東北大學概率論課后習題答案PPT

第五節(jié)全概率公式與貝葉斯公式全概率公式是概率論的一個重要公式，應用全概率公式的關鍵是建立樣本空間的正確劃分(即構(gòu)造一個正確的完備事件組)，然后計算各個概率和條件概率，最后代入全概率公式。它是求復雜事件概率的有力工具。樣本空間的劃分的定義：設為試驗E的樣本空間，B1,B2，…,Bn為E的一組事件。若⑴BiBj=

,i≠j,i,j=1,2,…,n;⑵B1∪B2∪…∪Bn=,則稱B1,B2,…Bn為樣本空間的一個劃分，或稱為試驗E的一個完備事件組。

全概率公式：設試驗E的樣本空間為,A為E的事件，B1,B2，…,Bn為的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+…+P(A∣Bn)P(Bn).全概率公式的含義：設劃分中的事件B1,B2，…,Bn是事件A發(fā)生的全部原因，那么每個原因發(fā)生的概率與該原因?qū)е翧發(fā)生的概率乘積的和即為A發(fā)生的概率。全概率公式的證明證明因為事件B1,B2，…,Bn時樣本空間的一個劃分，即Bi兩兩互不相容，P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，而且B1∪B2∪…∪Bn=有AB1∪AB2∪…∪ABn=A這里的ABi也是兩兩互不相容（參見圖）。由概率的可列可加性P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)利用乘法定理即得P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+…+P(A∣Bn)P(Bn)B1AB5B4B3B2解設A表示“取到的是一只次品”，Bi(i＝l，2，3)表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”。易知，Bl，B2，B3是樣本空間S的一個劃分，且有P(B1)=0．15，P(B2)=0．80，P(B3)＝0．05，P(A∣B1)=0．02，P(A∣B2)=0．01，P(A∣B3)=0．03。例1某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10．020．1520．010．8030．030．05設這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標志。(1)在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在倉庫中隨機地取一只元件，若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少。試求這些概率。⑴由全概率公式P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+P(A∣B3)P(B3)=0.0125⑵由貝葉斯公式以上結(jié)果表明，這只次品來自第2家工廠的可能性最大。解設從這批種子中任選一顆是一等、二等、三等、四等種子的事件分別記為A1,A2,A3,A4，則它們構(gòu)成樣本空間的一個分割。用B表示在這批種子中任選一顆，且這顆種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒這一事件，則由全概率公式得例2播種用的一等小麥種子中混合2﹪的二等種子，1.5﹪的三等種子，1﹪的四等種子。用一等、二等、三等、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別是0.5,0.15,0.1,0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率。例3考卷中一道選擇題有4個答案，僅有一個是正確的，設一個學生知道正確答案或不知道而亂猜是等可能的。如果這個學生答對了，求它確實知道正確答案的概率。解樣本空間可以劃分為事件A一知道正確答案，一不知道。以B表示學生答對事件，則A

B，P(AB)＝P(A)＝1／2。P(B∣A)=1，而P(B∣)＝1／4。由全概率公式