邊界條件對電磁波的影響

邊界條件對電磁波的影響摘要：本文主要討論平面邊界條件對電磁波的作用。開篇指出了研究本課題的背景及其相關(guān)概念；接著便列出了亥姆霍茲方程在直角坐標系當中的通解形式；然后討論了無邊界條件的電磁波的形式；接著討論了邊界條件與約束，這部分主要從三個方面討論，即兩平行導體面、矩形波導（四個導體平面）、諧振腔（六個導體平面）對電磁波的振幅、波矢的影響。重點闡述了邊界條件也就是約束對電磁波波形的影響；最后對計算結(jié)果進行分析得出結(jié)論從而引申到社會意義。關(guān)鍵詞：邊界；電磁波；振幅；波長；電磁振蕩0引言邊界條件在物理學中至關(guān)重要的作用，能夠解決物理學中的很多問題，同時在數(shù)學計算中也有特別重要的作用。由無界（沒有邊界）空間中的電磁波和導體中的電磁波可以知道電磁波主要是在絕緣介質(zhì)中或者是在除了導體之外的空間中傳播，只有非常非常小的一部分電磁能量能夠進入導體的表層中。在理想導體（電容率一8）極限的前提條件下，電磁波就完全的被導體反射了，幾乎就沒有滲入導體的內(nèi)部。所以，導體的表層很明顯就組成電磁波存在的界限。這一種有邊界的空間中傳播的電磁波有著它自己獨有的特點，并且非常廣泛地運用于特別多的關(guān)于無線電技術(shù)以及其它技術(shù)的現(xiàn)實問題中，比如在有關(guān)微波的技術(shù)當中，就會經(jīng)常的用到波導來進行電磁能量的傳播。波導以中空金屬管的形式存在，電磁波在波導管內(nèi)的空間進行傳輸，而金屬的管壁又是電磁場存在的屏障又牽制著波導管內(nèi)電磁波的固有形式或形狀。再比如在一些高頻技術(shù)當中經(jīng)常會用到諧振腔來形成特定頻率的電磁振蕩。諧振腔以中空金屬腔的形式存在，電磁波在諧振腔里以一定的頻率進行振蕩。導體表面的邊界條件在這種有界限的電磁波傳播問題當中起著非常重要的作用。而這種傳播問題屬于邊界問題，在這一類問題所以，分析平面導體的邊界條件對電磁波振幅、波矢的影響是有著特別重要的作用。隨著人們對電磁波的研究的愈來愈深入，電磁波在生活中應用的也越來越廣泛。就比如光學諧振腔可以看做是光波在諧振腔內(nèi)進行往返反射因此能夠提供光能進行反饋的空腔。激光器的非常重要的一些部分，通常是用兩塊與工作介質(zhì)的軸線相互垂直的平面反射鏡或者是凹球面組成。比如在高頻技術(shù)當中經(jīng)常會用到諧振腔來產(chǎn)生一些具有特殊頻率的電磁振蕩。再比如超導諧振腔有著非常低的射頻損耗，因此在很多的場合當中，它都有著潛在的使用價值，由超導材料制作的射頻超導諧振腔（我們簡單的把它叫做超導腔），在超導的狀態(tài)下?lián)碛斜韺由蠐p耗小、電阻較低、品質(zhì)因數(shù)高的特點。波導，原來的意思其實就是指一種可以在可見光的波段中或在微波中能夠進行傳輸電磁波的裝置，廣泛的在雷達、無線電通訊和導航等多種無線電領(lǐng)域中應用。一般情況而言，波導專門指的是各類類型的空心的金屬波導管和表層波波導，傳輸?shù)碾姶挪▽⒔饘俨▽Ч芡耆慕d在了金屬管內(nèi)，又稱作封閉波導；引導的電磁波則是被表面波波導束縛在了波導結(jié)構(gòu)的周圍，又稱作開波導。波導在控制中的應用（即波導開關(guān)）普遍的用在了電子系統(tǒng)的微波發(fā)射設備和微波測控過程當中。諧振腔的作用是選擇具有一致方向、特定頻率的光作為最優(yōu)先的放大，而抑制其他方向和頻率的光。1直角坐標系當中亥姆霍茲方程的通解在一起考慮存在依賴時間和空間的偏微分方程的物理問題的研究之中經(jīng)常會出現(xiàn)亥姆霍茲方程。因為亥姆霍茲方程和波動方程的關(guān)系，它會出現(xiàn)在物理學中的一些關(guān)于地震學、

