邊界約束下含時(shí)量子系統(tǒng)的周期驅(qū)動(dòng)

邊界約束下含時(shí)量子系統(tǒng)的周期驅(qū)動(dòng)

隨著經(jīng)典混合系統(tǒng)的深入研究，人們對(duì)經(jīng)典混合系統(tǒng)相應(yīng)的體積系統(tǒng)的表現(xiàn)越來越感興趣。這不僅有利于研究混合體的本質(zhì)，而且對(duì)深入研究某些力學(xué)問題具有深遠(yuǎn)意義。由于矩陣系統(tǒng)中沒有經(jīng)典意義上的混淆，因此人們對(duì)經(jīng)典系統(tǒng)進(jìn)入混淆狀態(tài)的相應(yīng)揚(yáng)子系統(tǒng)的表現(xiàn)感興趣。當(dāng)Hamiltonian量不含時(shí)間時(shí),波函數(shù)的隨時(shí)演化通常是準(zhǔn)周期的.對(duì)含時(shí)系統(tǒng)而言,無法定義能級(jí),因而我們只能從準(zhǔn)能級(jí)中計(jì)算其波函數(shù)的行為.周期驅(qū)動(dòng)的含時(shí)量子系統(tǒng)由于其對(duì)量子力學(xué)系統(tǒng)分析的重要作用而受到廣泛關(guān)注.對(duì)于經(jīng)典系統(tǒng)中已經(jīng)比較清楚的簡(jiǎn)單模型,其量子力學(xué)系統(tǒng)遠(yuǎn)非清楚,而且這對(duì)我們的研究十分有用.其中,彈球系統(tǒng)的經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)行為都受到廣泛關(guān)注.對(duì)靜態(tài)彈球系統(tǒng),許多學(xué)者已有研究,并在經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的對(duì)應(yīng)方面取得了不少結(jié)果.對(duì)靜態(tài)彈球系統(tǒng),可用邊界元方法來計(jì)算束縛系統(tǒng)的能譜.但對(duì)含時(shí)彈球系統(tǒng),傳統(tǒng)邊界元法不能使用.本文發(fā)展了一種新的邊界Green函數(shù)法來研究振動(dòng)邊界的彈球系統(tǒng).我們所研究的彈球系統(tǒng)為一個(gè)邊界固定,另一邊界振動(dòng)的一維彈球系統(tǒng).1計(jì)算公式1/2e的準(zhǔn)能效及最近鄰間距分布在下文中,我們假設(shè)固定邊界的坐標(biāo)為O,振動(dòng)邊界的坐標(biāo)為x(t).為比較經(jīng)典系統(tǒng)在由可積向混沌的轉(zhuǎn)變,我們考察兩種情形:其中V為振動(dòng)邊界運(yùn)動(dòng)的速率.對(duì)情形1,如圖1所示,Г1,Г2,Г3,Г4為邊界,水平軸為x軸,垂直軸為t軸,D為1周期區(qū)域,假設(shè)u(Г1)=u(Г2),這樣我們有Ψ(x,t)=e-εtu(t),其中∈為準(zhǔn)能,u(0)=u(T),T=Ω/(2π)為系統(tǒng)的振動(dòng)周期.設(shè)q1=(x1,t1),q2=(x2,t2),Green函數(shù)G(q1,q2)滿足:-i?tG(q1,q2)+?2xG(q1,q2)=δ(x1-x2)δ(t1-t2)(1)?i?tG(q1,q2)+?2xG(q1,q2)=δ(x1?x2)δ(t1?t2)(1)我們可用平面波eik·x-iwt展開G(q1,q2):G(q1?q2)=?ei(kx-ωt)/(ω-k2)dωdk=∫ei(kx-k2t)dk=∫eit[k-x/(2t)]2+ix2/(4t)dk=-i[1/(4πit)]1/2eix2/(4t)(2)規(guī)一化參數(shù)可由下式?jīng)Q定limΤ→∞i∫∞0[G(Τ)-G(-Τ)]dx=1(3)波函數(shù)滿足Schr?dinger方程-i?tΨ(x,t)+?2xΨ(x,t)=0(4)將(4)式乘以G(q1,q2),然后減出(1)式乘以Ψ(x,t)可得:G(-i?tΨ+?2xΨ)-Ψ(-i?