卡爾曼濾波完整PPT

卡爾曼濾波2023/9/2916.1信號模型……RudolfEmilKalman匈牙利數(shù)學(xué)家BS&MSatMITPhDatColumbia1960年發(fā)表的論文《ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblems》（線性濾波與預(yù)測問題的新方法）被引用次數(shù)：194062023/9/2926.1信號模型……維納濾波的模型：信號可以認(rèn)為是由白噪聲激勵一個線性系統(tǒng)的響應(yīng)，假設(shè)響應(yīng)和激勵的時域關(guān)系可以用下式表示：

上式也就是一階AR模型。6.1.1狀態(tài)方程和量測方程2023/9/2936.1信號模型……在卡爾曼濾波中信號被稱為是狀態(tài)變量，用矢量的形式表示為，激勵信號也用矢量表示為，激勵和響應(yīng)之間的關(guān)系用傳遞矩陣來表示，得出狀態(tài)方程：

上式表示的含義就是在k時刻的狀態(tài)可以由它的前一個時刻的狀態(tài)來求得，即認(rèn)為k-1時刻以前的各狀態(tài)都已記憶在狀態(tài)中了。2023/9/294在卡爾曼濾波中，用表示量測到的信號矢量序列，表示量測時引入的誤差矢量，則量測矢量與狀態(tài)矢量之間的關(guān)系可以寫成6.1信號模型……卡爾曼濾波是根據(jù)系統(tǒng)的量測數(shù)據(jù)（即觀測數(shù)據(jù)）對系統(tǒng)的運動進(jìn)行估計的，所以除了狀態(tài)方程之外，還需要量測方程。

2023/9/2956.1信號模型……上式和維納濾波的概念上是一致的，也就是說卡爾曼濾波的一維信號模型和維納濾波的信號模型是一致的。把上式推廣就得到更普遍的多維量測方程

上式中稱為量測矩陣，它的引入原因是,量測矢量維數(shù)不一定與狀態(tài)矢量的維數(shù)相同，因為我們不一定能觀測到所有需要的狀態(tài)參數(shù)。2023/9/2966.1信號模型……6.1.2信號模型狀態(tài)方程量測方程2023/9/2976.1信號模型……【例6-1】設(shè)卡爾曼濾波中量測方程為，已知信號的自相關(guān)函數(shù)的z變換為：

噪聲的自相關(guān)函數(shù)為，信號和噪聲統(tǒng)計獨立。求卡爾曼濾波信號模型中的和。2023/9/2986.1信號模型解：根據(jù)等式可以求得變換到時域得：因此又因為，所以＝1。2023/9/2996.2卡爾曼濾波方法……6.2.1卡爾曼濾波的一步遞推法模型把狀態(tài)方程和量測方程重新給出：

假設(shè)信號的上一個估計值已知，現(xiàn)在的問題就是如何來求當(dāng)前時刻的估計值。2023/9/29106.2卡爾曼濾波方法……如果不考慮噪聲和狀態(tài)方程和量測方程變換如下：

必然，觀測值和估計值之間有誤差，它們之間的差稱為新息（innovation）：

顯然，新息的產(chǎn)生是由于我們前面忽略了與所引起的。2023/9/29116.2卡爾曼濾波方法……用新息乘以一個修正矩陣，用它來代替式中來對進(jìn)行估計：

