；由，因為，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯誤.故選：AC.【點睛】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的三種方法；1、作差比較法：根據(jù)的符號，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關(guān)系，進行判定；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.11．對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C． D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，可判定A正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和，且時，，可判定B不正確；由函數(shù)的單調(diào)性，得到，再結(jié)合作差比較，得到，可判定C正確；分離參數(shù)得到在上恒成立，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；由當時，，因為在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個零點，當時，可得，所以函數(shù)在上沒有零點，綜上可得函數(shù)在只有一個零點，所以B不正確；由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，由于，則，因為，所以，即，所以，所以C正確；由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，即，解得，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，所以D正確.故選：ACD.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．12．已知等比數(shù)列首項，公比為，前項和為，前項積為，函數(shù)，若，則（）A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列 D．使得成立的的最大值為6【答案】BCD【分析】令，利用可得，，B正確；由可得A錯誤；由可得C正確；由，，可推出，可得D正確.【詳解】令，則，，，因為是等比數(shù)列，所以，即，，，B正確；，是公差為的遞減等差數(shù)列，A錯誤；，是首項為，公比為的遞增等比數(shù)列，C正確；，，，時，，時，，時，，，時，，又，，所以使得成立的的最大值為6，D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、求和公式、數(shù)列的單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.三、填空題13．求和：___________．【答案】【解析】易知該數(shù)列的通項，故該數(shù)列的前n項和為14．朱載堉（1536-1611）是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作《律學新說》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍．設(shè)第三個音的頻率為，第七個音的頻率為，則______．【答案】【分析】將每個音的頻率看作等比數(shù)列，利用等比數(shù)列知識可求得結(jié)果.【詳解】由題知：一個八度13個音，且相鄰兩個音之間的頻率之比相等，可以將每個音的頻率看作等比數(shù)列，一共13項，且，最后一個音是最初那個音的頻率的2倍，，，，．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造等比數(shù)列求解是解題關(guān)鍵.15．已知是，的等差中項，是，的等比中項，則______.【答案】【分析】由題意得，，消去，可得，化簡得，得，則有【詳解】由題設(shè)可知：由是，的等差中項，則①，是，的等比中項，則②，則有①②可知：③，，，則將③式變形得：，即，則.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查等差中項、等比中項的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由已知條件得，，消去，可得，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡可得結(jié)果，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題16．為了評估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度與時間的關(guān)系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個結(jié)論：①在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；②在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同；③在這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；④在,兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率不相同.其中所有正確結(jié)論的序號是_____．【答案】①③④【分析】理解平均變化率和瞬時變換率的意義，結(jié)合圖象，判斷選項.【詳解】①在時刻，為兩圖象的交點，即此時甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，故①正確；②甲、乙兩人在時刻的切線的斜率不相等，即兩人的不相同，所以甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，故②不正確；③根據(jù)平均變換率公式可知，甲、乙兩人的平均變化率都是，故③正確；④在時間段，甲的平均變化率是，在時間段，甲的平均變化率是，顯然不相等，故④正確.故答案為：①③④【點睛】思路點睛：本題是一道識圖的實際應(yīng)用問題，判斷的關(guān)鍵是理解兩個概念，瞬時變化率和平均變化率，結(jié)合導數(shù)的幾何意義可知瞬時變化率就是在此點處切線的斜率，平均變化率是.四、解答題17．設(shè)數(shù)列的前n項和為，從條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前n項和為，，____.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n和.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【分析】（1）若選①可得為常數(shù)數(shù)列，即可求出；若選②利用可得，即可得為常數(shù)數(shù)列，即可求出；若選③利用可得，即可得到數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而得解；（2）利用錯位相減法求和；【詳解】選條件①時，（1）時，整理得，所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件②時，（1）