線性代數(shù)（第五版）-相似矩陣

§3

相似矩陣定義：設(shè)A,B

都是n階矩陣，若有可逆矩陣P

滿足P

?1AP=B，則稱B為矩陣A

的相似矩陣，或稱矩陣A

和B相似．對(duì)A

進(jìn)行運(yùn)算P

?1AP稱為對(duì)A

進(jìn)行相似變換．稱可逆矩陣P

為把A

變成B的相似變換矩陣．定理：若n階矩陣A

和B相似，則A

和B的特征多項(xiàng)式相同,從而A

和B的特征值也相同．證明：根據(jù)題意，存在可逆矩陣P

，使得P

?1AP=B．于是

|B?lE|=|P

?1AP?P

?1(lE)P|=|P

?1(A?lE)P|=|P

?1||A?lE||P|=|A?lE|．定理：若n階矩陣A

和B相似，則A

和B的特征多項(xiàng)式相同,從而A

和B的特征值也相同．推論：若n階矩陣A

和B相似，則A

的多項(xiàng)式j(luò)

(A)和B的多項(xiàng)式j(luò)

(B)相似．證明：設(shè)存在可逆矩陣P

，使得P

?1AP=B，則P

?1AkP=Bk

.設(shè)j

(x)=cmxm+cm?1xm?1+…+c1x+c0，那么P

?1j

(A)P

=P

?1

(cmAm+cm?1Am?1

+…+c1A

+c0

E)P

=cmP

?1Am

P+cm?1P

?1Am?1

P+…+c1

P

?1

AP+c0

P

?1EP

=

cmBm+cm?1Bm?1+…+c1B+c0

E=j

(B).定理：設(shè)n階矩陣L

=diag(l1,l2,…,ln)，則l1,l2,…,ln

就是L

的n個(gè)特征值．證明：故l1,l2,…,ln

就是L

的n個(gè)特征值．推論

若階方陣A與對(duì)角陣（2）有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。注：（1）與單位矩陣相似的n階矩陣只有單位陣E本身，與數(shù)量矩陣kE

相似的n階方陣只有數(shù)量陣kE本身。定理：若n階矩陣A

和B相似，則A

和B的特征多項(xiàng)式相同,從而A

和B的特征值也相同．推論：若n階矩陣A

和B相似，則A

的多項(xiàng)式j(luò)

(A)和B的多項(xiàng)式j(luò)

(B)相似．若n階矩陣A

和n階對(duì)角陣L

=diag(l1,l2,…,ln)相似，則從而通過(guò)計(jì)算j

(L)可方便地計(jì)算j

(A).若j

(l)=|A?lE|，那么j

(A)=O（零矩陣）.可逆矩陣P

，滿足P?1AP=L（對(duì)角陣）AP=PLApi=li

pi(i=1,2,…,n)A

的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量其中?P.123定理4：n階矩陣A

和對(duì)角陣相似當(dāng)且僅當(dāng)A

有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量推論1：如果A

有n個(gè)不同的特征值，則A

和對(duì)角陣相似．

例

設(shè)

問(wèn)x為何值時(shí)

矩陣A能對(duì)角化？

解

得

1

1

2

3

1

矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是對(duì)應(yīng)重根

2

3

1

有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

即方程(A

E)x

0有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解

亦即系數(shù)矩陣A

E的秩R(A

E)

1

所以當(dāng)x

1時(shí)

R(A

E)

1

此時(shí)矩陣A能對(duì)角化

因?yàn)锳能否對(duì)角化？若能對(duì)角例解解之得基礎(chǔ)解系所以可對(duì)角化.注意即矩陣的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)．小結(jié)

１．相似矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有：２．相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡(jiǎn)化對(duì)矩陣的各種運(yùn)算，其方法是先通過(guò)相似變換，將矩陣變成與之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣的運(yùn)算．

相似變換是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把A變成，而可逆矩陣稱為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣．把一個(gè)矩陣化為對(duì)角陣，不僅可以使矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義?？蓪?duì)角化的矩陣主要有以下幾種應(yīng)用：1.由特征值、特征向量反求矩陣?yán)?：已知方陣的特征值是相應(yīng)的特征向量是求矩陣解：因?yàn)樘卣飨蛄渴?維向量，所以矩陣是3階方陣。因?yàn)橛?個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化。即存在可逆矩陣,使得其中求得2.求方陣的冪例4：設(shè)求解：可以對(duì)角化。齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣令得基礎(chǔ)解系:齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣令得基礎(chǔ)解系:令求得即存在可逆矩陣,使得3.求行列式例5：設(shè)是階方陣，是的個(gè)特征值，計(jì)算解：方法1求的全部特征值，再求乘積即為行列式的值。設(shè)的特征值是即的特征值是4.判斷矩陣是否相似解：的特征值為令3階矩陣有3個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化。例：已知3階矩陣的特征值為1，2，3，設(shè)問(wèn)矩陣能否與對(duì)角陣相似？例：設(shè)階方陣有個(gè)互異的特征值，階方陣