第13講 待定有難度立體幾何空間角的大小比較(解析版)

第13講立體幾何空間角的大小比較1.如圖，已知AABC,D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將AACD折成△ACD，所成二面角A-CD-B的平面角為a，則（）Z角為a，則（）ZA'DBWaB.ZA'DB2a【解答】解：①當(dāng)AC=BC時(shí)，ZA'DB=a②當(dāng)AC豐BC時(shí)，如圖，點(diǎn)A'投影在AE上,a=ZAOE，連結(jié)AA'易得ZADA'<ZAOA'.??ZA'DB>ZAOE，即ZA'DB>a綜上所述，ZADB2a故選：B.2.如圖，已知正四面體D-ABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P、Q、R分別為AB、BC、CA上的點(diǎn)，AP=PB，BQ=CR=2，分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平QCRA面角為a、0、丫，則（）D8A.y<a<卩B.^<丫<卩C.卩<丫D.卩<Y<a【解答】解法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面AABC的中心為O不妨設(shè)OP=3.則O(0,0,0)，P(0，—3，0)，C(0，6，0)，D(0,0,5^2),B(3爲(wèi)，-3，0).Q(點(diǎn),3,0)R(-^■'3,0,0)PR=(-2\3,3,0),PD=(0,3,6.2),PQ=,6,0),QR=(-3點(diǎn),一3,0)QD=(-J3,-3,6、2)n?PR=0設(shè)平面PDR的法向量為n二（x,y,z），則—0，可得］In?PD=0可得n=w6,2\Q,-1），取平面abc的法向量m二（o,0,1）貝卩cos<m,n>=mt=--1，取a二arccos)TOC\o"1-5"\h\zImIInI屆屆一/3V2同理可得：卩二arccos.y二arccos—681、95…丄迴3><95\'681:.a<y<卩解法二：如圖所示，連接OP,OQ,OR，過點(diǎn)O分別作垂線：OE丄PR,OF丄PQ,OG丄QR，垂足分別為E,F,G，連接DE,DF,DG設(shè)OD二hOD貝Htana二——OE同理可得：tan卩二,tany二OFOG由已知可得：OE>OG>OF．tana<tany<tan卩，a,卩，y為銳角..?.a<y<poGROBBy：故選：B如圖，正四面體ABCD中，P、Q、R在棱AB、ADoGROBBy：故選：B如圖，正四面體ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ=QD,，分別記12A.p>y>aB.y>p>aC.a>y>pD.a>p>y面角A-PQ—R,A-PR—Q,A-QR—P的平面角為a、p、y，則（）【解答】解：觀察可知，a>p>y，a為鈍角，p，y均為銳角，p平緩一點(diǎn)，y陡急一點(diǎn),

兀一>卩>Y2則a>p>y故選：D4?已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為a，SE與面ABCD所成的角為卩，二面角S-AB-C的平面角為丫，則（）A.幺邙日A.幺邙日B.卩“日C?PD.丫邙“解答】解：如圖，過S作底面的垂線SO，垂足為O，連接EO，則SO丄EO，/.ZSEO二卩取F為AB的中點(diǎn)，連接OF，則SF丄AB，OF丄AB，ZSFO為二面角S-AB-C的平面角，等于丫過E作BC的平行線，過O作AB的平行線，相交于G，則ZSEG為SE與BC所成的角，等于a???SO丄底面ABCD，/SO丄EG，又EG丄OG，SO「|OG=O，/EG丄平面SOG，則EG丄SG

