《經(jīng)濟數(shù)學(xué)》413-5（雷安平）教案 第9課 函數(shù)的微分

第課函數(shù)的微分第課函數(shù)的微分PAGE1299函數(shù)的微分第9函數(shù)的微分第課PAGE11

課題函數(shù)的微分課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）掌握微分的概念、幾何意義和運算法則（2）掌握微分在經(jīng)濟與商務(wù)中的應(yīng)用（3）掌握洛必達法則思政育人目標(biāo)：通過函數(shù)微分的學(xué)習(xí)，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度和作風(fēng)，提高自身科學(xué)素養(yǎng)，同時為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。教學(xué)重難點教學(xué)重點：微分的概念、幾何意義和運算法則教學(xué)難點：洛必達法則教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第1節(jié)課：課堂測驗（10min）第2節(jié)課：課堂測驗（15min）課堂小結(jié)（3min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學(xué)生的組織紀律性，掌握學(xué)生的出勤情況引例導(dǎo)入（10min）【教師】講解引例給定函數(shù)，當(dāng)取得改變量時，相應(yīng)因變量的改變量為．其中，是的線性函數(shù)，而對于，當(dāng)時，有和，即是的高階無窮?。?dāng)很小時，雖然也很小，但由于是高階無窮小，在求時可忽略不計，故有．這時可把稱為函數(shù)的微分，記作．【學(xué)生】聆聽、思考、理解、記錄由具體問題引出微分的定義，引導(dǎo)學(xué)生主動思考知識講解