電磁輻射和聲學研究等領(lǐng)域里。比如：電磁場中的(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)2E+k2E=0(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)2H+k2H=0叫做是齊次亥姆霍茲方程。這時候，根據(jù)麥克斯韋方程組，有:叫做是齊次亥姆霍茲方程。xE=B > > >VxB二一皿E+q^E亥姆霍茲對(1.3)這個式子兩邊求旋度，然后考慮到(1.4)式，即可求得亥姆霍茲方程。其中：k2二卩?2匕+i為波數(shù)，當忽略傳導電流時(也就是忽略(1.4)中屮E項)，此時k2二卩8?2。有的書上是具有(V2+k2"=f這種形式的雙曲型偏微分方程。式子中V2稱作拉普拉斯算子；屮是待求的函數(shù)；k2是常數(shù)；f是源函數(shù)。當f等于零的時候就稱作是齊次的亥姆霍茲方程；f不等于零的時候就稱作是非齊次的亥姆霍茲方程。在電磁學當中，當這個函數(shù)隨時間作簡諧運動的時候，波動方程就變作了亥姆霍茲方程?！狤(X)+k2E(x)——E(X)+k2E(x)=0；dx2V2EC)+k2EG)=00x如果加上時間因子為：E(x,t)=Eei)0x在三維的問題當中，亥姆霍茲方程表示成:這時它的通解表示為：E6)=E(x)E(y)E(z\陽；如果加上時間因子為:E(r)=E(x)E(y)E(z)ei@-?)2邊界條件與約束在討論約束之前，先來看一下沒有邊界限制空間中的電磁波形式，在沒有邊界限制的空間當中，電磁波最最基礎的存在方式便是平面電磁波，這種平面電磁波的磁場和電場都做的是橫向振蕩，這就是所謂的橫電磁波(TEM)。在沒有電流和電荷分布的自由空間當中電磁場的運動形式為:V磁場的運動形式為:V2B—丄竺B=0c2Qt2由導體當中的電磁波和沒有界限空間中的電磁波可以知道電磁波主要是在絕緣介質(zhì)內(nèi)或者是在導體以外的空間中傳播，只是非常非常小的一部分電磁能量滲入到了導體的表層里面。在理想導體(電容率一R)的極端前提下，電磁波就完全的被導體反射了，滲入導體的穿透深度幾乎就等于零(幾乎沒有滲進去)。因此，導體的表層就很自然的組成了電磁波存在的邊界?，F(xiàn)在我們可以討論導體表面的邊界條件。令1表示的是理想導體，2表示的是真空或者絕緣介質(zhì)。法線由導體指向介質(zhì)中。在理想導體下，導體的里面幾乎沒有電磁場的存在(應該說是導體內(nèi)部足夠深處實際上已經(jīng)沒有電磁場了)。因此，就省略了角標為2的那一項，有E]=H=0，用E和H表示介質(zhì)一面處的場強，則存在著這樣的邊界條件：exE=0 (2.0-1)nexH=a (2.0-2)n如果這兩個條件都滿足后，另外兩個條件：

e?D=b (2.0-3)ne?B=0 (2.0-4)n自然就滿足了。所以，在解出導體的邊界問題時，只需要加上(2.0-1)和(2.0-2)式。條件(2.0-2)反映的是介質(zhì)中導體表面上的高頻電流與電磁波磁場強度的相互關(guān)系。在解出介質(zhì)中的電磁波以后，由這個式子就可以得到導體表面的電流的分布形式和特點。所以說實際上真正影響著電磁波存在形式的是(2.0-1)式。亥姆霍茲方程的通解加上條件▽?E=0，再加上(2.0-1)和(2.0-2)這兩個邊界條件以后，就得到這個邊界問題的解。綜上，理想導體表面的邊界條件可以形象的描述為：在導體的表層上，電場線和邊界面正交，磁感應線和邊界面相切，我們大家都可以用這個規(guī)律來考慮這種邊界問題當中電磁波的圖像的問題。2.1平行的無限大導體平面設兩個導體面與y軸垂直。邊界條件為兩導體平面上：Ex=Ez=0 Hy=0 (2.1-1)如果沿z軸方向傳播的電場沿著y軸方向上偏振，那么這個平面波就進一步滿足了導體板上的邊界條件，從而能夠在兩個導體板的中間傳播。然而還有其他一種偏振的平面電磁波(E和導體面進行相切)并不能完全滿足以上的這些邊界條件，因此就不能夠在導體面之間存在傳輸了。所以在這兩個導體板之間能且只能傳播一種偏振的橫電磁波，也就是說只有一種確定的形式。n(2.1-2)如果電磁波沿著z軸的方向傳播，根據(jù)理想導體的兩個邊界條件：①在理想導體的表面QE上,電場線與導體的表層平行，磁場線則是和導體的表面垂直；②在導體的表面有亍=0n(2.1-2)說明了電場強度沿著y軸的方向，而磁場方向則是沿著x軸的方向。