《電工與電子技術(shù)》電路的暫態(tài)過程

第一節(jié)電感元件與電容元件第二節(jié)暫態(tài)過程和換路定律第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程第四節(jié)RL串聯(lián)電路的暫態(tài)過程第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式

第六節(jié)微分電路與積分電路電路的暫態(tài)過程電路的暫態(tài)過程

1．理解動態(tài)元件的物理性質(zhì)及其在電路中的作用。

2．掌握換路定律及初始值的求法。3．理解電路的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)的概念，以及時間常數(shù)的物理意義。4．掌握一階線性電路分析的三要素法。第一節(jié)電感元件與電容元件一、電感元件

電感元件是一種能夠儲存磁場能量的元件，是實際電感器的理想化模型。電感器是用絕緣導(dǎo)線在絕緣骨架上繞制而成的線圈，所以也稱電感線圈。圖

2-1

電感元件第一節(jié)電感元件與電容元件線圈通以電流就會產(chǎn)生磁場，磁場的強弱可用磁通量來表示，方向可用右手螺旋定則判別。如圖2-1（a）所示。磁通量與線圈匝數(shù)N的乘積稱為磁鏈（）。當(dāng)磁通量和磁鏈的參考方向與電流的參考方向之間滿足右手螺旋定則時，有（2-1）式（2-1）中，L稱為自感系數(shù)，又稱電感量，簡稱電感。它反映了一個線圈在通以一定的電流i后所能產(chǎn)生磁鏈的能力，電感是表明線圈電工特性的一個物理量。

（2-2）在國際單位制中，磁通量和磁鏈的單位是韋伯，簡稱韋（Wb）。電感L的單位是亨利，簡稱亨（H）。當(dāng)電感是常數(shù)時，稱為線性電感，電感的圖形符號如圖2-1（b）所示。第一節(jié)電感元件與電容元件當(dāng)電感元件兩端電壓與通過電感元件的電流在關(guān)聯(lián)參考方向下，根據(jù)楞次定律有（2-3）把式（2-1）代入式（2-3），有

（2-4）從式（2-4）可以看出，在任何時刻，線性電感元件的電壓與該時刻電流的變化率成正比。當(dāng)電流不隨時間變化時（直流電流），即電感電壓為零，這時電感元件相當(dāng)于短接。當(dāng)電感元件兩端電壓與通過電感元件的電流在關(guān)聯(lián)參考方向下，從0到的時間內(nèi)電感元件所吸收的電能為第一節(jié)電感元件與電容元件假定，則

（2-5）

式（2-5）表明，電感元件是儲能元件，儲能的多少與其電流的二次方成正比。當(dāng)電流增大時，儲能增加，電感元件吸收能量；當(dāng)電流減小時，儲能減少，電感元件釋放能量。常用電感器的外形及符號如圖2-2所示。圖2-2

