以高中數(shù)學(xué)教學(xué)為例淺談?lì)惐鹊呢?fù)遷移

4/5以高中數(shù)學(xué)教學(xué)為例淺談?lì)惐鹊呢?fù)遷移上海市南洋中學(xué)耿亮類比遷移是指用我們已有知識(shí)或熟悉問(wèn)題的解決方法去學(xué)習(xí)新知識(shí)或者解決新問(wèn)題的一種學(xué)習(xí)方法。它可以發(fā)生在具有相同結(jié)構(gòu)特征的兩種不同的知識(shí)領(lǐng)域，例如，在實(shí)數(shù)中，乘法對(duì)加法具有分配律；在向量中，數(shù)量積對(duì)加法具有分配律，等等。類比，也可以發(fā)生在相同或者非常接近的知識(shí)領(lǐng)域，例如三角形的全等和相似，平面向量和空間向量等。類比遷移往往能夠讓初學(xué)者非常輕松的接受新知識(shí)和新技能，讓學(xué)習(xí)取得事半功倍的效果。但類比的任何一個(gè)環(huán)節(jié)出了差錯(cuò)就會(huì)產(chǎn)生負(fù)遷移，同樣也會(huì)讓學(xué)習(xí)者在接受知識(shí)方面繞彎路。本文結(jié)合自己在教學(xué)過(guò)程中遇到的負(fù)遷移的案例淺談自己對(duì)負(fù)遷移的成因及解決策略的認(rèn)識(shí)。類比負(fù)遷移案例1：從有限到無(wú)限的類比計(jì)算下列極限：(1)(2)(1)法1.解：原式===0法2.解：原式===0(2)法1.解：原式===法2(錯(cuò)解).解：原式===0例1(1)用了兩種不同的方法得到了相同的答案，可謂殊途同歸。當(dāng)然這里比較提倡法2的解法，因?yàn)樗鋵?shí)能夠體現(xiàn)我們對(duì)書本上極限的四則運(yùn)算的理解是否到位，兩個(gè)成立，三個(gè)也成立……那么任意有限個(gè)都成立，這體現(xiàn)了量變?cè)谖匆鹳|(zhì)變時(shí)事物之間的性質(zhì)可以類比的哲學(xué)思想。但例1(2)借用例1(1)的兩個(gè)做法卻得到了不同的答案，顯然法1無(wú)可爭(zhēng)議，那么法2錯(cuò)在什么地方呢，因?yàn)闆](méi)有任何定理保證這里能夠先各自取極限再求和，法2的錯(cuò)誤告訴我們不能用有限來(lái)類比無(wú)限，這體現(xiàn)了事物質(zhì)變后性質(zhì)會(huì)發(fā)生根本性改變的哲學(xué)思想。雖然在無(wú)限增加的變化過(guò)程中會(huì)越來(lái)越小，但是無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量的和可能等于一個(gè)正數(shù)，這就像學(xué)習(xí)一樣，只要我們堅(jiān)持每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，久而久之我們的進(jìn)步可能是驚人的，就像這里的例1(2)一樣。類比負(fù)遷移案例2：有限小數(shù)與無(wú)限小數(shù)的大小比較方法比較大小：(用“”，“”，“”連接)(2)第(1)小題填“”毋庸置疑，相信小學(xué)生應(yīng)該都可以脫口而出；對(duì)于第(2)小題，相當(dāng)一部分中學(xué)生會(huì)填“”的，因?yàn)槲覀儚膬蓚€(gè)有限(正)小數(shù)比較大小的過(guò)程中總結(jié)出如下經(jīng)驗(yàn)：比較兩個(gè)有限(正)小數(shù)，從最高位依次向低位比較，若遇相同位置的數(shù)字不同，則該位置數(shù)字大的數(shù)大?；谏鲜鲈瓌t，第(2)小題中兩數(shù)的十分位和百分位均相同，但千分位上后者的數(shù)字大于前者的，所以容易填“”，然而正確答案填“”，原因如下：我們知道是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，所以是有理數(shù)，因此它一定可以化成分?jǐn)?shù)。因?yàn)?，所以，所以這是類比有限小數(shù)比較大小的方法在比較含無(wú)限小數(shù)的大小時(shí)產(chǎn)生的負(fù)遷移，究其原因，還是因?yàn)閺挠邢薜綗o(wú)限，發(fā)生了質(zhì)變，對(duì)于發(fā)生質(zhì)變的兩種知識(shí)結(jié)構(gòu)，我們?cè)诶妙惐葘W(xué)習(xí)的時(shí)候慎用。這就像牛頓的經(jīng)典力學(xué)只適用于低速的慣性參考系，對(duì)于達(dá)到光速的參考系則會(huì)失效一樣。