初中數(shù)學(xué)九大幾何模型

初中數(shù)學(xué)九大幾何模型初中數(shù)學(xué)九大幾何模型初中數(shù)學(xué)九大幾何模型初中數(shù)學(xué)九大幾何模型一、手拉手模型----旋轉(zhuǎn)型全等D（1）等邊三角形OOCECA圖1BA圖2【條件】：△OAB和△OCD均為等邊三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE均分∠AEDD（2）等腰直角三角形OCEABA圖1

DEBDOECB圖2【條件】：△OAB和△OCD均為等腰直角三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE均分∠AED（3）頂角相等的兩任意等腰三角形DOOC【條件】：△OAB和△OCD均為等腰三角形；DE且∠COD=∠AOBE【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；C②∠AEB=∠AOB；③OE均分∠AEDA圖1BA圖2BOO二、模型二：手拉手模型----旋轉(zhuǎn)型相似（1）一般狀況D【條件】：CD∥AB，CD將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的地點(diǎn)AB【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長AC交BD于點(diǎn)E，必有∠BEC=∠BOAO（2）特別狀況CD【條件】：CD∥AB，∠AOB=90°將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的地點(diǎn)AB【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長AC交BD于點(diǎn)E，必有∠BEC=∠BOA；③BDODOBtan∠OCD；④BD⊥AC；ACOCOA⑤連接AD、BC，必有AD2BC222；⑥S△BCDABCD三、模型三、對角互補(bǔ)模型（1）全等型-90°【條件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC均分∠AOB

ECABDOCEABACBD2ACDOEB圖1【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③S△DCES△OCDS△OCE1OC2A2證明提示：CM①作垂直，如圖2，證明△CDM≌△CEND②過點(diǎn)C作CF⊥OC，如圖3，證明△ODC≌△FEC※當(dāng)∠DCE的一邊交AO的延長線于D時(shí)（如圖4）：ONEB圖2以上三個結(jié)論：①CD=CE；②OE-OD=2OC；A1OC2AMC③S△OCES△OCD2CDONBEO圖3EFBD圖42）全等型-120°【條件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC均分∠AOB【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③S△DCES△OCDS△OCE3OC24證明提示：①可參照“全等型-90°”證法一；②如右以下圖：在OB上取一點(diǎn)F，使OF=OC，證明△OCF為等邊三角形。ACACFFOEBOEFB（3）全等型-任意角ɑ【條件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【結(jié)論】：①OC均分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③S△DCES△OCDS△OCEOC2sinαcosα※當(dāng)∠DCE的一邊交AO的延長線于D時(shí)（如右以下圖）：原結(jié)論變?yōu)椋孩?；②；③。可參照上述第②種方法進(jìn)行證明。請思慮初始條件的變化對模型的影響。ACDAOEBCOEBD對角互補(bǔ)模型總結(jié)：①常有初始條件：四邊形對角互補(bǔ)，注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓有直角三角形斜邊中線；②初始條件“角均分線”與“兩邊相等”的差別；A③注意OC均分∠AOB時(shí)，C∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何指引？DO四、模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°---1【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：①EF=DF+BE；②△CEF的周長為正方形ABCD周長的一半；也可以這樣：【條件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【結(jié)論】：①∠EAF=45°；ADAFBECGBE（2）角含半角模型90°---2【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：①EF=DF-BE；ADADACCEBEBEB

EBDFCDCFFF（3）角含半角模型90°---3【條件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【結(jié)論】：BD2CE2DE2（如圖1）若∠DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外面時(shí)，結(jié)論BD2CE2DE2依舊建立（如圖AAFBDECBDFECAADBECDBE（4）角含半角模型90°變形ADA【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；HF【結(jié)論】：△AHE為等腰直角三角形；證明：連接AC（方法不獨(dú)一）G∵∠DAC=∠EAF=45°，BCBE∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴DAACAHAE∴△AHE∽△ADC，∴△AHE為等腰直角三角形

