19.2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)

同學(xué)們好學(xué)習(xí)是進(jìn)步的源泉技能是謀生的基礎(chǔ)探究引導(dǎo)：如圖19-9所示，有一條兩邊不等長(zhǎng)的拉鏈〔拉鏈兩邊的長(zhǎng)度差是常量〕，將長(zhǎng)的一邊端點(diǎn)固定在桌面上點(diǎn)F1上，短的一邊端點(diǎn)固定在桌面上點(diǎn)F2上。在桌面上拉開(kāi)拉鏈時(shí)，拉鏈鎖頭M移動(dòng)的軌跡是一條曲線。再把短的一邊的端點(diǎn)固定在F1上，長(zhǎng)的一邊的端點(diǎn)固定在F2上，同樣可以得到一條曲線，這兩條曲線合起來(lái)叫做雙曲線，你能具體做一做嗎？§19.2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)一、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)〔大于0且小于兩定點(diǎn)間距離〕的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)。設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，取過(guò)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy〔如圖19-10〕即設(shè)︱F1F2︱=2c〔c＞0〕，那么焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1〔－c，0〕，F(xiàn)2〔c，0〕。設(shè)M〔x，y〕是雙曲線上的任意一點(diǎn)，其到F1和F2的距離之差的絕對(duì)值等于定值2a〔0＜2a＜2c〕，由兩點(diǎn)間距離公式，得化簡(jiǎn)整理，得由雙曲線的定義可知，2c＞2a，即c＞a，故c2－a2＞0.令c2－a2=b2〔b＞0〕.那么上式可化為b2x2－a2y2＝a2b2.兩邊同除以a2b2,得叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。例1雙曲線的焦點(diǎn)是F1〔－5，0〕和F2〔5，0〕，雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由題意，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)?a＝6，c＝5，所以a＝3，b2＝c2－a2＝52－32＝16因而所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為問(wèn)題解決如果雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是F1〔0，－c〕和F2〔0，c〕〔如圖19-11〕，那么可推出其標(biāo)準(zhǔn)方程為其中，a，b，c的關(guān)系仍為b2＝c2－a2二、雙曲線的性質(zhì)1.范圍由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知，所以即x≥a

或

x≤－a這說(shuō)明雙曲線在不等式x≥a與x≤－a所表示的平面區(qū)域內(nèi)〔如圖19-12〕2.對(duì)稱(chēng)性雙曲線關(guān)于y軸、x軸和坐標(biāo)原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的，因此，x軸和y軸都是雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心。雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心又稱(chēng)為雙曲線的中心。3.頂點(diǎn)如圖19-13，A1〔－a，0〕和A2〔a，0〕是雙曲線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線的頂點(diǎn)。線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于2a，a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于2b，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。例2：求與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程。解：由題意，設(shè)雙曲線的方程為因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，所以解得k=－4或k=17〔舍去〕故所求的雙曲線方程為4.漸近線對(duì)于雙曲線，當(dāng)它的各支向外延伸時(shí)，與直線和逐漸接近，但始終不會(huì)相交。把直線叫做雙曲線的漸近線。例3求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程。例4求與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程。5.離心率雙曲線焦距2c與實(shí)軸長(zhǎng)2a的比值叫做雙曲線的離心率。記為e顯然，雙曲線的離心率e＞1離心率e越大，那么雙曲線開(kāi)口越大；離心率e越小，那么雙曲線開(kāi)口越小。6.準(zhǔn)線如圖19-14，直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線。雙曲線的準(zhǔn)線垂直于雙曲線焦點(diǎn)所在軸，且到雙曲線中心的距離為，兩條準(zhǔn)線間的距離是。例5已知雙曲線的焦點(diǎn)在