有:E=Eeeigz―⑹)B=B(—e z―⑹)0xz綜上，我們可以發(fā)現(xiàn)：平行的無限大導體平面的電磁波形式跟沒有邊界條件的電磁波的形式是一樣的，只是E和k值有了一定的約束。2.2波導在微波(厘米波)的傳輸當中，為了減少傳輸過程當中可能的耗損及阻止電磁波向外面顯露，傳輸電磁波能量經(jīng)常會采用空心的金屬管作為它的導波裝置來運作，這就是我們常常所說的波導。低頻的電力系統(tǒng)經(jīng)常用雙線傳輸。當頻率變得高時，為了避免周圍環(huán)境對電磁波的干擾以及電磁波向外面輻射的損耗，這時候就可以用同軸的傳輸線。中空的導體管以及芯線組成了同軸的傳輸線，電磁波就在這兩個導體之間的介質(zhì)當中傳播。當頻率變得更高的時候，內(nèi)導線的焦耳損耗以及介質(zhì)當中的熱損耗就會變得更加嚴重，這時候就得用波導來替代同軸的傳輸線。波導以一根空心的金屬管形式存在，而它的截面形式常常就是矩形或者是圓形。波導的傳輸適用于微波范圍。接下來我們大家一起來求解一下矩形波導內(nèi)的電磁波解。首先選擇一個直角坐標系，如圖所示，令波導的內(nèi)壁面分別為x=0和x=a，y=0和y=b，這時候的z軸是沿著傳播方向的。在一定的頻率下，波導管管內(nèi)的電磁波形式就是亥姆霍茲方程的形式，即(2.2-1)

(2.2-2)滿足條件E=0的解。這個解在管壁上還需要同時符合以下的邊界條件，也就是exE=0在切向的分量為零。n由于電磁波是在z軸的方向上傳播，所以它可能有傳播因子ei“。所以，我們可以把電場E取為：E(x,y,z)二E(x,yE(x,y,z)二E(x,y冰才代入(2.2-1)式得‘62 d2' + .0x2dy2丿E(x,y)+(c2-k2步(x,y)=0z用直角坐標分離變量，設u(x,y)=X(x)Y(y)d2X+k2X=0dx2x(2.2-4)式可以分解成兩個方程:(2.2—4)(2.2-5)+k2Y=0 (2.2-6)k2+k2+k2+k2=k2xyz(2.2-7)(2.2-8)TOC\o"1-5"\h\z解上式，得到u(x,y)的特解 ( )u(x,y)=(ccoskx+Dsinkx'rCcosky+Dsinky丿1 x 1 x 2 y 2 yC］，D］，C2和D2都是任意的常數(shù)。當u(x,y)具體表示為E的某一個特定的分量時，考慮6E到這些邊界條件：exE=0和-=0仍舊可以對這些常數(shù)進行一些限定。n 6n6E例如邊界條件是：E=E=0，x=0(x=0,a)yz 0x6EE=E=0,y=0(y=0,b) (2.2-9)xz 0y由x=0和y=0面上的邊界條件可以得到：E=Acoskxsinkyeikzzx 1 x yE=Asinkxcoskyeikzz (2.2-10)y 2 x yE=Asinkxsinkyeikzzz 3 x y再者考慮到x=a和y=b這些面上的邊界條件，就能夠知道ka和kb必須為兀的整數(shù)倍,xy也就是1 m兀 了 n兀 門1小(2.2-11)k= ，k= (m,n=0,1,2 )(2.2-11)xaybm和n分別代表的是沿矩形兩邊的半波數(shù)目。對解(2.2-10)式還必須加上一個條件▽?E=0。由這個條件可以得出：(2.2-12)kA+kA-ikA=0(2.2-12)x1y2z3所以，在A1，A2和A3這三者當中只有兩個是單獨存在的，也就是對于每一組(m,n)的值，都會有兩種相互獨立的波模。在解出E的值后，磁場H由：B二一丄VxE二一：\；'卩8xE (2.2—13)① k給出：H=-VxE (2.2-13)由(2.2-⑵這個式子，對于已經(jīng)確定了的(m，n)值，如果我們選擇一種波模具有疋=0,zAk那么這個波模才--就可以全部的肯定了，所以其他一種波模必須得有Ez主0的條件。TOC\o"1-5"\h\z2 x由(2.2-13)式可以看出來，對于E=0的波模，H豐0。因此，在波導內(nèi)部傳播的波有如z z下的特點：電場E和磁場H不能同時為橫波。我們?yōu)榱朔奖銋^(qū)分經(jīng)常就會選擇一種波模為E二0的波，叫做橫電波(TE)，另一種波模為H二0的波，叫做橫磁波(TM)。