線性代數(shù) 課件 ch06 矩陣的特征值與特征向量

線性代數(shù)矩陣的特征值與特征向量第六章高等學(xué)校教材系列矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量是理論和應(yīng)用中很重要的概念。工程技術(shù)中的一些問題（如振動問題和穩(wěn)定性問題）常可歸結(jié)為求一個矩陣的特征值與特征向量的問題。可直接應(yīng)用在微分方程求解等數(shù)學(xué)問題中的矩陣對角化的方法，也和矩陣的特征值理論密切相關(guān)。01特征值和特征向量矩陣的特征值與特征向量工程技術(shù)中的振動問題和穩(wěn)定性問題，往往歸結(jié)為如下的數(shù)學(xué)問題：對于n階矩陣A,求數(shù)入和非零向量X,使關(guān)系式Ax=AX成立，這就是矩陣的特征值與特征向量的間題。矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量02相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣的定義及性質(zhì)設(shè)A、B是n階方陣，若存在n階可逆矩陣P,使得P-1AP=B則稱A與B相似(similar),B稱為A的相似矩陣(similarmatrix).相似矩陣有如下性質(zhì)：(1)若n階方陣A與B相似，則B與A也相似．(2)若n階方陣A與B相似，則detA=detB.(3)若n階方陣A與B相似，則A與B有相同的特征多項式，因而有相同的特征值．(4)若n階方陣A與B相似，則Am與Bm相似，其中m是正整數(shù)．1相似矩陣與矩陣對角化矩陣對角化2相似矩陣與矩陣對角化矩陣對角化2相似矩陣與矩陣對角化矩陣對角化稱與矩對角陣角：相似的矩陣為可對角化矩陣。若n階方陣A有n個不同的特征值，則可知，A一定有n個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣A必可對角化。當(dāng)n階方陣A的特征方程有重根時，A未必有n個線性無關(guān)的特征向量，從而A未必可對角化，請看下面的例子．一般情形下，可知，如果n階方陣A的每個特征值九，其作為特征方程的根的重數(shù)與方程組（A－I)x=0的基礎(chǔ)解系中向量的個數(shù)，那么A可以對角化，否則A不能對角化．2相似矩陣與矩陣對角化矩陣對角化2相似矩陣與矩陣對角化矩陣對角化203實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化若n階方陣A滿足條件AT=A則稱A為對稱矩陣(symmetricalmatrix)．對稱矩陣A的元素滿足對稱矩陣的特征值是實數(shù)，從而其特征向量必為實向量。對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量必正交．(1)由A的特征方程det(A－入I)=0求出A的所有特征值4，(2)對每個特征值4(I=1,2,,m)，解方程組(A-BI)x=O得到它的一個基礎(chǔ)解系(3)由定理可知，這是A的n個兩兩正交的單位特征向量．以這n個向量為列構(gòu)成矩陣.實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化04定理的證明定理的證明定理的證明1定理的證明定理的證明1定理的證明定理的證明1定