在RtASOF與RtASOE中,SOSO有siny=—，sinP=SO，而SE>SF，.?.siny>sin卩，得y>卩(y，卩均為銳SFSE角）；在RtASGE與RtASOF中,SGSO有tana=egtany=OF'而SG>SO，EG=OF，??tana>tany，得a>y(aY均為銳角）.當(dāng)E與F重合時(shí)，a二卩二丫綜上，卩令3故選：C5?設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）?記直線PB與直線AC所成角為a，直線PB與平面ABC所成角為卩，二面角P-AC-B的平面角為丫，則（）卩<丫，a<yB.卩<a，卩<丫C.卩<a，y<aD.a<卩，丫<卩【解答】解：方法一、如圖G為AC的中點(diǎn)，V在底面的射影為O，則P在底面上的射影D在線段AO上，作DE丄AC于E，易得PE//VG，過P作PF//AC于F過D作DH//AC，交BG于H貝卩a=ZBPF，卩二ZPBD，y="EDPFEGDHBD則cosa===<=cos卩，可得P<aPBPBPBPBPDPDtany=>=tan卩，可得卩<丫EDBD方法二、由最小值定理可得P<a，記V-AC-B的平面角為y'（顯然y'=y）由三正弦定理可得卩<y'=y方法三、（特殊圖形法）設(shè)三棱錐V-ABC為棱長(zhǎng)為2的正四面體，P為VA的中點(diǎn),TOC\o"1-5"\h\z丄_?一<6_=込一3~2易得cosa=2=空，可得sina二^33，sinP=-^=2=込一3~236633當(dāng)AP=3時(shí)，由余弦定理可得PB七4+9一2x2x3x2=平281628+—i6cosa=-29—=-^，sina=>，可得a<y，故C錯(cuò)誤.c2萬4<7萬xx3故選：B.

如圖，三棱錐V-ABC的底面ABC是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線PB與直線AC所成角為a，二面角P-AC-B的平面角為卩，則a+卩不可能是（）A．3兀A．3兀~4B.込3【解答】解：如圖，由題意，三棱錐V-ABC為正三棱錐,過P作PE//AC，則ZBPE為直線PB與直線AC所成角為a當(dāng)P無限靠近A時(shí)，Z.PBE無限接近-，但小于-，則ZBPE=ZBEP=a＞殳333當(dāng)棱錐的側(cè)棱無限長(zhǎng)，P無限靠近V時(shí)，a無限趨于-但小于-22二面角P-AC-B的平面角為卩，即V-AC-B的平面角為卩由三棱錐存在，得0〉0，隨著棱長(zhǎng)無限增大，卩無限趨于-/.a+Be（—，-）3—?jiǎng)ta+0不可能是.故選：D故選：D．如圖，P是AABC邊AB上一點(diǎn)，將AACP沿CP折成直二面角A'-CP-B，要使IA'BI最短，則CP是（AB5)A.AABC中AB邊上的中線B.AABC中AB邊上的高線C.AABC中ZACB的平分線D.要視AABC的具體情況而定【解答】解：如圖所示，作AE丄CP，垂足為E丁直二面角A'—CP—B，???AE丄平面BCP時(shí)AC=b，BC=a，AACB=a設(shè)ZACP=9.則A'E=bsin9，CE=bcos9BE2=b2cos29+a2一2abcos9cos(a—9)A'B2=(A'E)2+BE2=b2sin29+b2cos29+a2一2abcos9cos(a—9)=b2+a2一2abcos9cos(a—9)cos9cos(a—9)=cos9(cosacos9+sinasin9)1=cosacos29+—sinasin29=cosa=cosa1+cos292+—sinasin29211=一cosa+—cos(a一29)22?A'B2=b2+a2一abcosa—abcos(a一29)當(dāng)且僅當(dāng)cos(a—29)=1時(shí)，即a=29時(shí)，即CP為ZACB的平分線時(shí)，丨A'BI最短.故選：C．如圖，正四棱錐P-ABCD.記異面直線PA與CD所成角為a，直線PA與面ABCD所成角為P，二面角P-BC-A的平面角為y，則（）A.p<A.p<a<yB.y<a<pC.p<y<aD.a<p<y【解答】解：由AB//CD，可得ZPAB為PA和CD所成角a過P作PO丄平面ABCD，垂足為O，連接OA可得ZPAO為直線PA與面ABCD所成角p取BC的中點(diǎn)H，連接PH和OH，可得PH丄BC，OH丄BC可得上PHO為二面角P-BC-A的平面角y設(shè)正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b可得cosa=可得cosa=a2+b2—b22ab2bcosp=aacosp=aa4b2-a2OHcosy=PH\2aOA2aPA=b=￡b由cosZAPB=迸土〉0，可得2b2〉a2即■'■■2b<■?■■Ab2一a2<2b貝9cosp>cosy>cosa由0<a，p，y<k"6""6"可得P<7<a故選：C已知正四面體P-ABC,Q為AABC內(nèi)的一點(diǎn)，記PQ與平面PAB、PAC,PBC所成的角分別為a、P、7，則下列恒成立的是()sin2a+sin2卩+sin2丫》2cos2a+cos2P+cos2722tan2a+tan2P+tan27WID.D.丄+宀+丄W1tanatanptany【解答】解:當(dāng)Q為底面ABC的中心時(shí),設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則底面三角形的高為：學(xué)a，如圖QE=~~a7一TOC\o"1-5"\h\zPQ=丄6a，此時(shí)：sin2a+sin2p+sin27=3x(-^)2=-.排除選項(xiàng)A3一3V38C0S2a+C0S2P+C0S27=3X(-^)2=3323tan2a+tan2p+tan27=3x(-^)2=一W16831+1+77+tan2atan2Ptan271=3X(壬)2=24>1排除D故選：故選：A．1（寧心-231tan2a+tan2卩1（寧心-231tan2a+tan2卩+tan2y=2.排除CA.a<a12B.a>a12C.a<a23a>a231