TEz z波和TM波又按照(m，n)值的不同而分為TE波和TM波。通常而言，在波導當中這mn mn些波是可以疊加的。綜上，在波導管管中不可能同時存在著橫電波(TE波)和橫磁波(TM波)，并且在波導管中，電磁波走的是折線。此時電磁波的形式已不是固定形式，這時候的振幅是變化的，可以看作是這些波的疊加。2.3諧振腔諧振腔是一種電子元器件。用于產(chǎn)生振蕩的電磁波。從數(shù)學的角度來講，是處理六個平面的約束問題。在諧振腔的內(nèi)部，電磁波不可能傳播，卻可以產(chǎn)生與諧振腔的幾何尺寸有關(guān)的特定頻率的電磁波。在微波段經(jīng)常使用。接下來讓我們一起研究一下矩形諧振腔內(nèi)的電磁振蕩。如圖，我們?nèi)〗饘俦诘膬?nèi)表面分別是x二0和x=面L],y二0和y二L2面和z二0和z二l3面。我們可以發(fā)現(xiàn)諧振腔內(nèi)的電磁波的磁場和電場的任意一個直角分量都滿足亥姆霍茲方程。設u(x,y,z)為e和H的任意一個直角分量，有：V2u+k2u=0 (2.3-1)z用分離變量法，令u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) (2.3-2)(2.3T)式分解為三個常微分方程

+k2X—+k2X—0dx2x(2.3—3)d2Y+k2Y—0dy2yd2Z+k2Z—0dz2z(2.3—4)(2.3—5)(2.3—6)由(2.3—3),(2.3—4),和(2.3—5)的解得出u(x，y，z)的駐波解u(x,y,z)=(Ccoskx+Dsinkx)(ccosky+Dsinky)(Ccoskz+Dsinkz)TOC\o"1-5"\h\z1 x 1 x 2 y 2 y 3 z 3 z(2.3—5)式中C，D為任意常數(shù)。把u(x，y，z)這個解細化為E的各個分量時，結(jié)合邊界條件i i二0兩個式子就可以得到關(guān)于這幾個常數(shù)的一些限定。_二0兩個式子就可以得到關(guān)于這幾個常數(shù)的一些限定。exE—0和nn dn考慮到邊界條件:1.x—02.y考慮到邊界條件:1.x—02.y—0y—L23.z—0里-0dxdEy—0QydE舌=0(2.3-6)可得E—AcoskxsinkysinkzTOC\o"1-5"\h\zx 1 x y z(2.3—7)E—Asinkxcoskysinkz(2.3—7)y 2 x y zE—Asinkxsinkycoskzz3 x y z再者考慮到x=L,y=L,z=L這些面上的邊界條件，得到kL,kL,kL這些必須為兀1 2 3 x1y2z3的整數(shù)倍，即：I m兀7 n兀 7 p兀k= ,k= ,k= (m,n,p—0,1,2,3……) (2.3—8)xLyLzL1 2 3m,n,p這三個字母分別各自代表著矩形三個邊所含的半波數(shù)目。(2.3-7)式中含有三個任意常數(shù)A1,A2和A3.由方程％E—0，它們之間應該滿足的關(guān)系是：kA+kAkA+kA+kA—0 (2.3-9)x1y2z3 ?因此，A,A和A中只有兩個是獨立的。經(jīng)常令A和A獨立變化，A則由A和A表示,1 2 3 1 2 3 1 2-L，kA)比如3個振幅分別為A，°,-丁十I1k丿Z道，這兩個向量是線性無關(guān)的。因此，任意一個電場的三個分量的振幅組成的不管是什么向量，都可以用上述兩個向量的線性組合來表示。和0，A,■1■kA2kz。由我們所學過的數(shù)學知識可以知當滿足(2.3-8)和(2.3-9)式這兩式時，(2.3-7)式代表的是諧振腔內(nèi)的一種諧振波模，或者我們可以叫做它是諧振腔內(nèi)電磁場的一種本征振蕩，并且對于每一組(m,n,P)的值，都有著兩個相互獨立的偏振波模。諧振頻率可由（2.3-4）和（2.3-8）這兩式得出:mnpIL2丿mnpIL2丿IL3丿(2.3-10)° 稱為諧振腔的本征頻率。由（2.3-7）和（2.3-9）這兩式，如果m,n,p這三個當中有兩個mnp2是零的時候，那么場強E二0。