2023學年完整公開課版圓周角2

241圓的有關性質(zhì)第二十四章圓2414圓周角人教版九年級上冊一中雙語實驗學校九年級數(shù)學組學習目標1理解圓周角的概念，會敘述并證明圓周角定理2理解圓周角與圓心角的關系并能運用圓周角定理解決簡單的幾何問題（重點、難點）3理解掌握圓周角定理的推論及其證明過程和運用（難點）問題1什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？頂點在圓心的角叫圓心角,∠BOC問題2如圖，∠BAC的頂點和邊有哪些特點A∠BAC的頂點在☉O上，角的兩邊分別交☉O于B、C兩點探究一：圓周角的定義頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角（兩個條件必須同時具備，缺一不可）探究一：圓周角的定義·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA判一判：下列各圖中的∠BAC是否為圓周角并簡述理由（2）（1）（3）（5）（6）頂點不在圓上頂點不在圓上邊AC沒有和圓相交√√√如圖，連接BO,CO,得圓心角∠BOC試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關系探究二：圓周角的定理和推論圓心O在∠BAC的內(nèi)部圓心O在∠BAC的一邊上圓心O在∠BAC的外部推導與論證探究二：圓周角的定理和推論圓心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A∠C探究二：圓周角的定理和推論OABDOACDOABCD圓心O在∠BAC的內(nèi)部OACDOABD探究二：圓周角的定理和推論OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圓心O在∠BAC的外部探究二：圓周角的定理和推論圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于該弧它所對的圓心角的一半；探究二：圓周角的定理和推論問題1如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點A,D是上任意兩點，連接AB，AC，BD，CD∠BAC與∠BDC相等嗎？請說明理由D∴∠BAC=∠BDC相等探究二：圓周角的定理和推論DABOCEF問題2

如圖，若∠A與∠B相等嗎？相等想一想：(1)反過來，若∠A=∠B，那么成立嗎？2若CD是直徑，你能求出∠A的度數(shù)嗎？（你有幾種辦法）探究二：圓周角的定理和推論如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的任意一點（除點A、B外），那么，∠ABC就是直徑AB所對的圓周角，想一想，∠ACB會是怎樣的角？·OACB解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB又∵∠OAC∠OBC∠ACB=180°∴∠ACB=∠OCA∠OCB=180°÷2=90°探究二：圓周角的定理和推論圓周角和直徑的關系：半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°同弧或等弧所對的圓周角相等A1A2A3探究二：圓周角的定理和推論1如圖，點A、B、C、D在☉O上，點A與點D在點B、C所在直線的同側(cè)，∠BAC=35o1∠BOC=o，理由是;2∠BDC=o，理由是7035同弧所對的圓周角相等一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半探究三：學以致用1完成下列填空：∠1=∠2=∠3=∠5=2如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，AC、BD為四邊形ABCD的對角線∠4∠8∠6∠7ABCDO1((((((((2345678探究三：學以致用例1如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°求∠ABC的大小OCAB解：∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角等于90°）∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-90°-80°=10°探究四：例題精講例2如圖，分別求出圖中∠的大小60°30°20°解：1∵同弧所對圓周角相等，∴∠=60°ADBEC2連接BF，F(xiàn)∵同弧所對圓周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°∴∠=∠ABF∠FBC=50°探究四：例題精講例3：如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm（1）求DC的長；（2）若∠ADC的平分線交⊙O于B,求AB、BC的長．B解：(1)∵AC是直徑，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，探究四：例題精講在Rt△ABC中，AB2BC2=AC2，2∵AC是直徑,∴∠ABC=90°∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BCB解答圓周角有關問題時，若題中出現(xiàn)“直徑”這個條件，則考慮構造直角三角形來求解.

歸納探究四：例題精講如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數(shù)為A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°故選C方法總結：在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對的圓周角，構造直角三角形解題．C探究四：例題精講例4如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點P,∠ACD=60°,∠ADC=70°求∠APC的度數(shù).OADCPB解:連接BC,則∠ACB=90°,∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°又∵∠BAD=∠DCB=30°,∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°探究四：例題精講如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓探究五：圓的內(nèi)接多邊形如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓探究性質(zhì)猜想：∠A與∠C,∠B與∠D之間的關系為：∠A∠C=180o，∠B∠D=180o想一想：如何證明你的猜想呢？探究四：圓的內(nèi)接多邊形∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，證明猜想歸納總結圓的內(nèi)接四邊形的對角互補探究四：圓的內(nèi)接多邊形CODBA∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠BCD＝180°，E延長BC到點E，有∠BCD＋∠DCE＝180°∴∠A＝∠DCE圖中∠A與∠DCE的大小有何關系？探究四：圓的內(nèi)接多邊形推論：圓的內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角1．四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠A=110°，∠B=80°，則∠C=，∠D=2．⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則∠D=70o100o90o探究五：熟能生巧例5：如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G求證：∠FGD＝∠ADC證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC方法總結：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關系的重要依據(jù)．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故選AA探究五：熟能生巧解：設∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別對于2，3，6，例6在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比是2︰3︰6求這個四邊形各角的度數(shù)∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠A∠C=∠B∠D=180°，∵26=180°，∴=225°∴∠A=45°，∠B=675°，∠C=135°，∠D=180°-675°=1125°探究五：熟能生巧1判斷（1）同一個圓中等弧所對的圓周角相等（）（2）相等的弦所對的圓周角也相等（）（3）同弦所對的圓周角相等（）√××探究五：熟能生巧2已知△ABC的三個頂點在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,則∠AOB=．BACO166°探究五：熟能生巧3如圖，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點E，若∠AOD=60°，則∠DBC的度數(shù)為（）A30°B40°C50°D60°A【規(guī)律方法】解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理探究五：熟能生巧ABCDO4如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如果∠BOD=130°,則∠BCD的度數(shù)是（）A115°B130°C65°D50°5如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，P是AC上的一點，則∠APC=ABCPC120°6如圖，已知圓心角∠AOB=100°,則圓周角∠ACB=，∠ADB=DAOCB130°50°7如圖，△ABC的頂點A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，則⊙O的半徑是CABO解：連接OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形∴OA=OB=AB=2，即半徑為22探究五：熟能生巧AOBC∴∠ACB=2∠BAC證明：8如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC求證：∠ACB=2∠BAC∠AOB=2∠BOC，探究五：熟能生巧9船在航行過程中，船長通過測定角數(shù)來確定是否遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧AB上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，∠ACB就是“危險角”，當船位于安全區(qū)域時，∠α與“危險角”有怎樣的大小關系？解：當船位于安全區(qū)域時，即船位于暗礁區(qū)域外（即⊙O外），與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”探究五：熟能生巧如圖，在