類比負(fù)遷移案例3：函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列的單調(diào)性(1)已知函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是________.(2)已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是_______.解：(1)依題可得：，解得：.(2)依題可得：，解得：或.對(duì)于第(2)小題，很多初學(xué)者很容易聯(lián)想到第(1)小題的解題思路，從而得到錯(cuò)誤答案。數(shù)列本身可以看作定義在自然數(shù)集或自然數(shù)集的子集上的函數(shù)，所以處理數(shù)列單調(diào)性的問(wèn)題類比函數(shù)單調(diào)性的處理方法似乎無(wú)可厚非。但是，數(shù)列的定義域是離散的，初等函數(shù)的定義域是連續(xù)的，本例中(1)滿足函數(shù)單調(diào)增的第三個(gè)約束條件的本質(zhì)是，而(2)中滿足數(shù)列單調(diào)增的第三個(gè)約束條件的本質(zhì)是，如下圖所示：圖1圖2負(fù)遷移的產(chǎn)生通常是由數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)中學(xué)生、教師、教材三個(gè)子系統(tǒng)所引起的，其中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知功能、學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維能力是產(chǎn)生負(fù)遷移的內(nèi)因，而教師的教學(xué)方法、教學(xué)水平及教材內(nèi)容等，則是產(chǎn)生負(fù)遷移的外因。(一)由內(nèi)因引起的負(fù)遷移心理學(xué)認(rèn)為：有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程是原有的知識(shí)不斷同化新知的過(guò)程，在此過(guò)程中，學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是決定新的學(xué)習(xí)的最重要的一個(gè)內(nèi)因，它制約和規(guī)定了學(xué)習(xí)的進(jìn)程，倘若認(rèn)知結(jié)構(gòu)的功能出現(xiàn)偏差或某個(gè)認(rèn)知環(huán)節(jié)有缺陷，便會(huì)出現(xiàn)學(xué)習(xí)中的負(fù)遷移。這主要表現(xiàn)在：對(duì)新知識(shí)的理解不透以案例1為例，(1)中實(shí)際是在求100個(gè)數(shù)列和的極限，由于這100個(gè)數(shù)列的極限都存在，所以由極限的四則運(yùn)算很容易得到它們等于這100個(gè)數(shù)列的極限的和。這種遷移來(lái)自于兩個(gè)極限存在的數(shù)列的和的極限等于它們極限的和，是正遷移，同時(shí)也有效加深了同學(xué)們對(duì)極限四則運(yùn)算的理解與應(yīng)用。而(2)中不可如法炮制的原因，在于這里的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，取極限時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)也同時(shí)在增加，此時(shí)并非有限項(xiàng)，所以這種遷移就出問(wèn)題了。不區(qū)分相近或相似的知識(shí)以案例3為例，分段函數(shù)的單調(diào)性關(guān)注的是每一片段上函數(shù)的單調(diào)性和片段與片段銜接處，而(分段)數(shù)列的單調(diào)性在片段與片段銜接上的處理有所差異，如圖1和圖2所示，清晰揭示了二者的差異化處理。思維定勢(shì)的消極影響曾經(jīng)關(guān)于與1的大小比較，對(duì)中學(xué)生做過(guò)一份問(wèn)卷調(diào)查。有相當(dāng)比例的初中生，也不乏一些高中學(xué)生，對(duì)此問(wèn)題的回答是小于，就像案例2(2)一樣。