若乂>L2>L3，那么最低頻率的諧振波模就是（1,1,0）,它的諧振頻率也就為：2(2.3-11)相應的電磁波波長為:(2.3-12)我們可以知道這個波長與諧振腔的線度是屬于同一個數(shù)量級的。在微波技術(shù)當中我們就會經(jīng)常的用到諧振腔的最低波模來產(chǎn)生一定頻率的電磁振蕩。諧振腔即是六個面的約束，這時候她已經(jīng)變形了，電磁波在里面只能振蕩不能傳播，當不同頻率的電磁波進入諧振腔后，與諧振腔頻率相同的電磁波能量最大,因此能夠產(chǎn)生共振,從而就可以過濾出來。3結(jié)論在理想導體平面內(nèi)，也就是無邊界的導體平面內(nèi)E、k以及°均是任意的（也就是說都是不確定的，沒有一點點的限制）；而在兩個無限大的導體平面內(nèi)，電磁波只有一種確定的形式，此時的E和k有著特定的取值，但是此時°是不確定的，這種情況下稍微有些約束；在波導中（四個導體平面）此時的E、k和°均已確定，有了確定的波形了，電磁波走的是折線，根據(jù)以上計算得出在波導管中不可能同時存在TE和TM波；諧振腔即是六個面的約束，由于約束過大，這種情況下的E、k和°都已經(jīng)固定，所以在諧振腔內(nèi)部，電磁波只能振蕩不能傳播，卻可以產(chǎn)生于諧振腔的幾何尺寸有關(guān)的特定頻率的電磁波。當不同頻率的電磁波進入諧振腔后，與諧振腔頻率相同的電磁波能量最大，產(chǎn)生共振，從而被過濾出來。這里就折射了我們生活中的一些現(xiàn)象，理想情況即無法，每個人都不受任何的約束，歷史經(jīng)驗告訴我們這種情況下社會將會是一盤散沙，人類是不會進步的，只能停留在原始人的階段；當有了一定的規(guī)章制度之后（兩個面的約束），人們在法律允許的范圍之內(nèi)行駛自己的權(quán)利履行一定的義務，社會明顯井然有序了很多，進步了許多；四個面的約束換言之就是道德約束，明顯比法律約束范圍窄，但是每個人都在道德約束范圍內(nèi)做事，那很明顯就是烏托邦、世外桃源，也就是共同富裕的社會主義社會；而如果一個人遵循了太多的條條框框，那他也將沒有什么作為，因為他的思想早已被束縛了，不能創(chuàng)新，可當今社會必將是一個創(chuàng)新的社會，這種人遲早會被社會淘汰。這篇論文表面上是在討論平面邊界條件對電磁波的影響，但它早已突破了我們科學知識的范圍，它啟迪了我們做人的一些道理，無規(guī)矩不成方圓，但反之任何事都得適度。參考文獻⑴杜曉燕，楊明珊,張秀鋼.關(guān)于電磁場邊界條件教學的幾點思考【J】.電氣電子教學學報.2011[2]趙霞.基于MATLAB計算軟件的波導教學【J】.實驗室科學.2010⑶楊顯清，王園，趙家升.電磁場與電磁波【M】.2006⑷劉學觀,郭輝萍.微波技術(shù)與天線【M】.2004⑸郭碩鴻?電動力學【M】.高等教育出版社.2008⑹徐立勤，曹偉.電磁場與電磁波理論【M】.科學出版社.2006[7]謝亞楠.電磁場理論【M】.清華出版社.2011⑻宋秀才?光波導原理與器件【M】.清華大學出版社.2012⑼（美戊魯.電磁與電磁波【M】.2000盛新慶.電磁波述論【M】.北京科學出版.2007馮恩信.電磁場與電磁波（第三版）【M】.西安交通大學出版社.2010鄒澎,周曉萍.電磁場與電磁波【M】.清華大學出版社.2008金立軍.電磁場與電磁波【M】.中國電力出版社.2012法林.電磁場與電磁波【M】.人民郵電出版社.2013楊儒貴.電磁場與電磁波（第二版）【M】.高等教育出版社.2010張洪欣，沈遠茂,韓寧南.電磁場與電磁波【M】.清華大學出版社.2013謝處方，饒克謹.電磁場與電磁波【M】.高等教育出版社.2006王家禮.電磁場與電磁波【M】.西安電子科技大學出版社.2009焦其祥，李書芳,李莉等.電磁場與電磁波【M】.科學出版社.2010TheinfluenceofboundaryconditiononelectromagneticwaveAbstract：Thisarticlefocusesontheroleofplaneboundaryconditionsofe