第十五章傅立葉級(jí)數(shù)

第十五章傅立葉級(jí)數(shù)§1傅立葉級(jí)數(shù)1．在指定區(qū)間內(nèi)把下列函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)：（1）f(x)=x(i)-<x<(ii)0<x<2;(2)f(x)=x2(i)-<x<(ii)0<x<2;(3)ax-<x<0f(x)=(a,b為不等于0的常數(shù)，且ab)bx0<x<2.設(shè)f是以2為周期的可積函數(shù)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)c有3.把函數(shù)--<x<0f(x)=0展開成傅立葉級(jí)數(shù)，并由它推出（1）（2）（3）4．設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：f(x+)=-f(x),問此函數(shù)在（-，）的傅立葉級(jí)數(shù)滿足什么特性。5．函數(shù)f(x)滿足條件：f(x+)=f(x),問此函數(shù)在（-，）的傅立葉級(jí)數(shù)滿足什么特性？6．試證函數(shù)系cosnx,n=0,1,2….和sinnx,n=1,2,…都是[0，]上的正交函數(shù)系，但它們合起來的（5）式不是[0，]上的正交函數(shù)系。7．求下列函數(shù)的傅立葉展開式：（1）；（2）-<x<;(3)f(x)=ax2+bx+c,(i)0<x<2(ii)-<x<(4)f(x)=chx,-<x<(5)f(x)=shx,-<x<8.求函數(shù)f(x)=,0<x<2的傅立葉級(jí)數(shù)展開式，并應(yīng)用它推出。9．設(shè)f為[-，]上光滑函數(shù)，且f(-)=f(),為f的傅立葉級(jí)數(shù)，an’，bn’為f的導(dǎo)函數(shù)f‘的傅立葉系數(shù)。證明：，。（n=1,2,…）10.設(shè)f為[-，]上的光滑函數(shù)，且f(-)=f()，證明：，（.11.證明：若三角級(jí)數(shù)中的系數(shù)滿足關(guān)系，M為常數(shù)，則上述三角級(jí)數(shù)收斂，且其和函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)?！?以2l下列周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式：（1）f(x)=|cosx|;(2)f(x)=x-[x];(3)f(x)=sin4x;(4)f(x)=sgn(cosx).求函數(shù)xf(x)=11<x<23-x的傅立葉級(jí)數(shù)并討論其收斂性。將函數(shù)f(x)=在[0，]上展開成余弦級(jí)數(shù)。將函數(shù)在[0，]上展開正弦級(jí)數(shù)。把函數(shù)1-x,f(x)=x-3,2<x<4在（0，4）上展開成余弦級(jí)數(shù)。把函數(shù)在（0，1）上展開余弦級(jí)數(shù)，并推出求下列函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式：（1）f(x)=arcsin(sinx);(2)f(x)=arcsin(cosx).8.試問如何把定義在[0，/2]上的可積函數(shù)f延拓到區(qū)間（-，）內(nèi)，使它們的傅立葉級(jí)數(shù)為如下形式：（1）（2）§3收斂定理的證明1．設(shè)f為（-，）上以2為周期的光滑函數(shù)，證明f的傅立葉級(jí)數(shù)在（-，）上一致收斂于f.2.f為[-，]上可積函數(shù)，證明：若f的傅立葉級(jí)數(shù)在[-，]上一致收斂于f,則成立巴塞伐（parseval）等式：這里an,bn為f的傅立葉系數(shù)。由于巴塞伐等式對(duì)于在[-，]上滿足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù)也成立（證略）。請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)結(jié)果證明下列各式：（1）（2），（3）4.證明：若f,g均為[-