第09講拓展三二面角的傳統(tǒng)法與向量法含探索性問(wèn)題（7類(lèi)熱點(diǎn)題型講練）（原卷版）

第09講拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問(wèn)題）一、知識(shí)點(diǎn)歸納1、定義法在二面角的棱上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)），過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作二面角棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.2、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.具體操作步驟（如圖在三棱錐中）求二面角：①第一垂：過(guò)點(diǎn)向平面引垂線（一般是找+證，證明）②第二垂：在平面中，過(guò)點(diǎn)作,垂足為③第三垂：連接（解答題需證明）3、射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（）求出二面角的大小.4、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若于，于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為鈍二面角（取負(fù)），則；題型01利用定義法求二面角（定值）【典例1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）假設(shè)是所在平面外一點(diǎn)，而和都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，那么二面角的大小為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方體．(1)求二面角的正切值的大小；(2)求二面角的正切值的大?。咀兪?】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在正方體中，二面角的大小是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·高一單元測(cè)試）如圖，在正方體中，(1)求異面直線與所成的角的大??；(2)求二面角的大小.題型02利用三垂線法求二面角（定值）【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三棱錐中，已知平面.則二面角的正弦值為_(kāi)____.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1．(1)求異面直線與AC所成角的大小；(2)求二面角的余弦值．【變式1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知如圖邊長(zhǎng)為的正方形外有一點(diǎn)且平面，，二面角的大小的正切值______．【變式2】（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）直四棱柱，，，，，(1)求證：；(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小的正切值題型03利用面積投影法求二面角（定值）【典例1】（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_(kāi)______.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱，過(guò)作平面分別交棱，于，，則四邊形面積的最小值為_(kāi)_______.【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）的邊在平面內(nèi)，在內(nèi)的射影是，設(shè)的面積為，它和平面所成的一個(gè)二面角的大小為（為銳角），則的面積是__________．【變式2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）直角三角形的斜邊在平面內(nèi)，兩條直角邊分別與平面成和角，則這個(gè)直角三角形所在的平面與平面所成的銳二面角的余弦值為_(kāi)_______．題型04利用向量法求二面角（定值）【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，二面角的大小為，是中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為45°，底面為直角梯形，，，．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【典例3】（2023春·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正四棱錐中，，過(guò)點(diǎn)向平面作垂線，垂足為.(1)求證：；(2)若，求二面角的余弦值.【變式1】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別為線段，的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)并與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，.(1)求證：平面(2)求平面與平面所成角的正弦值.【變式2】（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點(diǎn).(1)求三棱錐的體積；(2)求平面與平面夾角的余弦值.題型05利用向量法求二面角（最值或范圍）【典例1】（江蘇省徐州市20222023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別在棱，上．(1)當(dāng)為棱中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)當(dāng)為棱中點(diǎn)時(shí)，求平面與平面所成的二面角余弦值的最大值．【典例2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為.(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【變式1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎比庵?，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的動(dòng)點(diǎn)..(1)證明：；(2)求平面與平面所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn)的位置.【變式2】（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且滿足，面(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成的二面角的正弦值最?。款}型06已知二面角求參數(shù)【典例1】（2022秋·山西運(yùn)城·高二山西省運(yùn)城中學(xué)校校聯(lián)考期中）在直角坐標(biāo)系中，，沿直線把直角坐標(biāo)系折成的二面角，則的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.【典例2】（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面.(2)若，且二面角的大小為，求四棱錐的體積.【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在棱上．若二面角的大小為，則的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)到平面的距離___【變式2】（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面⊥平面；(2)若二面角為，求點(diǎn)到平面的距離.題型07二面角中的探索性問(wèn)題【典例1】（2023秋·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）如圖2，在中，，，．將沿翻折，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置（如圖3），且平面平面．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)Q是線段上一點(diǎn)，滿足，試問(wèn)：是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例2】（2023春·云南昆明·高二昆明一中?？计谥校┤鐖D1，在平面四邊形中，∥，，將沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如圖2所示.(1)設(shè)平面與平面的交線為，求證：；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合），使得二面角的余弦值為，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，平面平面.(1)求證：；(2)若，探索