′tG+?′2xG)=δ(x-x′)(5)將上式對(duì)區(qū)域D積分,并代入Ψ(x,t)=e-i∈tu(x,t)(其中u(x,0)=u(x,T),T為系統(tǒng)的振動(dòng)周期).兩邊對(duì)x′微商,我們可得:∫Г4dt′[-2?xG??x′u(x′)]+∫Г3dt′e-i∈(t-t′)?[-2?xG??x′u(x′)]+∫Г1dx?e-i∈(t-t1)G??x′u(x′)+i∫Г2dx?e-i∈(t-t2)G??x′u(x′)={?xu(x)?e-i∈t?x∈D/?D,?x′u(x′)/2?e-i∈t?x∈?D,0,x?D.(6)式(6)可通過邊界元分割求解,我們要求系統(tǒng)要有邊界條件u(Г1)=u(Г2)才能有準(zhǔn)能譜.我們將邊界Г1,Г2各分為100等份,ΔL=0.01.對(duì)邊界Г3,Г4,我們按時(shí)間均勻等分為100份,Δt=2π/100.這樣我們一共分割D的邊界為400份.在式(6)中,?x′u(x′)可以用400維矢量v來代替,積分項(xiàng)由Riemann和代替:Av=0(7)其中Aij為A的矩陣元(1≤i,j≤400).上式中A的矩陣元取決于i,j在邊界上的位置:A(i,j)={e-i∈tj?F(|qi-qj|)+1/2δij,xj∈Г3?Г4,e-i∈tj?G(|qi-qj|)+1/2δij,xj∈Г1?Г2,(1≤i,j≤400)(8)其中F(|qi-qj|)=?x′G(x,x′)=x/(2t)?[1/(4πit)])1/2eix2/(4t)G(|qi-qj|)為Green函數(shù).準(zhǔn)能級(jí)∈對(duì)應(yīng)于|A|(∈)的零點(diǎn),這樣才能使Av=0有非平庸解.我們對(duì)∈從0到2π均勻取1000個(gè)值,對(duì)每一個(gè)∈值,利用Guass法求行列式|A|的值.對(duì)|A|值最靠近0的兩個(gè)值,我們用插值求|A|(∈)的零點(diǎn).零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于準(zhǔn)能級(jí),我們?cè)儆?jì)算其準(zhǔn)能級(jí)的分布.圖2(a)為情形1x(t)=1+Δsin(Ωt)(Δ=0.5,Ω=1)的準(zhǔn)能級(jí)最近鄰間距的分布.圖2(b)為其準(zhǔn)能級(jí)的剛度Δ3,與GOE分布較為接近.圖2(a)為情形1x(t)=1+Δsin(Ωt).(Δ=0.5,Ω=1)的準(zhǔn)能級(jí)最近鄰間距的分布圖2(b)為其準(zhǔn)能級(jí)的剛度Δ3,與GOE分布較為接近圖3(a)為情形2x(t)={1+V(t(mod1)),ift(mod1)＜1/2,1+V{1-[t(mod1)]},ift(mod1)＞1/2的準(zhǔn)能級(jí)最近鄰間距的分布.圖3(b)為其準(zhǔn)能級(jí)的剛度Δ3,與Poisson分布較為接近.該結(jié)果與對(duì)應(yīng)的經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果及隨機(jī)矩陣的結(jié)果吻合.圖3(a)的情形2x(t)={1+V(t(mod1)),ift(mod1)＜1/2,1+V{1-[t(mod1)]},ift(mod1)＞1/2的準(zhǔn)能級(jí)最近鄰間距的分布,圖3(b)為其準(zhǔn)能級(jí)的剛度Δ3,與Poisson分布較為接近2含時(shí)邊界的處理本文所介紹的邊界振動(dòng)Green函數(shù)方法對(duì)計(jì)算振動(dòng)邊界的彈球系統(tǒng)的準(zhǔn)能級(jí)是一個(gè)很有用的方法,它是定態(tài)彈球系統(tǒng)Green函數(shù)在含時(shí)邊界的推廣,這不僅在解決含時(shí)邊界的量子力學(xué)問題有意義,而且對(duì)