半經(jīng)典周期軌道理論及其在量子力學中的應用

半經(jīng)典周期軌道理論及其在量子力學中的應用

半經(jīng)典理論的影響在動態(tài)量子化已經(jīng)建立70多年后，人們對半經(jīng)典的量化產(chǎn)生了興趣。一個原因是，半經(jīng)典理論能夠很好地理解人們從經(jīng)典力學到向量的轉(zhuǎn)變，尤其是對闡明向量的性質(zhì)起到了深刻作用。其次，半古典理論在許多物理領域，如原子物理、分子物理、量子化學、光學和聲學系統(tǒng)中成為主要的模擬手段。第三，純變量的解往往難以理解其實質(zhì)。半古典理論有助于人們對動力學結(jié)果的直觀理解。從經(jīng)典混沌發(fā)現(xiàn)以來,人們對其對應的量子力學系統(tǒng)中混沌行為的表現(xiàn)一直十分感興趣。彈球系統(tǒng)由于其直觀性而受到廣泛研究。本文在對一類經(jīng)典混沌彈球系統(tǒng)的研究中,發(fā)現(xiàn)半徑典理論的結(jié)果與量子力學的結(jié)果符號得很好,這對于我們進一步研究量子力學的本質(zhì)問題有重要意義。1u3000經(jīng)典軌道系統(tǒng)的周期特性半經(jīng)典周期軌道理論在Gutzwiller一系列的論文中首先提出和應用,其推導是從Schr¨odinger方程的傳播子K(Q″,t″;Q′t′)的Feyman路徑積分表示開始的。半經(jīng)典周期軌道理論必須假設經(jīng)典量比h要大得多。Green函數(shù)的跡g(E)是能量的函數(shù),且在能級存在極點。假設所有的周期軌道都是孤立的,則g(E)可以表示為對所有周期軌道求和。該半經(jīng)典量子化方法將量子力學的能級與經(jīng)典系統(tǒng)孤立的周期軌道相聯(lián)系。由于Gutzwiller的求跡公式要對無限多軌道求和,一般g(E)在實軸上不收斂。我們通過在求跡公式中加入一些磨光函數(shù),可使其在實軸上絕對收斂。一般地有,對N維哈氏系統(tǒng):G(q″?q′,E)≈∑經(jīng)典軌道1i?(2πi?)(Ν-1)/2√|D|exp{i?S(q″,q′,E)-iπ2μ}(1)求和對于所有的從q′至q″的經(jīng)典軌道(能量為E)。(1)式中D為(N+1)×(N+1)維矩陣:D=(-1)Ν+1|?2S?q′?q″?2S?E?q″?2S?q′?E?2S?E2|(2)其中S(q″,q′,E)=∫q″q′pdq。跡g(E)為:g(E)=∫dΝqG(q″,q′,E)|q″=q′=q=limε→0∑n1E+i∈-En(3)其可分解為穩(wěn)定項與振蕩型g(E)≈g0(E)+gOSC(E)(4)能級密度d(E)為:d(E)=∑nδ(E-En)=1πl(wèi)imε→0∑n1E+i∈-En=-1πΙmg(E)(5)增長矩陣M定義為:(dq2″dΡ2″)=Μ(dq2′dΡ2′)(6)如果|TrM|>2,周期軌道不穩(wěn)定。M有兩個本征值λ1,2=exp(±u),或λ1,2=-exp(±u),(u>0為穩(wěn)定指數(shù))。如|TrM|<2,則周期軌道穩(wěn)定。經(jīng)過推導有:gΟSC(E)=1?∑p.oΤ0|2-ΤrΜ|exp{i?S(E)-iπ2v}(7)S(E)為沿經(jīng)典軌道的作用量,T0為周期軌道的最小周期,v為周期指標,即自共軛點的共軛點數(shù)。可以將原初周期軌道及其不穩(wěn)定重復的周期軌道分開,如K為周期重復的次數(shù),則S(k)(E)=kS(1)(E),M(k)=[M(1)]k,v(k)=kv(1),故:gΟSC(E)=1i?∑γ∞∑k=1Τrexp(ikSr(E))/?-iπkvr/2exp(kur/2)-σkrexp(-kur/2)(8)其中?為對所有的原初P.O求和,u?為|TrM|本征值對應的穩(wěn)定性指數(shù)。如|TrMr|>2,σr=1;如|TrMr|<2,σr=-1。2半經(jīng)典力學的周期軌道我們可用如下迭代法求解方程:x-sinxtgβ0=x0(9)的解f(β0,x0)。設粒子在x軸上的初始位置為xn,運動方向與x軸的夾角為βn,我們將其表示為(xn,βn)。