解直角三角形“百校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

4.3解三角形30°45°60°sinαcosαtanα角α三角函數(shù)222213下列特殊角的三角函數(shù)值分別是什么？知識(shí)回顧

在圖形的研究中,直角三角形是常見的三角形之一,因而人們經(jīng)常會(huì)遇到求直角三角形的邊長或角度等問題.對(duì)于這類問題，我們一般利用前面已學(xué)的銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來解決.新課導(dǎo)入如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別記作a,b,c.引入新課(1)直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系？(2)直角三角形的銳角之間有什么關(guān)系？(3)直角三角形的邊和銳角之間有什么關(guān)系？a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°.

如果知道的2個(gè)元素都是角,不能求解.因?yàn)榇藭r(shí)直角三角形有無數(shù)多個(gè).

(4)在一個(gè)直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素(3條邊、2個(gè)銳角),要知道其中的幾個(gè)元素就可以求出其余的元素？結(jié)論

在直角三角形中,除直角外的5個(gè)元素(3條邊和2個(gè)銳角),只要知道其中的2個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊),利用上述關(guān)系式,就可以求出其余的3個(gè)未知元素,把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的過程叫作解直角三角形.

解直角三角形的依據(jù)(1)三邊之間的關(guān)系:a2＋b2＝c2(勾股定理)；(2)銳角之間的關(guān)系:∠A＋∠B＝90o；(3)邊角之間的關(guān)系:tanA＝absinA＝accosA＝bc

★面積公式：結(jié)論

例1如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,

a=5，求∠B,b,c.解:∠B=90°-∠A=90°-30°=60°又∵∴∵∴范例分析

例2

如圖,在Rt△ABC

中,∠C=90°,cosA=，BC=5,試求AB的長.解∵∠C=90°,cosA=

設(shè)AB=x,則AC=x又AB2=AC2+BC2即x2=+52ACB

例3在Rt△ABC中,∠C=90°,a=15.60cm，b=8.50cm,求c,∠A,∠B(長度精確到0.01cm,角度精確到1′).解:由于因此從而

例4在四邊形ABCD中,∠

A=60°,AB⊥BC，AD⊥DC,AB=20,CD=10,求AD,BC的長.(保留根號(hào))EBACD12

解直角三角形的情況ACBcba歸納1.已知一條邊和一個(gè)銳角：(1)斜邊c和銳角A:(2)直角邊a銳角A:13

小結(jié)：解直角三角形,只有上面兩種情況：一共有四種小的情況。2:已知兩條邊:(1)斜邊c和直角邊a：(2)直角邊a;bACBcba答：∠A=45°,a=3cm,c=4.24cm1.在Rt△ABC中,∠C=90°,

∠B=45°,b=3cm,求∠A,a,c(精確到0.01cm).練習(xí)2.在Rt△ABC中,∠C=90°,

a=6cm,c=10cm,求b,∠A,∠B(角度精確到1°).答：b=8cm,∠A=37°,∠B=53°,3.

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,c=16cm,求∠B,

a,b.答∠B=60°,a=8cm,b=8cm.4.如圖,根據(jù)圖中已知數(shù)據(jù),求△ABC其余各邊的長,各角的度數(shù)和△ABC的面積.ABC450300

4

在遇到解直角三形的問題時(shí)，最好先畫一個(gè)直角三角形的草圖,按題意標(biāo)明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,以得于分析解決問題.