通過上式可以畫出卡爾曼濾波對進(jìn)行估計的遞推模型。2023/9/29126.2卡爾曼濾波方法……輸入為觀測值，輸出為信號估計值?？柭鼮V波的一步遞推法模型2023/9/29136.2卡爾曼濾波方法……6.2.2卡爾曼濾波的遞推公式（感興趣自學(xué)）卡爾曼濾波的一步遞推公式：2023/9/29146.2卡爾曼濾波方法pp.91,【例6-2】2023/9/29156.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……【例6-3】已知條件和例6-2一樣，狀態(tài)方程和測量方程為：，其中，，信號和噪聲統(tǒng)計獨立。求卡爾曼濾波器的穩(wěn)態(tài)和。2023/9/29166.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……解：根據(jù)函數(shù)調(diào)用sys＝ss(A,B,C,D,1)，得到離散卡爾曼狀態(tài)模型，采樣周期這里設(shè)為1。A,C已知，由于函數(shù)調(diào)用中是設(shè)計了兩個觀測信號的，我們這里只有一個觀測信號，所以B取[01]，后一個1表示噪聲的系數(shù)。D取0。實際的語句如下：sys=ss(A,B,C,D,1)然后調(diào)用函數(shù)[S,L,,H,]＝kalman(sys,Q,R)，設(shè)計離散卡爾曼濾波器。實際語句和計算結(jié)果如下：[S,L,,H,]=kalman(sys,0.36,1)L=0.3000=0.6000H=0.3750=0.3750這里省略了輸出的S，它表示的信息是達(dá)到穩(wěn)態(tài)后系統(tǒng)狀態(tài)模型，H和表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的最終值。2023/9/2917[SLs1Hs]=kalman(sys,0.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……%s=eegdata(1:M)';*sin(pi*n/50);%仿真信號卡爾曼濾波的一步遞推公式：[S,L,,H,]=kalman(sys,0.dx/dt=Ax(t)+Bu(t)4、1和2白噪聲，M=10243卡爾曼濾波器的應(yīng)用……求卡爾曼濾波信號模型中的和。，其中，，信號和噪聲統(tǒng)計獨立。A,C已知，由于函數(shù)調(diào)用中是設(shè)計了兩個觀測信號的，我們這里只有一個觀測信號，所以B取[01]，后一個1表示噪聲的系數(shù)。e1=Rss(M)-h'*Rxs';2卡爾曼濾波方法……y(t)=Cx(t)+Du(t)卡爾曼濾波在誘發(fā)腦電位提取中的應(yīng)用6.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……有了修正矩陣和均方誤差，代入下式就可以根據(jù)觀測信號得到卡爾曼濾波的估計值了。從上面例題知道，只要確定了狀態(tài)模型，就可以調(diào)用函數(shù)很快設(shè)計出卡爾曼濾波器。2023/9/29186.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……實現(xiàn)代碼clearA=0.8;B=[01];C=1;D=0;sys=ss(A,B,C,D,1);[SLs1Hs]=kalman(sys,0.36,1)N=1000;%階數(shù)n=1:N;s=exp(-0.002*n).*sin(pi*n/50);%仿真信號w=0.36*randn(1,N);%白噪聲，系數(shù)代表噪聲相對強(qiáng)度x=s+w;%仿真信號fori=1:Nh(i)=0.5.^i;endss=filter(h,1,x);figure;subplot(2,2,1);plot(n,s);title('信號');subplot(2,2,2);plot(n,w);title('噪聲');subplot(2,2,3);plot(n,x);title('觀測值');subplot(2,2,4);plot(n,ss);title('信號估計');figure;plot(n,ss-s);title('估計誤差');error=mean((ss-s).^2)SYS=SS(A,B,C,D)createsaSSobjectSYSrepresentingthecontinuous-timestate-spacemodeldx/dt=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)YoucansetD=0tomeanthezeromatrixofappropriatedimensions.IfoneormoreofthematricesA,B,C,Dhaveuncertainty,SSreturnsanuncertainstate-space(USS)model(RobustControlToolboxonly).SYS=SS(A,B,C,D,Ts)createsadiscrete-timestate-spacemodelwithsampletimeTs(setTs=-1ifthesampletimeisundetermined).2023/9/29196.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……結(jié)果圖指數(shù)正弦衰減信號，N=1000，最小均方誤差error=0.2731。指數(shù)正弦衰減信號，N=2000，最小均方誤差error=0.2350。2023/9/29206.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……結(jié)果圖指數(shù)正弦衰減信號，N=3000，最小均方誤差error=0.1997。指數(shù)正弦衰減信號，N=4000，最小均方誤差error=0.2021。2023/9/29216.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……結(jié)果圖實際心電信號，N=1000，最小均方誤差error=0.2808。實際心電信號，N=2000，最小均方誤差error=0.2913。2023/9/2922M=input('信號的長度M=');卡爾曼濾波在誘發(fā)腦電位提取中的應(yīng)用h=inv(R_xx)*Rxs';解：根據(jù)函數(shù)調(diào)用sys＝ss(A,B,C,D,1)，得到離散卡爾曼狀態(tài)模型，采樣周期這里設(shè)為1。假設(shè)信號的上一個估計值已知，現(xiàn)在的問題就是如何來求當(dāng)前時刻的估計值?！纠?-3】已知條件和例6-2一樣，狀態(tài)方程和測量方程為：e0=e1;把狀態(tài)方程和量測方程重新給出：N%顯示N的最終值解：根據(jù)函數(shù)調(diào)用sys＝ss(A,B,C,D,1)，得到離散卡爾曼狀態(tài)模型，采樣周期這里設(shè)為1。subplot(2,2,2);plot(n,w);title('噪聲');6.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……結(jié)果圖實際心電信號，N=3000，最小均方誤差error=0.2946。實際心電信號，N=4000，最小均方誤差error=0.3054。2023/9/29236.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用卡爾曼濾波在誘發(fā)腦電位提取中的應(yīng)用（1）自發(fā)電位模型(EEG)和誘發(fā)電位(EP)模型的建立（2）卡爾曼狀態(tài)方程和量測方程的建立（3）卡爾曼濾波器的數(shù)據(jù)處理結(jié)果2023/9/2924本章小結(jié)1、掌握：信號模型；2、熟悉：卡爾曼濾波原理和方法；3、了解：卡爾曼濾波的應(yīng)用。2023/9/2925本章習(xí)題pp.95,習(xí)題6-12023/9/2926下集預(yù)告第七章隨機(jī)信號的參數(shù)建模法2023/9/2927實驗4詳解……function[h,e]=WH(Rss,Rww,M)%求解維納-霍夫方程的函數(shù)，其中M為信號的長度e1=10;e0=0;N=0;%給e1,e0,N賦初值whileabs(e0-e1)>1e-6%e1和e0不夠接近則循環(huán)