（23min）【教師】講解微分的概念、幾何意義和運算法則一、微分的概念對照的情形，當(dāng)可導(dǎo)時，同樣可表示為兩部分：一部分是的線性函數(shù)，是主要部分；另一部分是的高階無窮小，為，是次要部分．據(jù)此有如下定理．定理3-4設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，對于自變量在處的改變量，函數(shù)相應(yīng)的改變量可表示為，其中，為主要部分，為次要部分．由定理3-4，可導(dǎo)出關(guān)于微分的定義．定義3-3設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，稱的主要部分為函數(shù)在點處的微分，記作或，即．對于函數(shù)，由于，說明自變量的微分就是它的改變量，即．這樣，可把微分寫成如下形式：．下面所述函數(shù)的微分，都是指的導(dǎo)數(shù)乘以．類似地，函數(shù)在點處的微分為：．由定義3-3可知，求微分具有重要意義．因為當(dāng)時，與僅相差一個高階無窮?。谑?，當(dāng)很小時，．例1求函數(shù)的微分．解．例2已知函數(shù)．（1）求其微分； （2）求當(dāng)由1改變到1.01時的微分．解（1）．（2）由所給條件知，，所以．例3求函數(shù)的微分．解．把改寫為．前面曾將作為一個整體符號來表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；在引進微分的概念后，可知表示函數(shù)微分與自變量微分的商，所以導(dǎo)數(shù)又稱為微商．顯然，函數(shù)可微的充要條件是函數(shù)可導(dǎo)．我們把求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法統(tǒng)稱為微分法．二、微分的幾何意義圖3-3圖3-3設(shè)函數(shù)的圖形如圖3-3所示，是曲線上點處的切線．設(shè)的傾角為，當(dāng)自變量有改變量時，得到曲線上另一點．從圖中可知，，，則，即．由此可知，微分是當(dāng)發(fā)生改變量時，曲線在點處切線縱坐標(biāo)的改變量．用近似代替就是用點處切線縱坐標(biāo)的改變量來近似代替曲線縱坐標(biāo)的改變量．三、微分的運算法則因為函數(shù)的微分等于導(dǎo)數(shù)乘dx，所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，可得出求函數(shù)微分的基本公式和運算法則．為使用方便，列出如下．（一）微分基本公式（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．（二）微分的四則運算法則（1）； （2）；（3）； （4）．（三）復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．所以復(fù)合函數(shù)的微分為．由于，因此上式也可以寫成．由此可見，無論是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分形式保持不變．這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性．有時，利用微分形式的不變性求復(fù)合函數(shù)的微分比較方便．例4設(shè)，求．解法一由公式得．解法二用微分形式的不變性得．例5求函數(shù)的微分．解法一．解法二．【學(xué)生】掌握微分的概念、幾何意義和運算法則學(xué)習(xí)微分的概念、幾何意義和運算法則，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生進行測試【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（25min）【教師】講解微分在經(jīng)濟與商務(wù)中的應(yīng)用和洛必達法則四、微分在經(jīng)濟與商務(wù)中的應(yīng)用若在處可導(dǎo)，依據(jù)定理3-4和定義3-3可知，當(dāng)很小時，有，（3-1）于是可得．因此，當(dāng)很小時，．（3-2）式（3-1）和式（3-2）在近似計算中被廣泛應(yīng)用．在商務(wù)應(yīng)用中，許多計算也僅要求近似成立，因此也會經(jīng)常用到這兩個公式．例8某商店每周銷售商品件，所獲得利潤（單位：元）依下式計算：．當(dāng)每周銷售量由10件增加到11件時，試利用微分計算利潤增加的近似值．解依題意有，所以．于是．所以．當(dāng)該商店每周銷售量由10件增至11件時，其增加的利潤約為8元．例9設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中為單位商品的價格（單位：元），為某商品的月需求量（單位：千件）．試用微分方法求當(dāng)該商品的價格從8元增加到8.5元時，月需求量變化的情況．解依題意，所以，，．故當(dāng)該商品的價格從8元增加到8.5元時，月需求量減少約162件．例10求的近似值．解選函數(shù)，則，代入公式，即．五、洛必達（L’Hospital）法則在求極限的過程中，常常遇到這樣的情形，即在同一變化過程中分子、分母同時趨于零或同時趨于無窮大，這時分式的極限可能存在也可能不存在（如，而不存在），通常分別稱這兩類極限為“”型和“”型未定式．對于這樣的未定式，即使極限存在，也不能用極限的運算法則來計算，往往需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，將其轉(zhuǎn)化成可利用極限運算法則或重要極限計算的形式．這種變形沒有一般方法，需視具體情況而定，有時很難把握，所能解決的問題有限．下面介紹的洛必達法則將提供一種簡便、可行、具有一般性的求未定式極限的方法．洛必達法則（一）若函數(shù)與滿足條件：（1）；（2）與在點的某個鄰域內(nèi)（點可除外）可導(dǎo)，且；（3）（或），則（或）．洛必達法則（二）若函數(shù)與滿足條件：（1）；（2）與在點的某個鄰域內(nèi)（點可除外）可導(dǎo)，且；（3）（或），則（或）．對于法則（一）和法則（二），把改為，結(jié)果仍然成立．例11求．解當(dāng)時，有和，這是“”型未定式．由洛必達法則，．例12求．解當(dāng)時，有和，這是“”型未定式．由洛必達法則，．當(dāng)時，有和，仍是“”型未定式．再用洛必達法則，．例13求．解當(dāng)時，有和，這是“”型未定式，由洛必達法則例14求．解當(dāng)時，有和，這是“”型未定式．由洛必達法則，．例15求．解當(dāng)時，有和，這是“”型未定式．由洛必達法則，．洛必達法則不但可以用來求“”和“”未定式的極限，還可用來求“”“”“”“”“”型未定式的極限．求這幾種未定式極限的基本方法就是設(shè)法將它們化為“”或“”型．后面三種類型做起來比較復(fù)雜，我們只舉例說明前兩類的解法．例16求． （“”型）解 （轉(zhuǎn)化為“”型）．例17求． （“”型）解 （轉(zhuǎn)化為“”型）．例18求．解這是“”型未定式，但極限不存在，即不滿足洛必達法則的第三個條件，所以不能使用洛必達法則．事實上，原極限可由下面的方法求出：．從上面的例子可以看出，洛必達法則雖然是求未定式極限的一種有效的方法，但它不是萬能的，有時會失效．不能用洛必達法則求出的極限不一定不存在．【學(xué)生】掌握微分在經(jīng)濟與商務(wù)中的應(yīng)用和洛必達法則學(xué)習(xí)微分在經(jīng)濟與商務(wù)中的應(yīng)用和洛必達法則，邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生進行測試【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了微分的概念、幾何意義和運算法則、微分在經(jīng)濟與商務(wù)中的應(yīng)用和洛必達法則?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識點總結(jié)知識點，鞏固印象作業(yè)布置（2mi