設(x′,β′)為在曲線sin(x)上的位置。(xn,βn)→x′=f(βn,xn)?β′=β+2[π2-(β-tg-1(cosx′)](mod2π)第n+1點的位置有兩種情況,即在底邊上和在曲線sin(x)上:{{xn+1=x′-sinx/tgβ′βn+1=π-β′(mod2π)(對0＜x′-sinx′tgβ′＜π){x″=f(β′,x′-sinx′tgβ′)β″=β′+2[π2-(β′-tg-1(cosx″))](mod(2π)(對x′-sinx′tgβ′＞π)(10)對一系列均勻分布的初值(x0,β0),通過迭代直至與初值相隔充分小時,我們認為是周期軌道(P.O)。根據(jù)測不準原理,周期愈長的軌道對能量的影響愈精細。一般對半經(jīng)典力學影響大的是較低周期的軌道。由于凸曲線所包含的彈球系統(tǒng)存在沿凸曲線無限光滑的周期軌道,我們發(fā)現(xiàn)這樣的軌道|2-Τr?Μ|較大。我們選用連續(xù)兩次在底邊上迭代時通過sin(x)曲線次數(shù)n作為符號,截斷至n≤10。對于沿凸曲線無限光滑的周期軌道,表1列出了其|2-Τr?Μ|與在凸曲線撞擊次數(shù)的關(guān)系。對于有限區(qū)域A,設g0(E)為g(E)的平直部分,g0(E)-g0(E′)=mA2πh2Ιn(EE′)又根據(jù)(7)式,可得:∑n(2mp2-p2n-2mp′2p2n)≈mAπh2Ιnpp′-ih∑r∞∑k=1mlrxkr√|2-ΤrΜkr|(eipk.lr/hp-eip′k.lr/hp′)(11)上式中A為彈球系統(tǒng)面積,pn=√2mEn設σ0為上式收斂時ImP,ImP的下限,對上式積分:∑nh(pn)=∑niπ∫iσ0+∞iσ0-∞dph(p)(1p2-p2n-1p′2-p2n)=∫∞0dpph(p)A2πh2+1h∑r∞∑k=1lrxkr√|2-ΤrΜkr|g(klγ/?)(12)A為彈球系統(tǒng)面積,d(E)=A2πh2為sin(x)彈球系統(tǒng)的平均能級密度。量子力學的能級密度直接由邊界元法所得能級將(5)式代入(12)式的第一項d(E)而得。g(x)=1π∫∞0dp′h(p′)cos(p′x)(13)在(12)、(13)中,p′為動量,r為所有原初周期軌道,k為原初周期軌道的重復次數(shù)。Mr為原初軌道的增長矩陣。lr為軌道r的長度,xr=e-iπυr/2表示每一項的相位因子。vr為軌道r的自共軛點數(shù),即矩陣(2)特征值中“∞”的個數(shù)。文指出,在二維彈球中,vr=2n,其中n為在邊界上的反彈次數(shù)。在我們的數(shù)值實驗中,對系綜的每一初值(x,θ),其均勻分布在(0,1)×(0,1)中。為計算方便,保持x,y相對大小,我們?nèi)椙蚯€y=sin(πx)。當經(jīng)過有限次迭代后回到初值附近鄰域時,我們認為這就是我們所要尋找的一條P.O。我們選擇磨光函數(shù)為:h(p′)=exp{-(p-p′)2∈}+exp{-(p+p′)2∈}(14)這樣g(x)=∈πcos(px)exp(-∈2x24)(15)如果光滑參數(shù)為正,周期軌道理論計算(13)式絕對收斂。Guass光滑密度在能級處有尖峰,這種方法能在有限精度內(nèi)提供能級數(shù)值。一般要求相隔Δp的兩個尖峰之間的光滑密度要下降到尖峰的半值,這導致如下條件(p?Δp)1+exp(-|Δp|2∈2)=4?exp(-|Δp|24∈)(16)這導致:∈=Δp/2.35圖2為利用半經(jīng)典周期軌道量子化所得到的Guass譜密度(實線)和我們另外用量子力學邊界元法(虛線)的數(shù)值結(jié)果比較。兩種方法比較,由d(E)給出的能級的平均誤差約為7%。我們的計算中取k≤100及長度lr≤50。3傳統(tǒng)摩擦軌道的絕對收斂我們的計算表明半經(jīng)典理論與純粹量子力學的結(jié)果相比符合得很好。半經(jīng)典量子化將經(jīng)典周期軌道與量子力學能級之間聯(lián)系起來,這有助于我們深刻地理解量子力學的本質(zhì)。該方法的關(guān)鍵在于尋找經(jīng)典周期軌道,這對于某些純粹量子力學求解比較困難的系統(tǒng)有很大的作用。在應用Gutzwiller公式計算不穩(wěn)