常用電感器的外形及符號第一節(jié)電感元件與電容元件二、電容元件電容元件是一種能夠儲存電場能量的元件，是實際電容器的理想化模型。1.電容兩塊金屬導(dǎo)體中間以絕緣材料相隔，并引出兩個極，就形成了平行板電容器，如圖2-3a所示。圖中的金屬板稱為極板，兩極板之間的絕緣材料稱為介質(zhì)。圖2-3b為電容器的一般表示符號。圖2-3平行板電容器及符號第一節(jié)電感元件與電容元件如果將電容器的兩個極板分別接到直流電源的正、負(fù)極上，則兩極板上分別聚集起等量異種電荷，與電源正極相連的極板帶正電荷，與電源負(fù)極相連的極板帶負(fù)電荷，這樣極板之間便產(chǎn)生了電場。實踐證明，對于同一個電容器，加在兩極板上的電壓越高，極板上儲存的電荷就越多，且電容器任一極板上的帶電荷量與兩極板之間的電壓的比值是一個常數(shù)，這一比值就稱為電容量，簡稱電容，用C表示。其表達式為（2-6）在國際單位制中，電容的單位是法拉，簡稱法（F）。在實際使用中，一般電容器的電容量都較小，故常用較小的單位，微法（uF）和皮法（pF）。如圖2-4所示，當(dāng)電容兩端的電壓與流入正極板的電流在關(guān)聯(lián)參考方向下，有（2-7）第一節(jié)電感元件與電容元件圖2-4電容元件把式（2-6）代入式（2-7），得（2-8）從式（2-8）可以看出，電流與電容兩端電壓的變化率成正比。當(dāng)電壓為直流時，電流為零，電容相當(dāng)于開路。電容元件兩端電壓與通過的電流在關(guān)聯(lián)參考方向下，從0到的時間內(nèi)，電容元件所吸收的電能為第一節(jié)電感元件與電容元件假定u（0）=0，則（2-9）式（2-9）表明，電容元件是儲能元件，儲能的多少與電壓的二次方成正比。電壓增高時，儲能增加，電容元件吸收能量；當(dāng)電壓降低時，儲能減少，電容元件釋放能量。2.電容的串聯(lián)與并聯(lián)電容器的串聯(lián)是指將幾只電容器的極板首尾依次相接，連成一個無分支電路的連接方式，如圖2-5（a）所示。電容器的并聯(lián)是指將幾只電容器的正極連在一起，負(fù)極也連在一起的連接方式，如圖2-5（b）所示。在電路分析時，電容器的串、并聯(lián)也可等效成類似于電阻器串、并聯(lián)一樣的電路，如圖2-5（c）所示。第一節(jié)電感元件與電容元件（a）串聯(lián)（b）并聯(lián)（c）等效電容圖2-5電容的串聯(lián)與并聯(lián)（1）電容的串聯(lián)在電容串聯(lián)時，由于靜電感應(yīng)，每個電容器帶的電荷量都相等?？傠妷旱扔诟鱾€電容器上的電壓之和，即（2-10）等效電容C的倒數(shù)之和等于各個電容器的倒數(shù)之和，即第一節(jié)電感元件與電容元件（2-11）（2）電容的并聯(lián)電容器并聯(lián)時，每個電容器兩端的電壓相等。各電容器儲存的總電荷量q等于各個電容器所帶電荷量之和，即（2-12）等效電容C等于各個電容器的電容之和，即（2-13）第一節(jié)電感元件與電容元件【例2-1】如圖2-6所示，已知，，三個電容器的耐壓值是。試求：（1）等效電容；（2）混聯(lián)電容器組合端電壓不能超過多少伏?圖2-6例2-1圖解：（1）先求、的等效電容再將與串聯(lián)，如圖2-6（b）所示第一節(jié)電感元件與電容元件（2）因為和串聯(lián)，而且，所以和承受的電壓相同，而和的耐壓值都是50V，因此，該混聯(lián)組合的電壓不能超過3.常用電容器及其選用電容器的種類很多，按電容量的固定與否，分為固定式電容器、可變式電容器和半可變式電容器三類；按介質(zhì)的不同，分為空氣電容器、紙質(zhì)電容器、云母電容器、陶瓷電容器、電解電容器等。圖2-.7是各種固定式電容器的外形圖，圖2-8是電解電容器和可變式電容器的外形圖。第一節(jié)電感元件與電容元件圖2-7各種固定式電容器的外形第一節(jié)電感元件與電容元件圖2-8電解電容器和可變式電容器外形及符號電容器的主要性能指標(biāo)有電容值、允許誤差和額定工作電壓，這些數(shù)值一般都直接標(biāo)在電容器的外殼上，它們統(tǒng)稱為電容器的標(biāo)稱值。選擇電容器應(yīng)遵循以下幾點原則。（1）應(yīng)滿足電性能要求，即電容量、允許誤差及額定工作電壓符合電路要求。（2）應(yīng)考慮電路的特殊要求及使用環(huán)境。如用于改善功率因數(shù)時，則就選用高電壓、大容量的電容器；用于電源濾波時則選用大容量的電解電容器。（3）應(yīng)考慮電容器的裝配形式和成本等。第二節(jié)暫態(tài)過程和換路定律一、暫態(tài)過程先來觀察一個實驗，電路如圖2-9所示。圖2-9暫態(tài)過程實驗電路開關(guān)S未合上時，三只燈泡全不亮，即，為穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)開關(guān)S合上的瞬間，電阻R支路和電容C支路上的燈亮，電感L支路上的燈不亮，即。當(dāng)開關(guān)S合上很久以后，電阻R支路上燈的亮度不變，電感L支路上的燈最亮，電容C支路上的燈不亮，即，這是另一種穩(wěn)態(tài)。第二節(jié)暫態(tài)過程和換路定律實驗表明，開關(guān)S合上后，未變，由小變大，由大變小，最后達到穩(wěn)定。這種電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的中間過程叫做電路的暫態(tài)過程或過渡過程。由實驗可知，只含有電阻的支路從一種穩(wěn)定狀態(tài)到新的穩(wěn)定狀態(tài)可以突變并不需要暫態(tài)過程。而含有電容、電感的支路在從一種穩(wěn)定狀態(tài)到新的穩(wěn)定狀態(tài)需要一個暫態(tài)過程。在暫態(tài)過程中，電路的電壓、電流是處在變化之中的，但變化的時間短暫。因此，通常把處于暫態(tài)過程中的電路工作狀態(tài)稱為瞬態(tài)或動態(tài)，把電感和電容稱為動態(tài)元件，而把含有動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路。二、換路定律電路的暫態(tài)過程是在電路發(fā)生變化時才出現(xiàn)的，我們把電路的改變（如接通、斷開、短路等），電信號的突然變動，電路參數(shù)突然變化等統(tǒng)稱為電路的換接，簡稱為換路。第二節(jié)暫態(tài)過程和換路定律