2a朽當(dāng)Q與A重合時(shí)，a=p=0O，y=ZAPF，cosy=W="-tany=33a2cos2a+cos2卩+cos2y>2【解答】解：由題意設(shè)ASBC的高為h,ASCA的高為h，三棱錐S-ABC的高為h12丁三棱錐S-ABC的底面ABC為正三角形，SA<SB<SC平面SBC、SCA、SAB與平面ABC所成的銳二面角分別為a、a、a123h>h12根據(jù)正弦函數(shù)定義得sina=—，sina=—1h2h12.sina<sina，12'?'a，a都是銳角，.a<a121211.如圖，已知三棱錐D-ABC滿足AC>AB>BC,D在底面的投影O為AABC的外心，分別記直線DO與平面ABD、ACD、BCD所成的角為a，卩，y，則（）A.a<p<yB.a<y<卩C.卩<y<aD.卩<a<y【解答】解：連結(jié)OA，OB，OC，取AABC的三邊中點(diǎn)P，M，N，連結(jié)OP，OM，ON，DP，DMDN，TO是AABC的外心，OM丄AB又OD丄平面ABC，ABu平面ABC.AB丄OD，又OM「|OD=OAB丄平面DOM，AB丄DM/.ZDMO為二面角D-AB-C的平面角，/.ZODM為OD與平面ABD的所成角，即ZODM=aOM/.tana二一ODOPON冋理可得：tanp二，tany二ODOD故選：故選：A.故選：故選：B.設(shè)OA=OB=OC=r?.?AC>AB>?.?AC>AB>BC,IAB2且OM八OA2—AM2=r2—???OP<OM<ON:.tanp<tana<tany/.p<a<y故選：D12.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AD丄側(cè)面PCD,ZPDC=120。，若側(cè)面PAB,PBC，PAD與底面ABCD所成的二面角分別為a，p，y，則下列的結(jié)論成立的是（）A.a<p<yB.p<a<yC.p<y<aD.y<p<a【解答】解：AD丄側(cè)面PCD，/.AD丄CD，AD丄PD???/PDC是面PAD與底面ABCD所成的二面角，?/ZPDC=120。，側(cè)面PAB，PBC，PAD與底面ABCD所成的二面角分別為a，p，y?y=120。，過P作PO丄CD于O，則AD丄PO，/.PO丄平面ABCD./ZPCD為平面PBC與底面ABCD所成角，PO?p<60。，tan8=亠CO過O作OE丄AB于E，則ZPEO為平面PAB與平面ABCD所成的二面角，POPOPOtana==>—CE2COc兀/.0<p<a<—<y2