N=N+1;e0=e1;Rxs=Rss(M:(M+N-1));Rxx=Rww(M:(M+N-1))+Rss(M:(M+N-1));R_xx=zeros(N);forj=1:Nforn=1:NR_xx(j,n)=Rxx(abs(j-n)+1);endendh=inv(R_xx)*Rxs';e1=Rss(M)-h'*Rxs';endN%顯示N的最終值e=e1;程序如下：%主程序clear;clc;M=input('信號的長度M=');n=1:M;s=exp(-0.002*n).*sin(pi*n/50);%仿真信號，可以自己生成，任意形式%loadecgdata;%實際心電信號%s=ecgdata(1:M)';%loadeegdata;%實際腦電信號%s=eegdata(1:M)';w=0.4*randn(1,M);%白噪聲，系數(shù)代表噪聲相對強(qiáng)度x=s+w;%仿真信號Rss=xcorr(s,s);%估計信號自相關(guān)函數(shù)Rww=xcorr(w,w);%估計噪聲自相關(guān)函數(shù)[h,e]=WH(Rss,Rww,M);ss=filter(h,1,x);%用維納濾波器濾波figure;subplot(2,2,1);plot(n,s);title('信號');subplot(2,2,2);plot(n,w);title('噪聲');subplot(2,2,3);plot(n,x);title('觀測值');subplot(2,2,4);plot(n,ss);title('信號估計');figure;plot(n,ss-s);title('估計誤差');error=mean((ss-s).^2)2023/9/2928實驗4詳解……1、s為指數(shù)正弦衰減信號，w為強(qiáng)度為0.4白噪聲，M=1024N=264，最小均方誤差error=0.0068。2023/9/2929實驗4詳解……2、s為實際心電信號，w為強(qiáng)度為0.4白噪聲，M=1024N=99，最小均方誤差error=0.0236。2023/9/2930實驗4詳解……3、s為實際腦電信號，w為強(qiáng)度為0.4白噪聲，M=1024N=59，最小均方誤差error=0.1414。2023/9/2931實驗4詳解……4、s為指數(shù)正弦衰減信號，w為強(qiáng)度為0.4、1和2白噪聲，M=1024N=264，最小均方誤