電容兩端的電壓不能發(fā)生突變。這一點可以通過電容上的電壓、電流關(guān)系來理解，如果電壓突變，則趨于無窮大，這對于實際電路是不可能的。電感的電流也不可能發(fā)生突變。因為對于電感元件，根據(jù)，如果電感的電流發(fā)生突變，則將趨近于無窮大，這在實際電路中也是不可能的。通過上述分析可知，電容兩端的電壓和電感的電流都不可能發(fā)生突變，即和在換路后的一瞬間仍然維持前一瞬間的值，不僅大小不變，而且方向也不變，然后才開始逐漸變化，這就是換路定律。第二節(jié)暫態(tài)過程和換路定律一般把換路發(fā)生的時間作為計算時間的起點，記為，則換路前一瞬間記為，換路后一瞬間記為。換路是在瞬間完成的，于是可寫出換路定律的數(shù)學(xué)表達式（2-14）（2-15）式中，和是換路前的穩(wěn)態(tài)值；而和則是換路后瞬態(tài)過程開始的初始值，兩者相等，它是換路后進行計算的初始條件。應(yīng)當(dāng)注意，換路定律說明了和不可能發(fā)生突變是因為它們與儲能元件的儲能直接有關(guān)；而與儲能無關(guān)的量，如和則可以突變，即換路前后，和都有可能發(fā)生突變。第二節(jié)暫態(tài)過程和換路定律【例2-2】如圖2-10所示電路，已知，。求當(dāng)開關(guān)S閉合后時，各支路電流及電容電壓的初始值。圖2-10例2-2圖解：已知在開關(guān)S閉合前，（換路前電容上無電壓）。根據(jù)換路定律第二節(jié)暫態(tài)過程和換路定律由于與C并聯(lián)，故有為求，可根據(jù)KVL列出回路電壓方程，即利用KCL有第二節(jié)暫態(tài)過程和換路定律【例2-3】如圖2-11（a）所示，。t=0時，開關(guān)由1扳向2，在t<0時，電路處于穩(wěn)定，求初始值、和。圖2-11例2-3圖解：在換路前，即時，電感相當(dāng)于短路，如圖2-11（b）所示，即第二節(jié)暫態(tài)過程和換路定律換路之后的電路圖如圖2-11（c）所示，根據(jù)換路定律有第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程一、RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)如圖2-12所示電路，開關(guān)S原合于位置1，RC電路與直流電源連接，電源通過電阻器R對電容器充電到，此時電路已處在穩(wěn)態(tài)。在t=0時，開關(guān)S由位置1扳向位置2，這時RC電路脫離電源，電容器便通過電阻器R放電，電容器上電壓逐漸減小，放電電流隨之逐漸下降，我們把這種外施電源為零時，僅由電容元件初始儲存的能量在電路中產(chǎn)生的電壓和電流i稱為電路的零輸入響應(yīng)。圖2-12RC電路的零輸入響應(yīng)第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程按圖2-12所示的電壓電流參考方向，根據(jù)KVL有式中，以（與i的參考方向）代入上式得這是一階常系數(shù)齊次微分方程，此方程的通解為，代入上式得