13.如圖，三棱錐S—ABC中，SA=SB=SC,ZABC=90。,AB>BC,E,F,G分別是AB,BC,CA的中點(diǎn)，記直線SE與SF所成的角為a,直線SG與平面SAB所成的角為0,平面SEG與平面SBC所成的銳二面角為丫，則（）A.a>y>0B.a>0>yC.y>a>0D.y>0>a【解答】解：因?yàn)锳B丄BC，SA=SB=SC，所以AB丄SE所以AB丄平面SGE，AB丄SG又SG丄AC，所以SG丄平面ABC過G作SE的垂線l，顯然l垂直平面SAB故直線SG與平面SAB所成的角為0=ZGSE同理，平面SEG與平面SBC所成的銳二面角為y二ZFSGFGEG由tany=>=tan0，得y>0SGSGy也是直線SF與平面SEG所成的角，由cosa=cos0?cosy<cosy，則a>y所以a>y>0，14.已知三棱柱ABC-ABC的所有棱長(zhǎng)均相等，側(cè)棱AA丄平面ABC.過AB作平面a與BC平行，設(shè)平111111面a與平面ACCA的交線為l，記直線l與直線AB,BC,CA所成銳角分別為a,卩，丫，則這三個(gè)角的11大小關(guān)系為()A.a〉Y〉卩B.a二卩〉丫C.丫〉卩〉aD.a〉卩二丫【解答】解：由圖可知AD//BC，11即BC//面ABD，即面a為面ABD，11111又ac面ACCA=AE11設(shè)AC=2，O為AC的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-1，0），E（0，0，2），B（1，0，0），C（0，1，0），則AE=（0，1，2）,AB=（1，1，0）,BC=（-1，1，0）,AC=（0，2，0）設(shè)直線AE與直線AB,BC,AC所成角分別為a,卩,丫剛,AE?AB|416o,AE?BC|后,AE?AC|45貝Ucosa=11=,cos卩=11=,cosy=11=IAEIIABI10IAEIIBCI10IAEIIACI5所以cosa=cos卩<cosy所以a二卩〉y

故選：BDE■CBiQACB故選：BDE■CBiQACB15.已知長(zhǎng)萬體ABCD-ABCD的底面AC為正方形，AA二a,AB=b，且a〉b，側(cè)棱CC上一點(diǎn)E滿111111足CC二3CE，設(shè)異面直線AB與AD,AB與DB,AE與DB的所成角分別為以,卩，丫，貝I」（）11111111A.B.a<Y<卩C.卩D.^<卩<丫【解答】解：不妨取a=3，b=1?連接BC「BD，設(shè)A^|BD=O，取CE的中點(diǎn)，連接OFBlEBFCTAD//BC，DB//DB，AE//CFBlEBFCTAD//BC，DB//DB，AE//CFiiii.?.a二ZABC，卩二ZADB，丫二ZCOFiii在厶ABC中,iiAB2+CB2-AC210+10-29cosa=―iiil==-2AB?CB2尿X価10ii在厶ABD中,ioAB2+BD2-AD2io+2-10駅cosp—-11——；2AB?BD2応x逅10i在厶ABC中,ii1_-CF2應(yīng)晁tanY二二二cosY二一OCV223cosa>cosy>cosp:異面直線夾角的取值范圍是（0,寸］.a<y<p故選：B16.如圖，矩形ABCD中，AB=1,BC=<3,F是線段BC上一點(diǎn)且滿足BF=1,E是線段FC上一動(dòng)點(diǎn),把AABE沿AE折起得到厶ABE，使得平面BAC丄平面ADC，分別記BA，BE與平面ADC所成角為a，1111P，平面BAE與平面A