微積分上60課時(shí)第五章

一、第一類換元法二、第二類換元法三、小結(jié)思考題第二節(jié)換元積分法問(wèn)題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程令一、第一類換元法在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元積分法定理第一類換元公式（湊微分法）說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為注意：觀察點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.定理1定理F(u),解法1解法2解法3例1求解我們注意到這樣在解題上中間變量也可不設(shè)出例2求解被積表達(dá)式被湊成一復(fù)合函數(shù)與其中間變量微分的乘積。

使用第一換元積分法求不定積分的關(guān)鍵是，首先要把被積表達(dá)式看成某一復(fù)合函數(shù)與該復(fù)合函數(shù)中間變量的微分的乘積，用中間變量作為積分變量換元，并要求換元后的被積函數(shù)的原函數(shù)存在，從而求出積分結(jié)果。

但在實(shí)際中，被積表達(dá)式并非恰好是復(fù)合函數(shù)與中間變量微分的乘積，從而要求我們將被積表達(dá)式湊成復(fù)合函數(shù)與中間變量微分的乘積，這正是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，也是湊微分法求不定積分的基本思想。

用湊微分法求不定積分常用到下列湊微分公式,須熟練掌握之。常用的湊微分公式(式中a,b,c均為常數(shù)，且a≠0)1234567981013141112例3求解例4求解例5求解原式例6

求例7求解原式例8求解原式例9求解原式解原式例10求例11求解原式類似地，有例12

求解例13

求解解原式應(yīng)用湊微分法計(jì)算積分時(shí)，有時(shí)需先將被積函數(shù)作適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式或三角函數(shù)式的恒等變換，再用湊微分法求不定積分。例14求解原式例15求解原式例16求類似地，有例17

求解（一）解（二）類似地可推出例18

求解例19求解原式=例20

求解例21

求解例22求解原式=例23求解原式=例24

求原式例25求解原式計(jì)算形如的積分（1）若m,n中至少一個(gè)是奇數(shù)時(shí)，當(dāng)m為奇數(shù)，將sinxdx湊成-dcosx，并把被積函數(shù)化為關(guān)于cosx的多項(xiàng)式函數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，將cosxdx湊成dsinx，再把被積函數(shù)化為關(guān)于sinx的多項(xiàng)式函數(shù)；按冪函數(shù)計(jì)算不定積分。（2）若m,n均為偶數(shù)，用半角公式降冪后再逐項(xiàng)積分。例26

求解降冪拆項(xiàng)例27

求解例28

求解例29求解例30

求解問(wèn)題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過(guò)程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類換元法

當(dāng)不易求出時(shí)，有時(shí)可以考慮設(shè)得,代入原不定積分得存在原函數(shù)，且便于求出，則有如下?lián)Q元積分定理若定理2

設(shè)

是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，且存在原函數(shù)，則有換元積分公式若其中是的反函數(shù).證設(shè)為的原函數(shù),令則即第二類積分換元公式例31

求解法一設(shè)解法二例32

求解令例33

求解令解令例34

求說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是消去根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令

積分中為了消去根式是否一定采用三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定.說(shuō)明(2)例35

求（三角代換很繁瑣）令解說(shuō)明(3)當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換例36

求令解例37

求解令（分母的階較高）說(shuō)明(4)當(dāng)被積函數(shù)含有(根式代換法)例38求解設(shè)原式則代入得例39

求積分解令例40

求解令說(shuō)明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例41

求解令例42

求積分解令注意無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).說(shuō)明(6)當(dāng)被積函數(shù)含有例43

求解說(shuō)明(7)