2）CDHFGEC模型五：倍長中線類模型（1）倍長中線類模型---1【條件】：①矩形ABCD；②BD=BE；DF=EF；

ADADFFBCEHBEH【結(jié)論】：AF⊥CF模型提取：①有平行線AD∥BE；②平行線間線段有中點(diǎn)DF=EF；可以構(gòu)造“8”字全等△ADF≌△HEF。（2）倍長中線類模型---2【條件】：①平行四邊形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【結(jié)論】：∠EMD=3∠MEA輔助線：有平行AB∥CD，有中點(diǎn)AM=DM，延長EM，構(gòu)造△AME≌△DMF，連接CM構(gòu)造等腰△EMC，等腰△MCF。（經(jīng)過構(gòu)造8字全等線段數(shù)目及地點(diǎn)關(guān)系，角的大小轉(zhuǎn)變）FAMAMDDEEBCBC模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型---倍長中線法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF輔助線：延長DF到點(diǎn)G，使FG=DF，連接CG、BG、BD，證明△BDG為等腰直角三角形；打破點(diǎn)：△ABD≌△CBG；CC難點(diǎn)：證明∠BAO=∠BCGFGFDDABABE（2）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型---補(bǔ)全法C【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；CG【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF輔助線：構(gòu)造等腰直角△AEG、△AHC；F輔助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)變到CG與EF。FDDABABEEH3）任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型---補(bǔ)全法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO輔助線：延長BA到G，使AG=AB，延長CD到點(diǎn)H使DH=CD，補(bǔ)全△OGB、△OCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模H型。轉(zhuǎn)變AE與DE到CG與BH，難點(diǎn)在轉(zhuǎn)變∠AED。OGOADDABBECEC4）任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型---倍長法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO輔助線：延長DE至M，使ME=DE，將結(jié)論的兩個條件轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明△AMD∽△ABO，此犯難點(diǎn)，將△AMD∽△ABC連續(xù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明△ABM∽△AOD，使用兩邊成比率且夾角相等，此處難點(diǎn)在O證明∠ABM=∠AODODADABEBCEC模型七：最短行程模型M（1）最短行程模型一（將軍飲馬類）A總結(jié)：右四圖為常有的軸對稱類最短行程問題，最后都轉(zhuǎn)變到：“兩點(diǎn)之間，線段最短：解決；

B特色：①動點(diǎn)在直線上；②起點(diǎn)，終點(diǎn)固定PA+PBlPB'A'l1APAA'AA'BPl1BQl2lQl2PA+PQ+BQPQPA+PQ+BQB'PA+PQ+BQB'B（2）最短行程模型二（點(diǎn)到直線類1）【條件】：①OC均分∠AOB；②M為OB上必定點(diǎn)；③P為OC上一動點(diǎn)；④Q為OB上一動點(diǎn)；【問題】：求MP+PQ最小時(shí)，P、Q的地點(diǎn)？輔助線：將作Q關(guān)于OC對稱點(diǎn)Q’，轉(zhuǎn)變PQ’=PQ，過點(diǎn)M作MH⊥OA，A則MP+PQ=MP+PQ’MH(垂線段最短）AHQ'PPOQMB（3）最短行程模型二（點(diǎn)到直線類2）【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【問題】：n為什么值時(shí)，PB5PA最小？5求解方法：①x軸上取C(2,0),使sin∠OAC=5；②過B作BD⊥AC，交y軸于點(diǎn)E，即為5所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=1，即E（0，1）2yA

yAPPDEBOxBOCx（4）最短行程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）【條件】：①線段OA=4，OB=2；②OB繞點(diǎn)O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn)；【問題】：AB的最大值，最小值分別為多少？【結(jié)論】：以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作圓，以以下圖，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤叭切蝺蛇呏痛笥诘谌?，兩邊之差小于第三邊”。B最大值：OA+OB；最小值：OA-OBA最小值地點(diǎn)O最大值地點(diǎn)【條件】：①線段OA=4，OB=2；②以點(diǎn)O為圓心，OB，OC為半徑作圓；③點(diǎn)P是兩圓所構(gòu)成圓環(huán)內(nèi)部（含界限）一點(diǎn)；【結(jié)論】：若PA的最大值為10，則OC=6；若PA的最小值為1，則OC=3；若PA的最小值為2，則PC的取值范圍是0<PC<2CBAOP【條件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；OC=2；③OA=1；④點(diǎn)P為BC上動點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合）；⑤△OBC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：PA最大值為123；PA的最小值為OBOA31OA+OB=12以以下圖，圓的最小半徑為O到BC垂線段長。CCPPAOBAOB模型八：二倍角模型【條件】：在△ABC中，∠B=2∠C；輔助線：以BC的垂直均分線為對稱軸，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A’，連接AA’、BA’、CA’、則BA=AA’=CA’(注意這個結(jié)論）此種輔助線作法是二倍角三角形常有的輔助線作法之一，不是獨(dú)一作法。AAA'BCBCA模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型--基本型D平行類：DE∥BC；BA字型結(jié)論：ADAEDE(注意對應(yīng)邊要對應(yīng)）ABACBC（2）相似三角形模型---斜交型【條件】：如右圖，∠AED=∠ACB=90°；E【結(jié)論】：AE×AB=AC×ADB【條件】：如右圖，∠ACE=∠ABC；2【結(jié)論】：AC=AE×ABB2

EDAAEDECBCBC8字型A字型AAEDCCB斜交型斜交型DAEE斜交型CB雙垂型2

AC第四個圖還存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC=BE×BA；CE=AE×BE；（3）相似三角形模型---一線三等角型E【條件】：（1）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；（2）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；A（3）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；【結(jié)論】：①△ABC∽△CD