于是有則（2-16）第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程式中，常數(shù)A由初始條件確定，在t=0時，開關(guān)S合于位置2，代入式（2-16）有所以得（2-17）而電流的變化規(guī)律為（2-18）電阻上的電壓變化規(guī)律為（2-19）第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程式中，RC稱為時間常數(shù)，用來表示，即。是反應(yīng)一階電路暫態(tài)過程特性的一個量，由電路參數(shù)R、C的大小確定，單位為秒（s）。表2-1列出了電容放電時，電容電壓隨時間的變化情況。表2-1隨時間變化情況表可以看出經(jīng)過（3～5）時間后，指數(shù)項衰減到5%以下，可以認(rèn)為暫態(tài)過程已經(jīng)基本結(jié)束。第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程引用時間常數(shù)的概念，主要是為了反映電路中暫態(tài)過程進程的快慢，時間常數(shù)越大，衰減越慢，暫態(tài)過程的時間也就越長。因此，是表示暫態(tài)過程中電壓電流變化快慢的一個物理量，它與換路情況及外加電源無關(guān)，而僅與電路元件參數(shù)R、C有關(guān)。電容C越大，電容儲能就越多；電阻R越大，放電電流就越小，這都促使放電過程變慢。所以，改變電路中R和C的數(shù)值，就可以改變電路的時間常數(shù)，以控制電路暫態(tài)過程的快慢。

和i隨時間的變化曲線如圖2-13所示。圖2--13和i

隨時間的變化曲線第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程【例2-4】圖2-14中，開關(guān)S打開前電路已達到穩(wěn)定，已知求打開后的和。圖2-14例2-4圖解：開關(guān)S打開前電路已達穩(wěn)定，電容器可視為開路，故可求得第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程由換路定律得在換路后，RC電路脫離電源，電容器的初始儲能將通過電阻放電，電容電壓逐漸下降。求電路的時間常數(shù)由式（2-17）可得由式（2-18）可得第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程二、串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)如圖2-15（a）所示，開關(guān)S閉合前，電容器沒有充電，稱電路處于零狀態(tài)，。在零狀態(tài)下，開關(guān)S閉合后直流電源經(jīng)電阻器對電容器充電，電路中產(chǎn)生的、及稱為零狀態(tài)響應(yīng)。圖2-15

RC電路零狀態(tài)響應(yīng)第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程在t=0時開關(guān)閉合，根據(jù)KVL有或者因為，代入上式得這是一階常系數(shù)線性非齊次微分方程，該微分方程的解為，其中是特解，為通解。因為暫態(tài)過程結(jié)束，達到穩(wěn)態(tài)，，故有特解第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程而其通解取決于齊次方程可得通解因此（2-20）式中的常數(shù)由初始條件確定，因為代入式（2-20）有得第三節(jié)RC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程所以（2-21）

（2-22）

、隨時間的變化曲線如圖2-15（b）所示。第四節(jié)RL串聯(lián)電路的暫態(tài)過程一、RL串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)RL電路的零輸入響應(yīng)的分析與RC電路的相同。在圖2-16（a）中，開關(guān)由1合向2之前，，在t=0時，開關(guān)由1合向2。圖2-16串聯(lián)電路零輸入響應(yīng)第四節(jié)RL串聯(lián)電路的暫態(tài)過程根據(jù)KVL有因為，代入上式得上式為一階線性常系數(shù)齊次微分方程，此方程的通解為，代入上式有得則根據(jù)，代入上式可得，得。第四節(jié)RL串聯(lián)電路的暫態(tài)過程定義為時間常數(shù)，則有

（2-23）（2-24）

（2-25）

的變化曲線如圖2-16（b）所示。第四節(jié)RL串聯(lián)電路的暫態(tài)過程【例2-5】如圖2-17所示，已知求t=0時，斷開開關(guān)后的和。圖2-17

