高中數(shù)學新教材蘇教版高一數(shù)學平面與平面位置關系

錫慧在線20201.2.4平面與平面的位置關系（2）蘇教版必修二數(shù)學江蘇省名師課堂溫故知新2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理1.平面與平面的位置關系平行相交

∥

∩

=l

a

b

a∩b=Aa∥

b∥

∥

∥

α∩γ=a

∩γ=b

a∥b

為了保護人造衛(wèi)星，或者觀測需要，科學家會把衛(wèi)星的軌道平面與赤道平面設置成一定的角度。情境引入αβι情境引入使用筆記本電腦時，為便于操作，需將顯示屏打開一定的角度．二面角二面角的定義

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。數(shù)學建構(gòu)二面角的棱二面角的面l

角BAO邊邊頂點從一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。定義構(gòu)成射線—點—射線

（頂點）表示法∠AOB二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。半平面—直線—半平面

（棱）二面角

—l—

或二面角

—AB—

圖形初中所學的角、二面角的對比l

面面棱畫二面角⑴平臥式：

l⑵直立式：ABCDl

l記作：-l-

記作：C-AB-D記作：面ABC-AB-面ABD你會表示這些二面角嗎?思考：如何刻畫兩個平面所成角的大?。喀力娄葾OB聯(lián)想：異面直線所成角、線面所成角降“維”思想：把空間角轉(zhuǎn)化為平面角二面角的平面角的定義3）還有其他條件嗎？1）平面角的頂點在哪里？2）平面角的兩邊分別在哪里？l

ABO當

OA⊥l

，

OB⊥l則∠AOB就是二面角α-l-β的平面角兩邊都垂直于棱二面角的范圍：[0o,180o]．發(fā)現(xiàn)：①二面角的兩個面重合：0o；②二面角的兩個面合成一個平面：180o；二面角的范圍αβι例1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

（1）求二面角D1-AB-D大小；BACDA1B1C1D1解：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，

∵AB⊥平面B1BCC1

C1B

?平面B1BCC1

∴AB⊥C1B，又AB⊥BC，所以，∠C1BC為二面角D1－AB－D的平面角.在Rt△C1BC中，

∠

C1BC=45°∴二面角D1-AB-D為45°知識應用面D1AB與面ABD分別在哪里？定義：BACDA1B1C1D1例1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

（2）求二面角A1-AB-D大小；解：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥B1B且AB⊥BC，所以，∠B1BC為二面角A1－AB－D的平面角.∠B1BC=90°所以二面角A1-AB-D為90°二面角A1-AB-D為直二面角BACDA1B1C1D1O解：連AC交BD于點O，連OC1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD對角線垂直且平分，所以CO⊥BD.又C1D＝C1B，所以C1O⊥BD.因此，∠C1OC即為二面角C1－BD－C的平面角.例1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，（3）求二面角C1-BD-C的正切值.BACDA1B1C1D1O解：連AC交BD于點O，連OC1，

CO⊥BD、C1O⊥BD.∠C1OC即為二面角C1－BD－C的平面角.設正方體的棱長為a，在Rt△

CC1O中，

∴C1C=a，OC=，∴tan∠C1OC=

，

即二面角C1-BD-C的正切值為.例1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，（3）求二面角C1-BD-C的正切值.作圖證明計算反思感悟(1)求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三計算”.作作出二面角的平面角證證明所作的角滿足定義，即為所求二面角的平面角算將作出的角放在三角形中，計算出平面角的大小反思感悟(2)作二面角平面角的方法①定義法本質(zhì)：與棱垂直的平面分別和兩個半平面相交，得到兩條交線，這兩條交線所成的角。②垂線法AO

lD┐┐一般地，如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直。反思感悟(3)二面角的平面角是90°的二面角叫直二面角．面面垂直定義：思考：為什么教室的門轉(zhuǎn)到任何位置時，門所在平面都與地面垂直？面面垂直面面垂直定義之后繼續(xù)研究什么呢？如果一個平面經(jīng)過了另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。猜想

ABCD如果一個平面經(jīng)過了另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。猜想

ABCD已知：AB⊥β，

AB?α求證：α⊥β.[證明]：設α∩β=CD，∵AB⊥β，CD?β，∴AB⊥CD．在平面β內(nèi)過點B作直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．∴α⊥β。面面垂直線面垂直E

兩個平面垂直的判定定理：線線垂直線面垂直面面垂直如果一個平面經(jīng)過了另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.證明面面垂直的本質(zhì)和關鍵是什么？本質(zhì)：線面垂直面面垂直關鍵：找垂直于平面的直線用符號表示為:αβlABCDA1B1C1D1例2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：平面A1C1CA⊥平面A1BD

.面面垂直線面垂直線線垂直分析：平面A1C1CA⊥平面A1BD

BD⊥平面A1C1CABD⊥ACBD⊥A1AA1A⊥平面ABCD

ABCDA1B1C1D1例2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：平面A1C1CA⊥平面A1BD

.平面A1C1CA⊥平面A1BD

BD⊥平面A1C1CABD⊥ACBD⊥A1AA1A⊥平面ABCD

[證明]：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，

∵A1A⊥面ABCD,BD?面ABCD∴A1A⊥BD．在正方形ABCD中，∴AC⊥BD且A1A∩AC=A，

A1A?面A1C1CA，AC?面A1C1CA

∴BD⊥面A1C1CA，BD?面A1BD

∴平面A1C1CA⊥平面A1BD

(1)面面垂直的判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只需轉(zhuǎn)證線面垂直，關鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直.(2)面面垂直的定義也是證明面面垂直的基本方法，只需要證明兩個平面構(gòu)成的二面角為直二面角.反思感悟例3、已知PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，PA=AD，M、N分別是AB、PC的中點，求證：（1）MN//平面PAD；（2）平面PMC

⊥平面PDCPABCDMNQMN//平面PAD；可證：MN//AQ平面PMC

⊥平面PDCMN

⊥平面PDCAQ

⊥平面PDC(MN//AQ)分析：中點例3、已知PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，PA=AD，M、N分別是AB、PC的中點，求證：（1）MN//平面PAD；（2）平面PMC

⊥平面PDC[證明]：∵PA⊥平面ABCD，CD?面ABCD∴PA⊥CD．在矩形ABCD中，AD⊥CDPA∩AD=A,PA?面PAD,AD?面PAD,∴

CD⊥面PAD,AQ?面PAD∴CD⊥AQ在△PAD中，PA=AD，點Q為PD中點∴AQ⊥PD，CD∩PD=P，PD?面PCD,CD?