究其原因，還是小學(xué)里學(xué)習(xí)的有限小數(shù)大小的比較方法根深蒂固在我們的思維方式里，這種思維定勢(shì)產(chǎn)生的負(fù)遷移必須要我們逐漸認(rèn)識(shí)清楚有限和無(wú)限的本質(zhì)差異之后才會(huì)慢慢消除。(二)由外因引起的負(fù)遷移教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用是相輔相成的，學(xué)生的學(xué)習(xí)通常是教師主導(dǎo)下的學(xué)習(xí)，如果這個(gè)主導(dǎo)作用發(fā)揮失?；蚴д`，學(xué)生主體的學(xué)習(xí)就會(huì)受到不同程度的消極影響，從而產(chǎn)生負(fù)遷移。這表現(xiàn)在：教師對(duì)教材中重難點(diǎn)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)不夠，導(dǎo)致學(xué)生重視不夠本案例3中需反復(fù)強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性在“接口”上的差異化處理，甚至可以舉一反三如下：已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍.教學(xué)中的有效舉例不夠本案例1和2中，為了說(shuō)明有限和無(wú)限是有本質(zhì)差異的，可以舉例：有限個(gè)有理數(shù)的和一定是有理數(shù)，但無(wú)限個(gè)有理數(shù)的和有可能是無(wú)理數(shù)了，例如：有限個(gè)實(shí)數(shù)相加可任意交換加數(shù)的順序，得到的結(jié)果不變，但無(wú)限個(gè)實(shí)數(shù)相加則不可以隨便交換加數(shù)的順序等等。這些事例可以讓同學(xué)們體會(huì)有限和無(wú)限在很多地方的差異。教學(xué)方法缺乏創(chuàng)新比如對(duì)本案1和2，其本質(zhì)都在加深學(xué)生對(duì)無(wú)限的理解與認(rèn)識(shí)，剔除對(duì)有限的理解的局限性。其實(shí)教師還可以如下證明：.法1(初中生).設(shè)，則(上式兩邊同乘10)，兩式相減可得：，所以.法2(高中生).設(shè)(無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式)基于不同的學(xué)段，使用他們能夠接受的不同方法，尤其對(duì)于高中生，可將3種方法同時(shí)講授，這樣從多種角度的說(shuō)理相信可以使他們更能接受新知。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運(yùn)用遷移的思維方式，對(duì)原有數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)進(jìn)行類比，既可承上啟下，又可讓學(xué)生在類比中洞悉知識(shí)的生成、掌握新舊知識(shí)縱向與橫向的內(nèi)在聯(lián)系。這符合知識(shí)建構(gòu)的認(rèn)識(shí)心理，又能使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)"雙基"，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)學(xué)生情感、態(tài)度和價(jià)值觀的發(fā)展。但教師應(yīng)時(shí)刻關(guān)注負(fù)遷移給學(xué)生帶來(lái)的不利影響，這有可能是先前學(xué)習(xí)對(duì)后繼學(xué)習(xí)的負(fù)遷移稱為順向負(fù)遷移，也有可能是后續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)先前學(xué)習(xí)的負(fù)遷移稱為逆向負(fù)遷移。只有既應(yīng)用到了正遷移，又注意到了這些負(fù)遷移，才可能讓學(xué)生真正應(yīng)用好遷移思維提高學(xué)習(xí)效率，敢于合理創(chuàng)新。參考文獻(xiàn)：[1]李尚志.2009.數(shù)學(xué)的神韻—走進(jìn)教育數(shù)學(xué).北京：科學(xué)出版社.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.2010.數(shù)學(xué)分析.北京：高等教育出版社.[3]何效富.2013.轉(zhuǎn)化負(fù)遷移，積累正能量.[4]王勝林.20