例2-5圖解：開關(guān)斷開前電感中的電流換路后的時間常數(shù)第四節(jié)RL串聯(lián)電路的暫態(tài)過程將和代入式（2-23）和式（2-24）中，得在開關(guān)S斷開的瞬間，不能發(fā)生突變，如果回路電阻過大，則電感會產(chǎn)生很高的電壓，嚴(yán)重時會使電感線圈絕緣擊穿，或者使開關(guān)觸點擊穿而產(chǎn)生電弧放電，引起人身及設(shè)備事故，這一點要特別引起注意。二、RL串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)在圖2-18（a）中，已知電感線圈在開關(guān)合上前，電流的初始值，在t=0時，開關(guān)合上。第四節(jié)RL串聯(lián)電路的暫態(tài)過程圖2-18串聯(lián)電路零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)KVL有因為，代入上式得第四節(jié)RL串聯(lián)電路的暫態(tài)過程上式是一階常系數(shù)線性非齊次微分方程，該微分方程的解為，其中是特解，為通解。因為暫態(tài)過程結(jié)束，達到穩(wěn)態(tài)，，故有特解而其通解取決于齊次方程，可得通解因此式中得常數(shù)由初始條件確定，因為第四節(jié)RL串聯(lián)電路的暫態(tài)過程代入上式有得所以或（2-26）電感上的電壓響應(yīng)為（2-27）隨時間的變化曲線如圖2-18（b）所示。第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式一、RC串聯(lián)電路的全響應(yīng)

假如一階電路的電容或電感的初始值不為零，同時又有外加電源的作用，這時電路的響應(yīng)為一階電路的全響應(yīng)。

所謂RC電路的全響應(yīng)，是指電源激勵和電容元件的初始狀態(tài)均不為零時電路的響應(yīng)，也就是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)兩者的疊加。圖2-19RC充電電路第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式在圖2-19的電路中，階躍激勵的幅值為，。時的電路的微分方程為由此得出所以（2-28）經(jīng)改寫后得出（2-29）顯然，右邊第一項即為零輸入響應(yīng)，第二項即為零狀態(tài)響應(yīng)，于是全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量求出后，就可得出這是疊加定理在電路暫態(tài)分析中的體現(xiàn)。在求全響應(yīng)時，可把電容元件的初始狀態(tài)看作為一種電壓源。和電源激勵分別單獨作用時所得出的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)疊加，即為全響應(yīng)。如果來看式（2-28），它的右邊也有兩項：為穩(wěn)態(tài)分量；為暫態(tài)分量。于是全響應(yīng)也可表示為第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式【例2-6】在圖2-20中，開關(guān)長期合在位置1上，如在t=0時把它合到位置2后，試求電容元件上的電壓。已知，電壓源。圖2-20例2-6的電路解：在時，第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式在時，根據(jù)基爾霍夫電流定律列出經(jīng)整理后得或解之，得當(dāng)時，，則，所以第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式二、RL串聯(lián)電路的全響應(yīng)在圖2-21所示的電路中，電源電壓為，。當(dāng)將開關(guān)閉合時，是一RL串聯(lián)電路。圖2-21RL電路的全響應(yīng)

時的電路的微分方程為第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式由此可知，其通解為（2-30）式中，右邊第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為暫態(tài)分量，兩者相加即為全響應(yīng)。式（2-30）經(jīng)改寫后得出（2-31）式中，右邊第一項即為零輸入響應(yīng)；第二項即為零狀態(tài)響應(yīng)，兩者疊加即為全響應(yīng)。第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式三、一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法只含有一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的線性電路，不論是簡單的或復(fù)雜的，它的微分方程都是一階常系數(shù)線性微分方程，這種電路稱為一階線性電路。上述的RC、RL電路都是一階線性電路，電路的響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)分量（包括零值）和暫態(tài)分量兩部分相加而得，如寫成一般式子，則為左中，是電流或電壓，是穩(wěn)態(tài)分量（即穩(wěn)態(tài)值），是暫態(tài)分量。若初始值為，則得。于是（2-32）第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式這就是分析一階線性電路暫態(tài)過程中任意變量的一般公式。只要求得、和這三個“要素”，就能直接寫出電路的響應(yīng)（電流或電壓）。至于電路響應(yīng)的變化曲線，如圖2-22所示，都是按指數(shù)規(guī)律變化的（增長或衰減）。圖2-22的變化曲線第五節(jié)一階電路的全響應(yīng)與三要素公式下面舉例說明三要